Реферат Курсовая Конспект
При естественном описании движения. - Лекция, раздел Философия, Лекция 5.Кинематика точки. Кинематика изучает движение с внешней стороны Пусть Задана Траектория Движения Точки М, А На Ней Ука...
|
Пусть задана траектория движения точки М, а на ней указано начало О и положительное направление отсчета дуговой координаты s. Пусть также задано естественное уравнение движения точки (5.2).
Рассмотрим радиус-вектор r точки М относительно какого-нибудь неподвижного центра С (рис.6). Зависимость радиус-вектора r=от времени можно рассматривать как сложную функцию r = r[s(t)]. Её производная по времени дает , где - единичный вектор касательной к траектории.
Итак, вектор скорости точки:
(5.13)
Чтобы получить ускорение, продифференцируем (5.13) по времени
. (5.14)
Последняя производная в правой части этого равенства может быть выражена (см. приложение 1) в виде
, (5.15)
где - кривизна, r - радиус кривизны траектории; n0 - единичный вектор главной нормали, направленный к центру кривизны.
Подставляя (5.15) в (5.14) находим
, (5.16)
Это равенство означает, что вектор а ускорения точки имеет две составляющие: касательное ускорение
, (5.17)
направленное по касательной к траектории и нормальное ускорение
, (5.18)
направленное вдоль главной нормали к центру кривизны траектории (рис.7).
Пример 1. Векторное уравнение движения точки имеет вид:
r = (1 - 2 cost) i + sint j ( r – в м , t – в с ). (5.19)
Найти и построить траекторию точки. Определить скорость и ускорение точки в момент времени t1 = 3p /4 c.
Решение. Проецируя векторное равенство (5.19) на декартовы оси, получаем координатные уравнения движения точки:
x = 1 - 2 cost, y = sint , ( х , y – в cм) (5.20)
Чтобы получить уравнение кривой, являющейся траекторией точки, исключим из уравнений движения (5.20) время t . Для этого сначала преобразуем уравнения (5.20) к виду
, ,
а затем, складывая полученные уравнения почленно, находим
Как известно из аналитической геометрии, уравнение
описывает эллипс с полуосями а = 2 см и b = 1 см и центром в точке С(1, 0). Этот эллипс (рис.8) и является траекторией точки.
Найдем положение точки в момент времени t1 = 3p /4 c. Для этого вычисляем значения координат точки в этот момент времени:
см ,
см
Этим значениям координат соответствует точка М на рис.8.
Находим выражения проекций вектора v скорости точки на координатные оси, используя формулы (5.10):
,
(здесь и далее точки над переменными означают дифференцирование по времени) .
Вычисляем значения проекций при с :
см/c , см/c .
Находим модуль вектора скорости точки в момент времени с :
1,58 см/с.
Выражения проекций вектора ускорения а точки на координатные оси находим, используя формулы (5.12):
, .
Значения проекций, соответствующие моменту времени с:
см/c2 , см/c2 .
Модуль вектора ускорения при с:
1,58 см/c2 .
На рис.8 изображена траектория точки, её положение М в момент времени с, а также вектор скорости v и ускорения a.
Пример 2. Траектория движения точки – окружность радиусом R = 2 м. За начало отсчета дуговой координаты s выбрана точка А (рис.9), а за положительное направление отсчета – направление по ходу часовой стрелки. Естественное уравнение движения точки имеет вид:
s = 1 - 2t + t 2 ( s – в м , t – в с ). (5.21)
Найти положение этой точки, её скорость и ускорение в момент времени с.
Решение. Вычислим дуговую координату точки для момента времени с :
s(2) = 1 - 2·2 + 22 = 1 м.
Чтобы установить положение точки М на окружности найдем величину центрального угла
,
и откладывая его от луча ОА в направлении хода часовой стрелки, построим положение точки М (рис.9).
Вычисляем скорость, касательное и нормальное ускорения точки согласно (3.13), (5.17), (5.18):
,
м/c², м/c².
А также модуль ускорения точки
м/c²,
На рис.9 показаны направления вектора ускорения а точки и его составляющих: касательного at и нормального an ускорений.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Лекция Кинематика точки... Кинематика изучает движение с внешней стороны рассматривая лишь его геометрические свойства и временные...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: При естественном описании движения.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов