Лекция №1. Основные понятия математического моделирования социально-экономических систем

Лекция №1.

Основные понятия математического моделирования социально-экономических систем.

 

Термин экономико-математические методы это обобщающее название комплекса экономических и математических научных дисциплин, объединенных для изучения социально-экономических систем и процессов.

Социально-экономическая система – сложная вероятностная динамическая система, охватывающая процессы производства, обмена, распределения и потребления материальных и других благ. Она относится к классу кибернетических систем, т.е. управляется человеком.

Единого понятия системы нет, но множество называют системой, если выполняется 4 основных свойства:

1. Целостность и членимость

2. Упорядоченные связи

3. Организация

4. Интегративное качество

 

Система обладает набором собственных свойств, который отличен от свойств составляющих систему элементов.

Социально-экономические системы обладают рядом свойств, которые необходимо учитывать при их моделировании:

1. Эмерджентность – синергетические связи, эти связи обеспечивают увеличение общего эффекта до величины большей, чем сумма эффектов элементов системы, действующих независимо, следовательно, социально-экономические системы необходимо исследовать и моделировать в целом.

2. Массовый характер экономических эффектов и процессов, следовательно, закономерности этих систем невозможно выделить на небольшой группе. Моделирование в экономике должно опираться на массовые явления.

3. Динамичность экономических процессов, т.е. постоянно меняются параметры и структура системы.

4. Случайность и неопределенность в развитии экономических явлений.

5. Невозможность изолировать протекающие в экономической системе процессы от окружающей среды.

6. Активная реакция на проявляющиеся новые факторы, т.е. системы способны к активным не всегда предсказуемым действиям в зависимости от отношения этих систем от способов воздействия.

 

Основным способом исследования систем является моделирование, т.е. способ теоретического анализа направленный на разработку и использование моделей.

Модель – образ реально объекта или процесса в материальной или идеальной форме, отражающий существенные свойства моделируемого объекта или процесса и замещающий его в ходе исследования.

Свойство модели – адекватность. Важным понятием при экономико-математическом моделировании является адекватность модели, т.е. соответствие модели моделируемому объекту или процессу (адекватность по тем свойствам, которые существенны для исследователя).

 

Классификация моделей.

1. По общему целевому назначению:

· Теоретико-аналитические, используемые при изучении общих свойств и закономерностей экономических процессов и явлений.

· Прикладные, применяемые при решении конкретных экономических задач.

 

2. По степени агрегирования объектов:

· Макроэкономические, отражающие функционирование экономики как единого целого

· Микроэкономические, где изучаются отдельные предприятия.

 

3. По конкретному предназначению:

· Балансовые

· Трендовые, тренд – длительная тенденция ее основных показателей.

· Оптимизационные находят наилучший или наихудший вариант

· Имитационные

 

4. По типу информации, используемой в модели.

· Аналитические, построенные на теоретической информации

· Идентифицируемые, построены на информации, полученной из опыта.

 

5. По учету факторов времени

· Статические, в которых все зависимости отнесены к одному моменту времени.

· Динамические, описывающие экономические системы в развитии

 

6. По учету фактора неопределенности

· Детерминированные, если результаты предсказуемы

· Вероятностные (стохастические), т.е. результаты не предсказуемы и зависят от случайного фактора.

 

7. По типу математического аппарата используемого в модели

· Матричные

· Модели линейного и не линейного программирования

· Корреляционно-регрессивные модели

· Модели теории массового обслуживания

· Модели сетевого планирования и управления

 

8. По типу подхода к изученным социально-экономическим системам

· Дескриптивный, модели для описания и объяснения, фактически наблюдаемых явлений и для прогноза этих явлений

· Нормативный подход, при нем интерпретируется, как модель должна быть устроена и как должна быть устроена, а как должна действовать в смысле определенных критериев

 

Процесс моделирования включает в себя 3 структурных элемента:

1. объект исследования

2. субъект исследовании

3. модель

 

Этапы экономико-математического моделирования:

1. Конструируем или находим в реальном мире другой объект

2. Модель выступает как самостоятельный объект исследования

3. Перенос знаний с модели на оригинал, переходим с языка модели на язык оригинала

4. Практическая проверка полученных с помощью модели знаний и эти знания используются для построения общей теории

 

Моделирование представляет собой циклический процесс, где за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д., при этом знания об объекте расширяются и уточняются, а первоначальная модель совершенствуется.

 

Лекция №2

Линейное программирование. Общие задачи оптимизации.

Когда существует несколько вариантов и необходимо выбрать наилучший или наихудший данная задача называется оптимизацией. Математически это сводиться… f (x) max (min), где xX Определенная таким образом задача называется задачей оптимизации, где

Лекция №3

Графический метод решения задач линейного программирования.

Графический метод решения задач линейного программирования имеет достаточно широкую область применения, т.к. этим методом решаются задачи,… Этот метод имеет следующие этапы: 1. Строиться область дополнительных решений задачи, если задача была в каноническом виде ее надо привести к…

Лекция №4

Решение задач линейного программирования симплекс-методом.

Основные теоремы линейного программирования: 1. Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно… 2. Об альтернативном оптимуме. Если максимум или минимум линейной функции достигается в нескольких опорных решениях,…

Лекция №5

М-метод решения задач линейного программирования.

f(x) = d1x1 + d2x2 + d3x3 + … + dnxn + d min В те уравнения, где нет допустимой базисной переменной, вводят искусственные базисные переменные

Лекция №6.

Транспортная задача.

 

Особенности транспортной задачи позволили математикам разработать алгоритмы решения этой задачи более простыми, чем для остальных задач линейного программирования.

Три основных алгоритма:

1. Метод северо-западного угла. Движение осуществляется с северо-запада на юго-восток.

 

 

Потр. Пост.	В1	В2	В3	В4	Возможности поставщиков
А1			_	_
А2	_
А3	_	_	_
Потребности потребителей

 

f(x) = 1*20 + 2*40 + 6*70 + 5*40 + 2*10 + 4*100 = 1140

Метод северо-западного угла имеет существенный недостаток, т.к. построен без учета знаний коэффициентов затрат задачи (тарифов за перевозку).

Существует модификация этого метода, лишенная этого недостатка.

 

2. Метод наименьших затрат (метод наименьшего коэффициента).

На каждом шаге максимально возможную поставку следует давать не в северо-западную клетку, а в клетку с наименьшим коэффициентом затрат.

Алгоритм:

1. Находим в таблице поставок клетки с наименьшим коэффициентом затрат если их несколько (коэффициенты равны), то сравниваем максимально возможные поставки и даем поставку в ту клетку, где максимально возможная поставка больше.

2. Если же и максимально возможные поставки равны, то отдаем поставку любую из них.

 

 

Потр. Пост.	В1	В2	В3	В4	Возможности поставщиков
А1	_		_	_
А2		_	_
А3	_
Потребности потребителей

 

f(x) = 2*60 + 1*20 + 2*100 + 3*50 + 4*7 + 4*10 = 810

 

3. Метод аппроксимации Фогеля.

Алгоритм:

Перед распределением единиц между поставщиками и потребителями необходимо провести ряд расчетов:

1. В каждой строке и столбце таблицы нужно найти два наименьших тарифа, определить разность между ними и записать эту разность в специально отведенные для этого клетки справа и внизу таблицы.

2. Среди разностей двух минимальных элементов по строкам и столбцам нужно найти наибольшую.

3. нужно первоначально заполнить одну из клеток этого столбца или строки. Первой заполняют клетку с наименьшим тарифом, если тарифы одинаковые, то клетку с максимально возможной доставкой.

4. Затем вновь повторяют поиск двух наименьших тарифов, находят разность между ними и результаты записывают в отведенные для этого клетки, но здесь следует отметить, что тариф в заполненной клетке исключается из внимания и расчеты по оставшимся тарифам.

5. Если в заполненных клетках, справа и внизу от таблицы появляются одинаковые разности, то предпочтение при заполнении отдают той клетке строки или столбца, где стоит наименьший тариф, а при их равенстве – максимально возможной поставке.

6. Расчеты проводят до тех пор, пока в клетках полностью не будут стоять « – »

 

 

Потр. Пост.	В1	В2	В3	В4	Возм-ти пост-ов
А1				_							_
А2	_	_									_
А3	_		_	_					_	_	_
Потр-ти потр-ей
	_
	_			_
	_			_
	_	_		_
	_	_	_	_

 

f(x) = 1*20 + 2*10 + 5*30 + 5*10 + 2*110 + 3*100 = 760

 

 

Лекция № 7.

Взаимно-двойственные задачи линейного программирования.

Совместное изучение данной и двойственной к ней задачи дает, как правило, значительно больше информации, чем изучение каждой из них в отдельности. … Постановка взаимно-двойственной задачи: На некотором предприятии после выполнения годового плана возник вопрос, как поступить с остатками сырья, некоторые…

Лекция №8.

Третья теорема двойственности (теорема об оценках).

Объективно-обусловленные оценки ресурсов показывают насколько денежных единиц…

Лекция №9.

Моделирование систем массового обслуживания (СМО).

Многие экономические задачи связаны с СМО , т.е. такими системами, в которых с одной стороны возникают массовые запросы,… СМО включают в себя следующие элементы:

Разомкнутые СМО

Расчет характеристик СМО различного вида может быть проведен на основе расчета вероятностей состояния СМО. Формулы Эрланга: Введем в рассмотрение параметр

Замкнутые СМО

Расчет характеристик замкнутых СМО: 1. Среднее число каналов