рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли. - раздел Философия, Функции двух и трех переменных как функции точки На Данном Уроке Мы Рассмотрим Алгоритм Решения Третьего Типа Дифференциальных...

На данном уроке мы рассмотрим алгоритм решения третьего типа дифференциальных уравнений, который встречается практически в любой контрольной работе – линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Для краткости их часто называют просто линейными уравнениями. Материал не представляет особых сложностей, главное, уметь уверенно интегрировать и дифференцировать.

Начнем с систематизации и повторения.

На что в первую очередь следует посмотреть, когда вам предложено для решения любоедифференциальное уравнение первого порядка? В первую очередь необходимо проверить, а нельзя ли у данного диффура разделить переменные? Если переменные разделить можно (что, кстати, далеко не всегда очевидно), то нужно использовать алгоритмы и приемы решения, которые мы рассмотрели на первом уроке – Дифференциальные уравнения первого порядка. Советую посетить этот урок чайникам и всем читателям, которые чувствуют, что их знания и навыки в теме пока не очень хороши.

Если переменные в ДУ разделить не удалось, переходим к следующему этапу – проверяем, а не является ли уравнение однородным? Проверку обычно выполняют мысленно или на черновике, с самим алгоритмом проверки и образцами решения однородных уравнений можно ознакомиться на втором уроке – Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Если переменные разделить не удалось, и уравнение однородным не является, то в 90% случаев перед вами как раз линейное неоднородное уравнение первого порядка.

Линейное уравнение первого порядка в стандартной записи имеет вид:

Что мы видим?
1) В линейное уравнение входит первая производная .
2) В линейное уравнение входит произведение , где – одинокая буковка «игрек» (функция), а – выражение, зависящее только от «икс».
3) И, наконец, в линейное уравнение входит выражение , тоже зависящее только от«икс». В частности, может быть константой.

Примечание: Разумеется, в практических примерах эти три слагаемых не обязаны располагаться именно в таком порядке, их спокойно можно переносить из части со сменой знака.

Перед тем, как перейти к практическим задачам, рассмотрим некоторые частные модификации линейного уравнения.

– Как уже отмечалось, выражение может быть некоторой константой (числом), в этом случае линейное уравнение принимает вид:

– Выражение тоже может быть некоторой константой , тогда линейное уравнение принимает вид: . В простейших случаях константа равна +1 или –1, соответственно, линейное уравнение записывается еще проще: или .

– Рядом с производной может находиться множитель , зависящий только от «икс»: – это тоже линейное уравнение.

Поехали.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение

Решение: Данное уравнение является линейным и имеет простейший вид: .

Как решить линейное уравнение?

Существуют два способа решения. Первый способ – это так называемый метод вариации произвольной постоянной, если вас интересует именно он, пожалуйста, перейдите по ссылке. Второй способ связан с заменой переменной и подстановкой, иногда его называютметодом Бернулли. В данной статье будет рассматриваться подстановки, он алгоритмически прост и понятен, и решение уравнения принимает чёткий трафаретный характер. Рекомендую начинающим.

В который раз у меня хорошая новость! Линейное дифференциальное уравнение можно решить одной-единственной заменой:

, где и – некоторые, пока ещё неизвестные функции, зависящие от «икс».

Коль скоро проводится замена , то нужно выяснить, чему равна производная. По правилу дифференцирования произведения:

Подставляем и в наше уравнение :

В чём состоит задача? Необходимо найти неизвестные функции «у» и «вэ», которые зависят от «икс». И как раз этому будут посвящены все последующие действия.

После подстановки смотрим на два слагаемых, которые располагаются вот на этих местах:

У них нужно вынести за скобки всё, что можно вынести. В данном случае:

Теперь нужно составить систему уравнений. Система составляется стандартно:

Приравниваем к нулю то, что находится в скобках: .

Если , тогда из нашего уравнения получаем: или просто .

Уравнения записываем в систему:
.

Именно в таком порядке.

Система опять же решается стандартно.

Сначала из первого уравнения находим функцию. Это простейшее уравнение с разделяющимися переменными, поэтому его решение я приведу без комментариев.

 

Функция найдена. Обратите внимание, что константу на данном этапе мы не приписываем.

Далее подставляем найденную функциюво второе уравнение системы:

Да тут ништяк, экспоненты сокращаются, и получается диффур, даже не простейший, а для студенток муз-педа.

Из второго уравнения находим функцию.


Функция найдена. А вот здесь уже добавляем константу .

Ха. А задача-то решена! Вспоминаем, с чего всё начиналось: .
Обе функции найдены:

Записываем общее решение:

В ответе можно раскрыть скобки, это дело вкуса:

Ответ: общее решение

Проверка выполняется по той же технологии, которую мы рассматривали на урокеДифференциальные уравнения первого порядка.

Берём полученный ответ и находим производную:

Подставим и в исходное уравнение :

Получено верное равенство, таким образом, общее решение найдено правильно.

Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение: Данное уравнение имеет «классический» вид линейного уравнения. Проведем замену: и подставим и в исходное уравнение :

После подстановки проведем вынесение множителя за скобки, какие два слагаемых нужно мучить – смотрите предыдущий пример. Хотя, наверное, все уже поняли:

 

Составляем систему. Для этого приравниванием к нулю то, что находится в скобках: , автоматически получая и второе уравнение системы:

В результате:
.

Из первого уравнения найдем функцию :

– найденную функцию подставим во второе уравнение системы :

Теперь находим функцию . Уравнение опять получилось простенькое:

Обе функции найдены:


Таким образом:
Общее решение:

Ответ: общее решение:

Желающие могут выполнить проверку, для проверки в ответе лучше предварительно раскрыть скобки.

Пример 3

Найти общее решение дифференциального уравнения

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Если у вас возникли (или возникнут) проблемы технического характера, пожалуйста, вернитесь к первому уроку Дифференциальные уравнения первого порядка.

Как видите, алгоритм решения линейного уравнения довольно прост. В чем особенность решения линейных уравнений? Особенность состоит в том, что практически всегда в ответе получается общее решение, в отличие, например, от однородных уравнений, где общее решение хорошо выражается крайне редко и ответ приходится записывать в виде общего интеграла.

Рассмотрим что-нибудь с дробями

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

Напоминаю, что такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Решение: Алгоритм решения полностью сохраняется, за исключением того, что в конце прибавится один небольшой пунктик.

Обратите внимание, что уравнение представлено не совсем в стандартной форме. Этого в данном случае можно не делать, но я все-таки рекомендую всегда переписывать уравнения в привычном виде :

Данное ДУ является линейным, проведем замену:

Типовой вынос за скобки:

Составим и решим систему:

Из первого уравнения найдем :

– подставим найденную функцию во второе уравнение системы и найдем функцию :


Здесь интеграл взят методом подведения функции под знак дифференциала.

Обе функции найдены, таким образом, общее решение:

На заключительном этапе нужно решить задачу Коши, то есть найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Как находить частное решения для диффура первого порядка, мы очень подробно рассмотрели на уроке Дифференциальные уравнения первого порядка.

В данном случае:

Ответ: частное решение:

А вот проверку частного решения еще раз повторим. Сначала проверяем, действительно ли выполняется начальное условие ?
– да, начальное условие выполнено.

Теперь берём полученный ответ и находим производную. Используем правило дифференцирования частного:

Подставим и в исходное уравнение :

Получено верное равенство, значит, задание выполнено верно.

Пример 5

Найти решение задачи Коши
,

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Перейдем к рассмотрению «частных видов» линейных уравнений, о которых шла речь в начале урока.

Пример 6

Найти решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения
,

Решение:В данном уравнении слагаемые опять не на своих местах, поэтому сначала пытаемся максимально близко приблизить диффур к виду :

Что здесь особенного? Во-первых, в правой части у нас константа . Это допустимо. Во-вторых, рядом с производной есть множитель , который зависит только от «икс». Это тоже допустимо. Из-за этих особенностей линейное уравнение не перестает быть линейным.

Алгоритм решения полностью сохраняется за исключением пары нюансов в самом начале.

Проведем замену:

Теперь следовало бы выполнить вынесение множителя за скобки. Прозвучит каламбурно, но сначала нам нужно раскрыть скобку, поскольку одно из нужных нам слагаемых недоступно:

Вот теперь проводим вынесение множителя скобки:

Обратите внимание на тот факт, что за скобки мы вынесли не только функцию , но еще и «икс». Всё,что можно вынести за скобки – выносим.

Составим и решим систему:

Из первого уравнения найдем :

– подставим во второе уравнение системы:



Таким образом, общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

Ответ: частное решение:

Пример 7

Найти частное решение ДУ
,

Это пример для самостоятельного решения.

Какие трудности встречаются в ходе решения линейного уравнения? Основной камень преткновения состоит в том, что может появиться довольно сложный интеграл. Как правило, неприятный интеграл появляется при нахождении функции (в то время как с нахождением функции обычно проблем не возникает).

Рассмотрим пару примеров с такими интегралами.

Пример 8

Найти общее решение ДУ

Решение: Сначала приводим линейное уравнение к родному виду :

Уравнение кажется простым, но, как я уже отмечал, впечатление может быть обманчивым. Не редкость, когда «страшный» диффур на самом деле оказывается несложным, а «легкий» на вид диффур вызывает мучительную боль за бесцельно прожитые часы.

Проведем замену:


Составим и решим систему:
.

Из первого уравнения найдем :

– подставим найденную функцию во второе уравнение:

 

Такой интеграл, кстати, еще нигде не встречался в моих уроках. Он берется по частям. Вспоминаем формулу интегрирования по частям: . Но, вот незадача, буквы и у нас уже заняты, и использовать те же самые буквы в формуле – не есть хорошо. Что делать? Используем ту же формулу, но с другими буквенными обозначениями. Можно выбрать любые другие буквы, я привык записывать правило с «а» и «бэ»:

Интегрируем по частям:

 

Если возникли трудности или недопонимание, освежите знания на уроках Метод замены переменной и Интегрирование по частям.

 

Таким образом:

Ответ: общее решение:

Давненько я не вспоминал интегрирование по частям, даже ностальгия появилась. А поэтому еще один пример для самостоятельного решения. Какой пример? Конечно же, с логарифмом! Ну а чего еще от меня можно было ожидать? =)

Пример 9

Найти общее решение дифференциального уравнения

В предложенном примере проявлена небольшая вольность для любознательных фанатов матана. Нет, алгоритм остался точно таким же, просто я сразу начал решать диффур, не перенеся предварительно в правую часть. Полное решение и ответ в конце урока.

В моей коллекции есть уравнения и с более трудными интегралами, но сейчас речь идет о дифференциальных уравнениях. В этой связи я намеренно не включил в урок такие задачи, все-таки интегралы изучаются в другой теме.

Пример 3: Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным, проведем замену:


Составим и решим систему:

Из первого уравнения найдем :




– подставим во второе уравнение системы:



Таким образом:
Ответ: общее решение:

Пример 5: Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным, замена:


Составим и решим систему:
.
Из первого уравнения найдем :



– подставим во второе уравнение системы:



Общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

Ответ: частное решение:

Пример 7: Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным, замена:


(раскрыли только левые скобки!)

Составим и решим систему:
.
Из первого уравнения найдем :

– подставим во второе уравнение:
(Примечание: здесь использовано основное логарифмическое тождество: ).

Таким образом, общее решение:

Найдем частное, соответствующее заданному начальному условию:

Ответ: частное решение:

Пример 9: Решение: Данное ДУ является линейным, проведем замену:


Решим систему:

Из первого уравнения найдем :





– подставим во второе уравнение:




Интегрируем по частям:


Таким образом:
Ответ: общее решение:

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Функции двух и трех переменных как функции точки

Геометрическое изображение функции двух переменных с помощью поверхностей и линий... Частные производные функции нескольких переменных геометрический смысл... Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной либо какой нибудь...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Предел функции. Непрерывность в точке и в области.
Определение 1.1. Переменная z (с областью изменения Z) называется функцией двух независимых переменных х,у в множестве М, если каждой паре

Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
  Введем понятие δ-окрестности точки М0 (х0 , у0) на плоскости Оху как круга радиуса δ с центром в дан

Полный дифференциал функции нескольких переменных.
  На данном уроке мы познакомимся с понятием функции двух переменных, а также подробно рассмотрим наиболее распространенное задание – нахождение частных производныхпе

Частные производные высших порядков.
Рассмотрим функцию двух переменных n=2, . Предположим, что функция имеет частные производные , , которые являются функциями двух переменных. Их называют частными произво

Достаточные условия экстремума функции двух переменных.
    Говорят, что функция имеет максимум в точке , т.е. при , если для всех точек , достаточно близких к точке и отличных от неё. Говорят,

Решение.
На первом шаге, в соответствие с достаточным условием экстремума функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию:   Частные производные первого порядка от

Наибольшее и наименьшее значение функций в замкнутой ограниченной области.
Пусть функция непрерывна в замкнутой ограниченной области G, дифференцируема внутри этой области. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, нужно: 1)най

Алгоритм исследования функции двух переменных на условный экстремум
1. Составить функцию Лагранжа 2. Решить систему   3. Определить характер экстремума в каждой из найденных в предыдущем пункте стационарных точек. Для этого применить люб

Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
  На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной

Метод интегрирования по частям.
  И снова, здравствуйте. Сегодня на уроке мы научимся интегрировать по частям. Метод интегрирования по частям – это один из краеугольных камней интегрального исчисления. На зачете, эк

В интегралах рассматриваемого типа завсегда обозначается логарифм.
Технически оформление решения реализуется следующим образом, в столбик записываем:   То есть, за мы обозначили логарифм, а за – оставшуюся часть подынтеграль

Интегрирование рациональных дробей.
Рациональной дробью называется выражение вида , где , –многочлены степеней n и m соответственно. Если , рациональная дробь называется правильной, в противном

Интегрирование иррациональных функций.
  Вот и пробил час интегралов от корней, они вас заждались! С моей точки зрения интегрирование иррациональных функций следует изучать уже при некоторых знаниях и навыках решения неопр

Случай второй
Если– целое число, то необходимо провести замену, где– знаменатель дроби. Спокойствие, только спокойствие, сейчас во всём разберемся. Пример

Интегрирование тригонометрических функций.
  На данном уроке мы рассмотрим интегралы от тригонометрических функций, то есть начинкой интегралов у нас будут синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы в различных комбинациях. Все п

Метод замены переменной
Универсальная тригонометрическая подстановка (частный случай п.3) В рамках урока я постараюсь подробно разобрать все перечисленные методы и привести примеры решения типовы

Теорема об интеграле с переменным верхним пределом.
Рассмотрим функцию y = f(x), интегрируемую на отрезке [а, b]. Если х на промежутке [a, b], то функция f(x) интегрируема также на любом отрезке [а, х]. Предположим, что х меняется на отрезке [а, b],

Замена переменной в определенном интеграле.
При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нах

Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла.
Метод интегрирования по частям в определенном интеграле Здесь новизны еще меньше. Все выкладки статьи Интегрирование по частям в неопределенном ин

Вычисление площади плоских фигур в полярных координатах.
Любая точка в полярной системе координат задается полярным углом и соответствующим полярным радиусом . - это угол, отсчитываемый от полярной оси в положительном направлении (против часовой стрелки)

Площадь криволинейного сектора - вывод формулы.
Выведем формулу для вычисления площади криволинейного сектора. Для этого нам понадобится известная из школьного курса геометрии формула площади кругового сектора радиуса R с внутрен

Замечание.
Так мы поступаем, если считаем функцию неотрицательной, в противном случае ориентируемся только на область определения и период функции. Разберем на примерах. Пример.

Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений.
Рассмотрим тело D, ограниченное плоскостями х = а и х = b (рис. 247).   Через S(x) обозначим площадь сечения тела D плоскостью, проходящей

Объем тела вращения.
Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси Пример 1 Вычислить объем тела, полученного вращен

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Что значит вычислить несобственный интеграл? Вычислить несобственный интеграл – это значит, найти ЧИСЛО(точно так же, как в определенном интеграле), или доказать, что он ра

Всегда смотрим и записываем, является ли подынтегральная функциянепрерывнойна интервале интегрирования.
Пример 2 Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. Выполним чертеж: Во-первых, замечаем следующее: подынтегральная функция непреры

Если подынтегральной функции не существует в точке
Сразу пример, чтобы было понятно: . Вроде бы это определенный интеграл. Но на самом деле – это несобственный интеграл второго рода, если мы подставим в подынтегральную функцию значение нижнего пред

Если подынтегральной функции не существует в точке
Бесконечная криволинейная трапеция для такого несобственного интеграла принципиально выглядит следующим образом:   Здесь всё абсолютно так же, за исключением того, что предел

Интегралы от неограниченных функций.
Определение 1. Пусть функция f(x) определена и неограничена на полуинтервале [а, b), при этом она ограничена и интегрируема на любом отрезке [а, с], где а с Если существует конечный предел , то он

Признаки сходимости несобственных интегралов.
Установить условную сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку при отсутствии абсолютной сходимости позволяют два следующих признака: признак сходимости Абеля:

Дифференциальные уравнения с однородными функциями.
На данном уроке мы рассмотрим так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Наряду с уравнениями с разделяющимися переменнымии лине

В 19-ти случаях из 20-ти решение однородного уравнения записывают в виде общего интеграла.
Ответ: общий интеграл: Почему почти всегда ответ однородного уравнения дается в виде общего интеграла? В большинстве случаев невозможно выразить «игрек» в явном виде (полу

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
Кроме распространенных однородных и неоднородных уравнений второго порядка и высших порядков с постоянными коэффициентами, рядовому студенту часто приходится сталк

Линейные однородные уравнения n-го порядка, свойства их решений.
Переходим к рассмотрению дифференциальных уравнений второго порядка и дифференциальных уравнений высших порядков. Если Вы смутно представляете, что такое дифференциальное уравнение (или вообще не п

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.
Теорема 4. Если - линейно независимые на решения линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка с непрерывными коэффициентами , то функция , (9) где - произвольные

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение y(n) + an-1(x)y(n - 1)

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами В теории и практике различают два типа таких уравне

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги