Синтез КИХ-фильтров методом наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации

Постановка задачи: синтезировать оптимальный КИХ-фильтр с ЛФЧХ.

Оптимальный КИХ-фильтр — это КИХ-фильтр минимального порядка при заданных требованиях к АЧХ.

Метод наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации включает в себя следующие этапы:

1. Задание аппроксимируемой функции.

При синтезе КИХ-фильтра – это идеальная АЧХ.

Проиллюстрируем на примере ФНЧ.

Аппроксимируемая АЧХ (рис. 9.1) — непрерывная функция на интервале аппроксимации , включающему ПП и ПЗ.

Рис. 9.1. АЧХ идеального КИХ-фильтра ФНЧ

2. Выбор класса аппроксимирующих функций.

В качестве КИХ-фильтра выберем КИХ-фильтра 1-го типа.

Для него класс аппроксимирующих функций — это тригонометрический полином, описывающий амплитудную функцию (см. табл. в Лекции 7):

, (9.1)

где — порядок полинома (для КИХ-фильтра 1-го типа):

, (9.2)

—

, (9.3)

– длина КИХ-фильтра, на основании (9.2) равная:

; (9.3)

¾ вектор неизвестных коэффициентов .

АЧХ КИХ-фильтра:

. (9.4)

Для КИХ-фильтра синтез сводится к расчету

ИХ связана с коэффициентами (см. табл. в Лекции 7):

(9.5)

Следовательно, в методе чебышевской аппроксимации синтез КИХ-фильтра сводится к расчету

3. Выбор полинома наилучшего приближения к аппроксимируемой функции .

Полином наилучшего приближения выбирается по критерию Чебышева:

, (9.6)

где — весовая функция, а — взвешенная ошибка аппроксимации.

Согласно критерию Чебышева полиномом наилучшего приближения будет тот, который

 

Поэтому критерий Чебышева называют также

 

Весовая функция управляет значением модуля максимума ошибки аппроксимации на интервале аппроксимации (в ПП и ПЗ).

Вес, равный 1, присваивается полосе с наибольшим отклонением. Веса в остальных полосах определяются как отношение максимального отклонения к максимальному отклонению в данной полосе.