Лекція 12

Математична модель динаміки популяції П. Ф. Ферхюльста

Одним із перших, хто звернув увагу на коливання чисельності популяції відносно деякої величини був П.Ф. Ферхюльст, який сформулював у 1845 р. закон, що містив обмеження на зростання популяції. Він пояснив це тим, що будь яка екологічна ніша може забезпечити існування популяції тільки визначеного максимального розміру К=N_max і що коефіцієнт приросту повинен зменшуватися, коли розміри популяції наближаються до К_. За його моделлю чисельність популяції описується логістичним рівнянням:

, (12.1)

або

. (12.2)

Розділивши змінні у (16) отримаємо:

(12.3)

Враховуючи, що маємо:

(12.4)

Проінтегруємо (12.4):

(12.5)

(12.6)

(12.7)

Експоненціюємо (12.7):

(12.8)

Якщо відомо, що в початковий момент часу t=0 число особин популяції становило N=N₀, то підставивши у (12.8) матимемо:

(12.9)

Підставимо (12.9) у (12.8):

(12.10)

Звідки

(12.11)

(12.12)

(12.13)

Розв’язок логістичного рівняння (12.13) зображується сигмовидною кривою, яка наз. логістичною кривою (рис.12.1). Асимптотою кривої є пряма N=K.

Рис.12.1 – Логістична крива Фергюльста

Основні висновки по моделі Фергюльста:

1) при малих значення чисельності популяції зростання відбувається за експоненціальним законом, як і у випадку моделі Мальтуса

2) з часом чисельність популяції асимптотично наближається до деякого постійного числа К, перевищити яке чисельність популяції не може. Число К наз ємністю середовища.

Більшість біологічних процесів за сприятливих і стабільних природних умов дуже добре описується логістичним рівнянням, причому максимальний рівень розмноження популяції визначається ємністю середовища К, а швидкість розмноження (крутість кривої і положення точки перегину М₀) залежить від величини r=b-d (рис.12.1).