Двоичная система счисления

Мы привыкли для записи чисел использовать десятичную систему счисления. На самом деле эта система счисления не единственная. В общем случае позиционной системой счисления называется способ представления чисел в виде последовательности цифр, при котором вклад цифры в величину числа зависит от положения цифры в записи числа. Для представления информации в компьютере используется двоичная система счисления.

Рассмотрим какое-нибудь число, записанное в десятичной системе счисления, например 397. В этом числе 7 единиц, 9 десятков и 3 сотни, т.е. величина числа равна 7*1+9*10+3*100 = 7*10⁰+9*10¹+3*10². Аналогично для произвольного числа с цифрами его величина вычисляется по формуле .

Точно так же конструируется запись числа в двоичной системе счисления. В общем случае число X записывается в двоичной системе счисления в виде , где цифра или . Величина числа задается формулой . Например, .

Как вычислить цифры двоичного представления числа? Для этого сначала посмотрим, как вычисляются цифры десятичного представления числа. Пусть X снова равно 397. При делении числа 397 на 10 получаем 39 и 7 в остатке. Остаток 7 выражает количество единиц в числе X. Теперь разделим 39 на 10. Получим частное 3 и 9 в остатке. Остаток 9 теперь представляет число десятков. Наконец, делим 3 на 10 и получаем 0 и 3 в остатке. В результате этой операции получаем количество сотен – 3. Десятичная запись числа состоит из остатков 7, 9 и 3, взятых в порядке, обратном времени появления.

По такой же схеме вычисляются цифры целого числа в двоичной системе счисления. Возьмем то же число X=397₁₀ (естественно, что величина числа не зависит от той системы счисления, в которой оно записано). Попробуем записать его в двоичной системе счисления. Для этого разделим его на 2. Получим 198 и 1 в остатке. Запомним первый остаток: A₀ = 1. Далее разделим 198 на 2. Получим 99 и 0 в остатке. Запомним второй остаток: A₁ = 0. Снова разделим число 99 на 2. Получим 49 и 1 в остатке. Следовательно, A₂ = 1. Следующее деление 49 на 2 дает 24 и 1 в остатке, то есть следующая цифра A₃ = 1. Процедуру следует завершить, когда частное равно нулю. Полученные остатки следует записать в обратном порядке. В результате проделанного вычисления получаем, что .

Для дробных чисел формула вычисления величины числа другая. Возьмем число 0,397. Для того, чтобы алгоритмически получить цифру 3, следует умножить число на 10 и взять целую часть [10∙0,397] = 3 и дробную часть {10∙0,397} = 0,97 числа. На следующем шаге то же самое надо проделать с числом 0,97. Получим целую часть 9 и дробную часть 0,7. На третьем шаге получим 7 и 0.

Проделаем подобную процедуру для перевода в двоичную систему того же числа 0,397. На первом шаге умножим 0,397 на 2 и возьмем целую и дробную часть (0 и 0,794). На втором шаге умножим 0,794 на 2 и получим 1 и 0,588. На третьем шаге получим 1 и 0,176, на четвертом 0 и 0,352, и т.д. В результате получим бесконечную двоичную дробь 0, 397₁₀ = (0,0110…)₂ .

Для перевода в двоичную систему произвольного числа следует отдельно перевести в двоичную систему его целую и дробную части, и затем сложить, полученные результаты.

В информатике кроме двоичной изредка встречается 16-ричная системы счисления. В 16-ричной системе счисления в качестве 16-ричных цифр используются 10 десятичных цифр от 0 до 9, а также шесть первых букв латинского алфавита: A (10), B (11), C (12), D (13), E (14) и F (15). Двоичная и 16-ричная системы счисления связаны между собой. Если в двоичной записи числа сгруппировать двоичные цифры по четыре (считая справа налево), а затем заменить каждую четверку двоичных цифр на 16-ричную цифру, то получится 16-ричное представление числа. Например, если в двоичной записи 1001110011101₂ разбить двоичные цифры на четыре группы 1 0011 1001 1101, то 1₂ = 1₁₆ , 0011₂ = 3₁₆ , 1001₂ = 9₁₆ , 1101₂ = D₁₆ , и в результате 1001110011101_{2 =} 139D₁₆ . Для обратного перехода каждую 16-ричную цифру следует заменить четырехзначным двоичным представлением (считая лидирующие нули впереди). Запись чисел в 16-ричной системе иногда используется, если необходимо указать содержимое нескольких байтов памяти компьютера (например, в руководстве или учебном пособии).

Контрольные вопросы по теме «Принципы алгоритмизации вычислений ».

1. Основные свойства алгоритмов.

2. Перечислите принципы Фон-Неймана.

3. Переведите 1342 из десятичной в двоичную систему счисления.

4. Переведите 1011100101 из двоичной в десятичную систему счисления.

5. Переведите 100111010101102 из двоичной в 16-ричную систему счисления.

6. Переведите А9Е7 из 16-ричной в двоичную систему счисления.