Дробный факторный эксперимент

Рассмотрим такую задачу. Пусть требуется экспериментальным путём определить численные значения коэффициентов математической модели объекта, причём заранее известно, что свойства объекта могут быть описаны чисто линейной моделью. Если будем исследовать влияние на отклик двух факторов, исходная форма модели будет иметь вид: Y= B₀+B₁·X₁+B₂·X₂

Для полного факторного эксперимента матрица будет иметь вид:

	B0	B1	B2	B12
№	X0	X1	X2	X1X2
	+	-	+	-
	+	+	+	+
	+	-	-	+
	+	+	-	-

Столбцы X₀ , X₁ и X₂ матрицы можно использовать для вычисления коэффициентов B_{0 ,} B₁ и B₂ , а вот столбец X₁X₂ оказывается избыточным, поскольку коэффициента B₁₂ в модели нет (он априори признан незначимым).

Что делать с этой информационной избыточностью, образовавшейся оттого, что для определения 3-х коэффициентов запланировано проведение 4-х опытов?

Просто исключить один опыт нельзя, т.к. это приведёт к нарушению симметрии плана и ортогональности матрицы

Поступим следующим образом: заменим в шапке матрицы наименование столбца X₁X₂ на X₃ и будем использовать его для вычисления коэффициента B₃

 

	B0	B1	B2	B3
№	X0	X1	X2	X3
	+	-	+	-
	+	+	+	+
	+	-	-	+
	+	+	-	-

Такая операция называется процедурой смешивания, потому, что в вычисленном значении коэффициента B₃ будут смешаны оценки коэффициентов B₁₂ и B₃ : B₃ → β₁₂ + β₃

Корректность такой «рокировки» зависит от того, насколько близко к 0 фактическое значение оценки β₁₂ . Если оно несколько больше 0, вычисленное значение коэффициента B₃ , а следовательно, и модель в целом, окажутся несколько искажёнными. В этом состоит негативное влияние процедуры смешивания.

Позитивное влияние состоит в том, что, не меняя число опытов, мы ввели дополнительный фактор, и тем самым расширили свои знания о свойствах объекта, перейдя от исходной двухфакторной формы модели к модели вида:

Y= B₀ + B₁·X₁ + B₂·X₂ + B₃·X₃

Для экспериментального исследования объекта с тремя факторами с помощью полнофакторного плана понадобилось бы провести 8 опытов (N=2³). Применение процедуры смешивания позволило решить ту же задачу с помощью 4 опытов, т.е. половинки плана ПФЭ. В теории планирования экспериментов этот эффект называется дроблением, а планы, полученные таким способом, называются дробными.

В рассмотренном примере исходная матрица содержала только один эффект взаимодействия факторов (X ₁·X₂), поэтому процедуру смешивания (замену этого эффекта на дополнительный фактор) можно было провести только один раз. В более сложных случаях процедуру смешивания можно применить несколько раз. При этом число опытов в итоговом плане ДФЭ определяется формулой:

N_ДФЭ = P^(k-m) ,

где k – число факторов в итоговом плане ДФЭ;

P – число уровней их варьирования;

m – число применённых процедур смешивания.

Рассмотрим такой пример: пусть для объекта с 6 факторами требуется экспериментально определить численные значения коэффициентов модели:

Y= B₀+B₁·X₁+B₂·X₂ + · · · + B₆·X₆

Ниже приведены возможные варианты планов:

Тип эксперимента	Число процедур смешивания	Число опытов	Название плана	Оценка числа опытов
ПФЭ		NПФЭ = 26 = 64	Полный план	Избыток
ДФЭ		NДФЭ = 26-1 = 32	Полуреплика	Избыток
	NДФЭ = 26-2 = 16	Реплика 1/4	Избыток
	NДФЭ = 26-3 = 8	Реплика 1/8	Достаточно
	NДФЭ = 26-4 = 4	Реплика 1/16	Недостаток

Для определения численных значений семи коэффициентов заданной модели число опытов должно быть не меньше семи, поэтому выбран план ДФЭ, предусматривающий проведение 8 опытов.

Как в общем случае определить размер исходного плана ПФЭ и количество процедур смешивания, которые следует к нему применить?

При двух уровнях варьирования факторов можно применить следующий алгоритм:

· напишем желательный вид математической модели объекта и подсчитаем количество коэффициентов, численные значения которых нужно определить экспериментальным путём (в рассмотренном примере 7 коэффициентов);

· увеличим это число до ближайшей степени 2 (в примере до 2³, т.е. до 8);

· подставим это число в формулу N_ДФЭ = 2^(k-m) = 8

· прологарифмировав это уравнение по основанию 2, получим: k-m = 3

· подставив в это уравнение заданное в модели число факторов (в примере k=6), получим значение m=3.

Следовательно, для получения нужной матрицы ДФЭ, нужно взять матрицу ПФЭ, предусматривающую проведение 8 опытов (ПФЭ типа 2³) и выполнить 3 процедуры смешивания (замены эффектов взаимодействия факторов на дополнительные факторы).

	B0	B1	B2	B3	B12	B4	B5	B6
№	X0	X1	X2	X3	X1·X2	X1·X3→ X4	X2·X3→ X5	X1·X2·X3→ X6	Y
	+	-	-	-	+	+	+	-	Y1
	+	+	-	-	-	-	+	+	Y2
	+	-	+	-	-	+	-	+	Y3
	+	+	+	-	+	-	-	-	Y4
	+	-	-	+	+	-	-	+	Y5
	+	+	-	+	-	+	-	-	Y6
	+	-	+	+	-	-	+	-	Y7
	+	+	+	+	+	+	+	+	Y8

Выполнив запланированные опыты и определив с помощью этой матрицы численные значения коэффициентов, получим математическую модель объекта:

Y= B₀+B₁·X₁+B₂·X₂ +B₃·X₃+B₄·X₄+B₅·X₅+B₆·X₆+B₁₂·X₁·X₂

При дроблении исходной матрицы ПФЭ важно правильно выбрать в качестве матрицы ДФЭ один из «осколков». Возможность правильного и неправильного выбора можно проиллюстрировать, рассмотрев графическое представление плана ПФЭ типа 2³, который нужно преобразовать в полуреплику ДФЭ.

Какие четыре опыта целесообразно выбрать в качестве плана ДФЭ?

Вариант 1,2.3,4 неудачен, поскольку большую часть факторного пространства оставляет неисследованной. Вариант 1,2,7,8 лучше, но тоже не оптимален, поскольку исследуется только одно диагональное сечение пространств.

Значительно лучше, например, вариант 1,3,6,7. Для оптимального выбора реплики применяют генерирующие соотношения и определяющие контрасты.

Резюме: применение планов ДФЭ позволяет значительно сократить число опытов. Однако следует помнить, что чем выше степень дробления, тем больше искажений вносится в получаемую экспериментальным путём математическую модель объекта. Поэтому на практике редко применяют реплики, со степенью дроблений выше 1/8.