Методология инженерной деятельности. Конспект лекций

Государственное образовательное

учреждение
высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный морской
технический университет»

Кафедра судовой автоматики и измерений

 

А.А. Равин

Методология инженерной

деятельности

Конспект лекций

 

Санкт-Петербург

ПРЕДИСЛОВИЕ

Успешная деятельность после окончания ВУЗа предполагает наличие у наших выпускников основательных базовых знаний и достаточно широкой инженерной эрудиции.

Программой дисциплины «Методология инженерной деятельности» предусмотрено знакомство студентов как с общими вопросами организации и содержания инженерного труда на судостроительных предприятиях, так и со специфическими инженерными задачами, которые требуют обращения к некоторым прикладным разделам математики, и в частности, основам теории планирования экспериментов, математической статистике и методам оптимизации.

С первым из указанных разделов, а также с методиками решения эвристических инженерных задач, целесообразно познакомиться с помощью книг, указанных в списке литературы под номерами 1÷5.

Второй части посвящены книги под номерами 6÷13 и настоящий конспект лекций, который представляет собой очень краткую выжимку из весьма непростых и объёмных разделов прикладной математики. Тем не менее, хочется надеяться, что он поможет получить представление о сущности и способах решения указанных выше специфических инженерных задач, грамотно выполнить лабораторные работы и успешно пройти контрольное тестирование.

Для выполнения лабораторных работ и оформления их результатов следует воспользоваться методичкой, приведённой в конце списка литературы, и специальным программным обеспечением.

Для запуска теста нужно знать пароль, однако при внимательном изучении текста конспекта Вы преодолеете это препятствие.

Желаю успеха!

 

СОДЕРЖАНИЕ

1.	ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА. . . . . . . . . . . .
	1.1 Основные понятия и определения . . . . . . . . . . .
	1.2 Классификация планов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	1.3 Полный факторный эксперимент . . . . . . . . . . . .
	1.4 Дробный факторный эксперимент . . . . . . . . . . .
	1.5 Планирование второго порядка . . . . . . . . . . . . .
	1.6 Отсеивающие эксперименты . . . . . . . . . . . . . . . .
	1. 1.7 Практическое применение математической модели для оценки свойств объекта . . . . . . . . . . . .
2.	СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ. . . . . . . . .
	2.1. Основные понятия и определения . . . . . . . . . . .
	2.2. Плотность вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	2.3 Функция распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	2.4 Корреляционный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	2.5 Регрессионный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.	ОПТИМИЗАЦИЯ ИНЖЕНЕРНЫХ ПРОЕКТОВ
	3.1 Методы проектирования и оптимизации. . . .
	3.2 3.2 3..2 3.2 Пример практического применения методов однофакторной оптимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	3.3 3. 3.3 3.3 Пример практического применения методов многофакторнойоптимизации . . . . . . . . . . . . . .
	3.4 Пример многокритериальной оптимизации. . . .
	Рекомендуемая литература. . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Приложение 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Приложение 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Приложение 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Основные понятия и определения

В качестве объекта исследований (см. рис 1.1) в теории планирования эксперимента принято рассматривать кибернетическую систему, называемую «черным ящиком», поскольку о свойствах объекта судят, сопоставляя входные воздействия на объект со стороны экспериментатора (факторы) с реакциями объекта на эти воздействия (откликами).

Рис.1.1 - Объект исследования в качестве системы «чёрный ящик»

Факторов может быть несколько. Если k = 1 – задача однофакторная, если k>1 – многофакторная.

Свойство объекта принято отображать в виде математической зависимости, связывающей факторы и отклики. Она называется математической моделью объекта.

Если целью эксперимента является изучение влияния факторов только на одну характеристику объекта (один отклик), модель имеет вид уравнения:

Y = f(X₁, X₂ ...X_k)

Если исследуется одновременно несколько реакций объекта (несколько откликов), модель имеет вид системы уравнений:

Y₁ = f₁( X₁, X₂, ... X_k)

Y₂ = f₂( X₁, X₂, ... X_k)

. . . . . . . . . . . . .

Y_m = f_m( X₁, X₂, ... X_k)

Применяют три вида организации эксперимента: пассивный эксперимент, активный и смешанный.

Эксперимент называют пассивным, если значения факторов изменяются не по воле экспериментатора, а в результате самопроизвольного изменения условий функционирования объекта (например, погодных условий и т.п.).

Эксперимент называют активным, если экспериментатор все факторы изменяет в соответствии с заранее заданным планом эксперимента.

В смешанном эксперименте часть факторов изменяется самопроизвольно, а часть – по воле экспериментатора.

В теории планирования эксперимента принято рассматривать активные эксперименты (пассивными занимается математическая статистика).

Планом активного эксперимента предусматривается выполнение ряда опытов. В каждом опыте факторам задают определённые дискретные значения, которые называются уровнями варьирования факторов.

Один набор дискретных значений факторов определяет условия проведения одного опыта.

Число уровней варьирования факторов зависит от поставленной задачи и свойств объекта. Самые простые планы предусматривают два уровня варьирования для всех факторов. Такие планы пригодны для объектов, свойства которых могут быть однозначно и достоверно описаны линейными моделями.

Для исследования нелинейных объектов число уровней варьирования факторов должно быть больше двух.

Максимально возможное число опытов N определяется числом возможных сочетаний уровней варьирования факторов:

N = p^k ,

где k – число факторов;

p – число уровней их варьирования

Приведённая формула свидетельствует о том, что число опытов, которое необходимо будет провести, возрастает с увеличением заданного числа факторов, и очень быстро увеличивается с увеличением заданного числа уровней их варьирования.

Основной целью применения теории планирования эксперимента является получение возможно более достоверных данных о свойствах объекта при возможно меньшем числе опытов.

При выборе номенклатуры факторов, влияние которых на характеристики объекта предполагается изучать экспериментальным путём, важно обеспечить соблюдение ряда требований к факторам:

· Факторы должны выражаться количественной мерой. Если фактор выражается качественной мерой, необходимо специальное кодирование.

· Факторы должны быть управляемыми, т.е. уровни факторов должны подчиняться воле экспериментатора. Если все факторы являются управляемыми - можно проводить активный эксперимент.

· Факторы должны быть операциональными, т.е. должна существовать какая-то методика и соответствующее оборудование, с помощью которых можно реально задать запланированные уровни факторов.

· Точность задания и измерения факторов должна обеспечить заданную точность решения задачи.

· Фактор должен обеспечить непосредственное и однозначное воздействие на объект.

· Факторы должны быть независимы друг от друга.

· Факторы должны быть совместимыми – т.е. никакое из запланированных сочетаний значений факторов не должно приводить к аварии объекта, опасности для персонала, заражению окружающей среды и т.п., а также к физически нереальным значениям параметров объекта.

Различают две типовых цели эксперимента:

- изучение или подтверждение свойств объекта;

- экспериментальная оптимизация объекта.

Эксперимент может быть физическим и математическим:

- физический эксперимент проводится с натурным образцом оборудования, либо с его физической моделью;

- математический эксперимент проводится с математическим описанием объекта.

Теория планирования эксперимента в равной степени распространяется как на математические, так и на физические эксперименты.

Классификация планов

В процессе экспериментальных исследований и испытаний применяют различные типы планов:

Тип плана	Область применения
Полный факторный план	Экспериментальное определение математической модели объекта, ее анализ и применение
Дробный факторный план	Та же задача при необходимости сокращения числа опытов
Центрально-композиционный план	Экспериментальное определение квадратичных математических моделей объекта
Отсеивающий план	Оценка свойств объекта при большом числе факторов
Оптимизирующие планы	Экспериментальная оптимизация свойств объекта

Полный факторный эксперимент

Эксперимент называется полным факторным (ПФЭ), если он предусматривает реализацию всех возможных сочетаний уровней варьирования факторов: N_пфэ = p^k ,

где k –число факторов; p – число уровней их варьирования

Принятие решений перед началом эксперимента

· Выбор числа и номенклатуры факторов (k). Обычно ПФЭ используют при 2 ≤ k ≤ 5 · Выбор числа уровней варьирования факторов (p). Обычно на первом этапе… · Выбор типа математической модели. Наиболее употребительны модели в виде полиномов. Для k = 3 они выглядят следующим…

Подготовка плана и матрицы эксперимента

· задаётся центр Х10, Х20 · задается интервал варьирования ΔХ1, ΔХ2 · вычисляют верхние и нижние уровни варьирования факторов: Х1в = Х10 + ΔХ1 Х2в = Х20 +…

Первичная статическая обработка результатов

– вычисление среднего значения отклика:

– вычисление дисперсии:

Выявление грубых промахов

– дисперсии, записанные в правом столбце матрицы; – максимальная из этих дисперсий. Идея проверки заключается в том, что если один из замеров содержит грубую ошибку, то это приведёт к увеличению…

Вычисление коэффициентов модели

Затем для вычисления каждого из коэффициентов нужно почленно перемножить соответствующий столбец со столбцом результатов и сумму этих произведений… Например:

Оценка значимости коэффициентов

Сначала вычисляют дисперсию коэффициентов и среднеквадратичное отклонение Затем задают исходные данные [Р – доверительная вероятность и степень свободы… Оценка значимости коэффициентов выполняется по правилу: |Bj| ≥ ΔB → коэффициент значимый.

Проверка адекватности модели

Сначала вычисляют дисперсию адекватности: где n – число параллельных измерений (n = 3); N – число опытов;

Дробный факторный эксперимент

Для полного факторного эксперимента матрица будет иметь вид:   B0 B1 B2 B12   № … Столбцы X0 , X1 и X2 матрицы можно использовать для вычисления коэффициентов… Что делать с этой информационной избыточностью, образовавшейся оттого, что для определения 3-х коэффициентов…

Планирование второго порядка

Область применения

Планы второго порядка применяют в тех случаях, когда линейного приближения недостаточно для моделирования исследуемого объекта с требуемой точностью. Такие ситуации обычно встречаются при описании свойств оптимизируемого объекта вблизи экстремума. Кроме того, имеется целый ряд физический процессов, о которых заранее известно, что взаимосвязь их параметров требует применения квадратичных функций. Например, центробежная сила пропорциональна квадрату угловой скорости, гидродинамическое сопротивление пропорционально скорости движения тела в жидкости, площадь поверхности тела пропорциональна квадрату его линейных размеров и т.п.

Модель второго порядка

Для рассматриваемого в лабораторной работе объекта, имеющего три изменяемых в процессе эксперимента параметра (фактора) k=3 и квадратичная модель в… Модель содержит 10 неизвестных коэффициентов bi , подлежащих определению…

Выбор типа плана

Однако, планы полного факторного эксперимента с тремя уровнями варьирования (ПФЭ 3k) предусматривают слишком большое число опытов: N=3k … Для определения численных значений коэффициентов квадратичной модели… Процедура достраивания заключается в том, что к указанному выше плану ПФЭ или ДФЭ, который называют «ядром», добавляют…

Преобразование матрицы ЦКП к ортогональному виду

Ортогональность – это свойство матрицы планирования, которое обеспечивает возможность независимой оценки всех коэффициентов математической модели… Правило проверки ортогональности матрицы: сумма почленных произведений любых… Нетрудно видеть, что для приведённых выше матриц это условие не соблюдается при перемножении столбца Х0 с…

Отсеивающие эксперименты

ПФЭ рекомендуют применять при числе факторов k ≤ 5, поскольку при большем числе факторов быстро возрастает число опытов. При 5 < k < 10 приемлемое число опытов можно получить с помощью планов ДФЭ.

При k ≥ 10 рекомендуется применять отсеивающие эксперименты. Они проводятся в несколько этапов.

На первом этапе проводят ДФЭ со степенью дробления, обеспечивающей получение чисто линейной модели.

Затем проводят ранжирование факторов по степени их влияния на отклик, расставляя их в порядке убывания абсолютных значений соответствующих коэффициентов модели.

Далее выбирают несколько наиболее значимых факторов, находящихся в начале списка, и для них проводят уже более детальное экспериментальное исследование объекта, применяя модели с эффектами взаимодействия факторов или модели более высоких порядков.

Практическое применение математической модели для оценки свойств объекта

Качественный анализ модели

· Проверяют, остались ли после отбрасывания незначимых составляющих модели эффекты взаимодействия факторов. Если нет – модель линейна.

· Сопоставляют численное значение коэффициента B₀ с остальными коэффициентами. Чем больше значение B₀ , тем меньше чувствительность модели.

· Выстроенный в порядке убывания абсолютных значений ряд линейных коэффициентов ранжирует соответствующие факторы в порядке убывания их влияния на отклик.

· Знаки коэффициентов регрессии указывает на то, в каком направлении влияют изменения соответствующих факторов на отклик.

Применение модели для количественной оценки свойств объекта

, где: - заданное значение фактора; - значение этого фактора в центре эксперимента;

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ

Основные понятия и определения

Под статистическим анализом обычно понимают применение методик, характерных для теории вероятностей, для оценки свойств некоторых массивов стохастических данных, т.е. показателей исследуемого объекта, которые формируются под воздействием ряда случайных факторов.

С некоторыми из методик статистики мы уже познакомились в разделе 1, посвящённом организации активных экспериментов, например при выявлении грубых промахов, оценке значимости и адекватности математической модели объекта и т.п. Однако основной областью прикладного применения математической статистики в инженерной практике является обработка результатов пассивных экспериментов и наблюдений за характеристиками объектов и процессов, имеющих случайную составляющую.

Для анализа обычно выбирается какая-то часть данных, поэтому соответствующий массив так и называется – выборка. Пассивным, т.е. не зависящим от наблюдателя характером формирования случайных значений этих данных объясняется и название отдельного элемента выборки – одно наблюдение.

Математической базой статистики является теория вероятностей, применение которой корректно только для однородных и представительных выборок. Однородность обеспечивается тем, что выборка формируется в результате наблюдения за группой однотипных объектов, находящихся в однотипных условиях.

Представительность обеспечивается достаточно большим объёмом выборки.

Обычно выборки, содержащие 50÷100 и более однотипных наблюдений, считаются представительными, и для их анализа могут быть применены обычные методики теории вероятностей.

Выборки, содержащие меньше 50 наблюдений, считаются малыми, а меньше 20 – сверхмалыми, и для них требуются специальные методики. Для выборок, содержащих менее 10 наблюдений, применение статистических приёмов может не дать достоверных оценок.

Одним из типичных примеров применения математической статистики является обработка данных о фактической надёжности оборудования. Сведения о надёжности оборудования нужны для подтверждения качества оборудования и выявления слабых мест в конструкции и технологии изготовления, они представляют интерес и для судовладельцев при формировании программ эксплуатации судна (количества и продолжительности рейсов, сроков и объемов ремонтов, количества запасных частей и т.п.).

Одним из важнейших показателей надежности оборудования является его безотказность. Для оценки этого показателя отделы надёжности и эксплуатации предприятий-разработчиков собирают с флотов данные о сроках работы оборудования до отказа (наработках до отказа).

Массив данных, накопленных в правом столбце можно использовать для оценки статистических характеристик безотказности оборудования.

№	Название судна	Заводской № оборудования	Наработка до отказа Х(час.)
	Траулер «Победа»	А-12507
	Траулер «Аскольд»	А-1322
..	……………	……….	……..
	Траулер «Электрон»	А-1013

Первичную статистическую обработку начинают с ранжирования выборки, т.е. расположения наблюдений в порядке увеличения их значений.

С помощью ранжированной выборки нетрудно определить наименьшую и наибольшую наработку до отказа (нижняя и верхняя граница выборки), разброс наработок (ширинe выборки). Кроме того, можно вычислить:

• среднее значение (час.)
• дисперсию (час.²)
• среднеквадратическое отклонение (час.)

Величина Х_ср. позволяет примерно оценить среднее время работы данного типа оборудования до отказа, а дисперсия и СКО характеризуют разброс фактических наработок относительно среднего значения.

Среднее значение наработки может быть учтено при назначении сроков плановых (регламентных) работ по обслуживанию оборудования (осмотров, ремонтов).

Дисперсия и СКО характеризуют эффективность регламентного обслуживания:

· при малых значениях D и S проведение ремонтов в сроки, соответствующие X_ср. , позволяет предупредить отказы;

· при большом разбросе наработок эффективность регламентного обслуживания снижается, поскольку к моменту назначенного ремонта часть оборудования уже выйдет из строя, а часть будет находиться в достаточно хорошем состоянии, не требующем ремонта.

Однако эти оценки носят весьма приблизительный характер. Для более точной оценки безотказности оборудования и принятия решения о вероятности отказов и аварий во время рейса судна необходимо располагать аналитическим описанием характера распределения значений наработок относительно среднего значения. В математической статистике эта характеристика называется законом распределения случайных чисел.

Закон может быть представлен в двух формах: дифференциальной (она называется плотностью вероятностей) и интегральной (она называется функцией распределения).

Плотность вероятностей

(1/час) где Δx –ширина интервала; i – номер интервала; mi – количество наблюдений, попавших в интервал;

Функция распределения

Эта функция безразмерна. Она равна вероятности того, что отказ оборудования… Если выборка наблюдений за наработками на отказ имеет границы от A до B, то при всех заданных значениях x<A…

Корреляционный анализ

При этом возникают 3 вопроса: · имеется ли какая-то функциональная взаимосвязь параметров X и Y? · если да, то каким видом функции она может быть выражена?

Регрессионный анализ

Так же, как и корреляционный анализ, регрессионный анализ может быть парным и множественным. Парный регрессионный анализ называется… Наиболее распространённым способом аппроксимации является метод наименьших… Основные этапы метода:

ОПТИМИЗАЦИЯ ИНЖЕНЕРНЫХ ПРОЕКТОВ

Методы проектирования и оптимизации

Традиционно применяемый рекуррентный алгоритм проектирования заключается в постепенном приближении характеристик объекта к заданным значениям путем… Качество получаемого в результате проектного решения во многом зависит от обоснованности требований технического…

Пример практического применения методов

Однофакторной оптимизации

Описание объекта оптимизации

Возможные виды оборудования и коммуникаций: Тип системы Электрическая Гидравлическая Распределитель Главный…  

Методика оптимизации

§ Полезно отметить, что линейный характер зависимости длины, массы и стоимости коммуникаций от положения распределителя позволяет применить принцип… § На каждом шаге следует вычислять критерии оптимизации. Поскольку все участки…

Выбор методов оптимизации

3.2.4.1 Метод перебора Суть метода заключается в том, что на факторное пространство, в котором производится поиск оптимума, накладывается…

Пример практического применения методов

Многофакторной оптимизации

Описание объекта оптимизации

1 – главный двигатель 2 – механизм реверса 3 – главный упорный подшипник 4 – механизм изменения шага винта 5 – ВРШ; 6 –…   Особенно актуальна эта задача, например, при плавании во льдах, поскольку возрастающее сопротивление движению судна…

Цель оптимизации

Целью оптимизации является экспериментальный поиск наилучшего соотношения частоты вращения главного двигателя и шага винта (варьируемые параметры) при движении судна в ледовом поле.

Критерий оптимизации – скорость движения судна. Направление поиска – максимум критерия.

Диапазоны изменения варьируемых параметров:

- частота вращения - от 30% (холостой ход) до 100% номинальной частоты.

- шаг винта - от 50% до 100% номинального значения.

Точность оптимизации – 0,1 узла.

Методика оптимизации

§ Алгоритм оптимизации должен предусматривать проведение ряда дискретных опытов с натурным объектом (или его математической моделью).

§ В каждом из опытов экспериментатор имеет возможность задать любое соотношение значений указанных выше варьируемых параметров, не выходящее за границы факторного пространства, и определить соответствующее значение скорости судна (критерия оптимизации).

§ Дополнительное условие: движение к оптимуму необходимо выполнить при минимальном количестве опытов (в случае проведения натурных испытаний судна это условие позволяет экономить трудоемкость и стоимость испытаний). Т.е. требуется оптимизировать не только алгоритм комбинатора, но и сам процесс поиска.

Нелинейность характеристик судна и его двигательно-движительного комплекса не позволяет свести многомерную оптимизацию к нескольким одномерным. В этой связи целесообразно применить для решения поставленной задачи многофакторные методы.

Рассмотрим их особенности.

Метод Гаусса-Зайделя

План эксперимента представляет собой ряд серий опытов, причем внутри каждой серии изменяется только один из факторов, (то есть каждая серия… Поясним суть метода на простейшем примере, когда число варьируемых параметров… Пусть свойства объекта описываются математической моделью-функцией цели: Y = f(X1, X2), где:

Пример многокритериальной оптимизации

Описание объекта оптимизации

Эквивалентная динамическая схема машины показана на рисунке. Собственные частоты: ; 0 < ω1< ω2 Диапазоны … 3.4.2 Цель оптимизации - выбор значений конструктивных параметров машины,…

Предпосылки оптимизации

Формула для ω₂ свидетельствует о том, что постановка задачи содержит противоречие, т.к. уменьшение массы будет приводить к увеличению второй собственной частоты машины. Из этого следует, что точного математического решения, полностью удовлетворяющего поставленным условиям, эта задача иметь не может, и речь может идти только о поиске обоснованного компромисса между указанными критериями оптимизации с учётом степени их предпочтительности.

Выбор методов оптимизации

Один из критериев, наиболее важный с точки зрения проектанта или заказчика, оставляют единственным, подлежащим улучшению, а на остальные накладывают… Преимущество метода – упрощение алгоритма поиска, поскольку этот подход… Недостаток – сложность выбора главного критерия и назначения допусков для остальных критериев.

Решение оптимизационной задачи методом Парето

К2=m; Если перемножить критерии, получится уравнение семейства гипербол в… К1 · К2 = С1 + 2С0

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Алёшин Н.В., Ляховицкий А.Г., Царёв Б.А. Методология инженерной и научной деятельности в морской технике. Учебное пособие. Изд. СПбГМТУ, 2000; 294 с.

2. Половинкин А.И. Основы инженерного творчества. М., «Машиностроение», 1988; 361 стр.

3. Диксон Дж. Проектирование систем: изобретательство, анализ и принятие решений. М.,«Мир»,1969; 437 стр.

4. Ляликов А.П. Методы инженерного творчества. Учебно-методическое пособие. Изд.СПбГМТУ, 1996; 212 с.

5. Альтшуллер Г.С. Творчество как точная наука (теория решения изобретателских задач). М., «Советское радио», 1979, 184 стр.

6. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование экспериментов при поиске оптимальных условий. М., «Наука»,1976; 245 стр.

7. Михайлов В.И., Федосов К.М. Планирование экспериментов в судостроении. Л., «Судостроение»,1978; 159 стр.

8. Сокальский Г.А. Определение закона распределения случайной величины. Методические разработки. Л., ИПК Судпрома, 1985; 36 стр.

9. Равин А.А. Экспериментальные методы решения оптимизационных задач. Л., ИПК Судпрома, 1985; 28 стр.

10. Равин А.А. Лабораторные работы по оптимизации проектных решений с помощью персональной ЭВМ. - Л., ИПК, 1987.

11. Геминтерн В.И., Каган Б.М. Методы оптимального проектирования. - М., «Энергия», 1980

12. Хоменюк В.В. Элементы теории многоцелевой оптимизации. – М., Наука, 1988

13. Равин А.А. Методические указания «Методология инженерной деятельности. Лабораторные работы и тест». СПбГМТУ, 2003, 35 стр.

 

 

Приложение 1

Значения G - критерия (Кохрена) для уровня значимости α = 1- Р = 0,05

f2=N	Степень свободы f1=n -1
l											∞
∞	0,9985 0,9669 0,9065 0,8412 0,7808 0,7271 0,6798 0,6385 0,6020 0,5410 0,4546 0,3894 0,3434 0,2929 0,2370	0,9750 0,8709 0,7679 0,6838 0,6161 0,5612 0,5157 0,4775 0,4450 0,3924 0,3218 0,2705 0,2354 0,1980 0,1576	0,9392 0,7977 0,6841 0,5981 0,5321 0,4800 0,4377 0,4027 0,3733 0,3264 0,2648 0,2205 0,1907 0,1593 0,1259	0,9057 0,7457 0,6287 0,5441 0,4803 0,4307 0,3919 0,3584 0,3311 0,2880 0,2319 0,1921 0,1656 0,1377 0,1082	0,8772 0,7071 0,5895 0,5065 0,4447 0,3974 0,3595 0,3286 0,3029 0,2624 0,2103 0,1735 0,1493 0,1237 0,0968	0,8534 0,6771 0,5598 0,4783 0,4184 0,3726 0,3362 0,3067 0,2823 0,2439 0,1948 0,1602 0,1374 0,1137 0,0887	0,8332 0,6530 0,5365 0,4564 0,3980 0,3535 0,3185 0,2901 0,2666 0,2299 0,1829 0,1501 0,1286 0,1061 0,0827	0,8159 0,6333 0,5175 0,4387 0,3817 0,3384 0,3043 0,2768 0,2541 0,2187 0,1736 0,1422 0,1216 0,1002 0,0780	0,8010 0,6167 0,5017 0,4241 0,3682 0,3259 0,2926 0,2659 0,2439 0,2098 0,1660 0,1357 0,1160 0,0958 0,0745	0,7880 0,6025 0,4884 0,4118 0,3568 0,3154 0,2829 0,2568 0,2353 0,2020 0,1597 0,1303 0,1113 0,0921 0,0713	0,734! 0,5466 0,4366 0,3645 0,3135 0,2756 0,2462 0,2226 0,2032 0,1737 0,1365 0,1108 0,0942 0,0771 0,0595	0,5000 0,3333 0,2500 0,2000 0,1667 0,1429 0,1250 0,1111 0,1000 0,0833 0,0634 0,0500 0,0417 0,0333 0,0250

Приложение 2

Значения t - критерия (Стьюдента)для доверительной

вероятности Р и числа степеней свободы f = n-1

f	Доверительная вероятность Р
0,90	0,95	0,975	0,99	0.995
∞	6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1.782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,743 1,729 1,725 1,708 1,697 1,684 1,671 1,658 1,645	12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,059 2,042 2,021 2,000 1,980 1,960	25,452 6,205 4,176 3,495 3,163 2,969 2,841 2,751 2,685 2,634 2,593 2,560 2,533 2,510 2,490 2,473 2,458 2,445 2,433 2,423 2,385 2,360 2,329 2,299 2,270 2,241	63,657 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,054 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,787 2,750 2,705 2,660 2,617 2,576	127,32 14,089 7,453 5,598 4,773 4,317 4.029 3,832 3,690 3,581 3,497 3,428 3,372 3,326 3,286 3,252 3,222 3,197 3,174 3,153 3,078 3,030 2,971 2,915 2,860 2,807

Дальше: Приложение 3 Значения F-критерия (Фишера) при доверительной вероятности Р=0,95

 

f2= N(n -1)	Степень свободы f1 – число незначимых коэффициентов регрессии
I		3									∞
∞	161,4 19,51 10,13 7,71 6,61 5,99 5,59 5,32 5,12 4,96 4,84 4,75 4,67 4,60 4,54 4,49 4,35 4,17 4,08 4,03 3,94 3,84	199,5 19,0 9,55 6,94 5,79 5,14 4,74 4,46 4,26 4,10 3,98 3,88 3,80 3,74 3,68 3,63 3,49 3,32 3,23 3,18 3,09 2,99	215,7 19,6 9,28 6,59 5,41 4,76 4,35 4,07 3,86 3,71 3,59 3,49 3,41 3,34 3,29 3,24 3,10 2,92 2,84 2,79 2,60 2,60	224,6 19,24 9,12 6,39 5,19 4,53 4,12 3,84 3,63 3,48 3,36 3,26 3,18 3,11 3,06 3,01 2,87 2,69 2,61 2,56 2,46 2,37	230,2 19,30 9,01 6,26 5,05 4,39 3,97 3,69 3,48 3,33 3,20 3,11 3,02 2,96 2,90 2,85 2,71 2,53 2,45 2,40 2,30 2,21	230,2 19,33 8,94 6,16 4,95 4,28 3,87 3,58 3,37 3,22 3,09 3,00 2,92 2,85 2,79 2,74 2,60 2,42 2,34 2.29 2,19 2,09	234,0 19,37 8,84 6,07 4,82 4,15 3,73 3,44 3,23 3,07 2,95 2,85 2,77 2,70 2,64 2,59 2,45 2,27 2,18 2,13 2,03 1,94	243,9 19,41 8.74 5,91 4,68 4,00 3,57 3,28 3,07 2,91 2,79 2,69 2,60 2,53 2,48 2,42 2,28 2,09 2,00 1,95 1,85 1,75	246,5 19,45 8,69 5,84 4,60 3,92 3,49 3,20 2,98 2,82 2,70 2,60 2,51 2,44 2,39 2,33 2,18 1,99 1,90 1,85 1,75 1,64	249,0 19,47 8,64 5.77 4,53 3,84 3,41 3,12 2,90 2,74 2,61 2.50 2,42 2,35 2,29 2,24 2,03 1,89 1,79 1,74 1,63 1,52	251,8 19,47 8,58 5,70 4,44 3,75 3,32 3,03 2,80 2,64 2,50 2,40 2,32 2,24 2,18 2,13 1,96 1.76 1,66 1,60 1,48 1,35	254,3 19,50 8,53 5,63 4,36 3,67 3,28 2,93 2,71 2,54 2,40 2.30 2,21 2,13 2,07 2,01 1,84 1,62 1,51 1,44 1,28 1,00