рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Дифференциальное исчисление функции

Дифференциальное исчисление функции - раздел Философия, Дифференциальное исчисление функции Одной Переменной. Производная Функции, Ее Геометрический И...

одной переменной.

Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

 

 

 

у

f(x)

 

 

f(x0 +Dx) P

Df

f(x0) M

 

a b Dx

0 x0 x0 + Dx x

 

 

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

 

,

 

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

 

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

 

Уравнение касательной к кривой:

 

Уравнение нормали к кривой: .

 

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

 

Односторонние производные функции в точке.

 

 

Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0 называется правое (левое) значение предела отношения при условии, что это отношение существует.

 

 

 

Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х0, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х0, а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х0, она может быть в ней не дифференцируема.

 

Например: f(x) = ïxï- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.

 

Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

Понятно, что это условие не является достаточным.

 

Основные правила дифференцирования.

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

 

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3) , если v ¹ 0

 

Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

 

 

Производные основных элементарных функций.

1)С¢ = 0; 9)

2)(xm)¢ = mxm-1; 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)

 

 

Производная сложной функции.

 

 

Теорема.Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

 

Тогда

 

Доказательство.

 

 

 

( с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

 

Тогда

Теорема доказана.

 

Логарифмическое дифференцирование.

 

Рассмотрим функцию .

Тогда (lnïxï)¢= , т.к. .

 

Учитывая полученный результат, можно записать .

Отношение называется логарифмической производной функции f(x).

Способ логарифмического дифференцированиясостоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

 

 

 

Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.

 

 

Производная показательно- степенной функции.

 

Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.

Найдем производную функции y = uv. Логарифмируя, получим:

 

lny = vlnu

 

 

 

 

 

Пример. Найти производную функции .

 

По полученной выше формуле получаем:

Производные этих функций:

Окончательно:

 

 

 

Производная обратных функций.

Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:

 

 

т.к. g¢(y) ¹ 0

 

 

 

т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.

 

 

Пример. Найти формулу для производной функции arctg.

 

Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:

 

 

Известно, что

По приведенной выше формуле получаем:

 

 

Т.к. то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:

 

Таким образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных.

 

Дифференциал функции.

Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

 

Тогда можно записать: , где a®0, при Dх®0.

Следовательно: .

Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.

 

Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или

 

dy = f¢(x)dx.

Можно также записать:

Геометрический смысл дифференциала.

y

f(x)

K

dy

M Dy

L

 

a

x x + Dx x

 

 

Из треугольника DMKL: KL = dy = tga×Dx = y¢×Dx

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

 

Свойства дифференциала.

 

Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

 

1) d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv

 

2) d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv

3) d(Cu) = Cdu

 

4)

 

Дифференциал сложной функции.

Инвариантная форма записи дифференциала.

Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.

 

Тогда dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx.

 

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

 

Однако, если х- независимая переменная, то

dx = Dx, но

если х зависит от t, то Dх ¹ dx.

Таким образом форма записи dy = f¢(x)Dx не является инвариантной.

 

Пример. Найти производную функции .

 

Сначала преобразуем данную функцию:

 

 

Пример. Найти производную функции .

 

 

 

Пример. Найти производную функции

 

 

Пример. Найти производную функции

 

 

 

Пример. Найти производную функции

 

 

 

 

Формула Тейлора.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Дифференциальное исчисление функции

К У Р С В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К И...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Дифференциальное исчисление функции

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Тейлор (1685-1731) – английский математик
  Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до

Лагранжаили формулой конечных приращений.
В дальнейшем эта формула будет очень часто применяться для доказательства самых разных теорем. Иногда формулу Лагранжа записывают в несколько другом виде: , где 0 < q

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.
  Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой

Определение: Плоскость, проходящая через касательную и главную нормаль к кривой в точке А называется соприкасающейся плоскостью.
  Определение: Нормаль к кривой, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью.Ее единичный вектор- .  

Способ. Тригонометрическая подстановка.
    Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.  

Способ. Метод неопределенных коэффициентов.
  Рассмотрим интегралы следующих трех типов:   где P(x) – многочлен, n – натуральное число.   Причем интегралы II и III типов могут быть

Определение. Частные производные вида и т.д. называются смешанными производными.
  Теорема. Если функция f(x, y) и ее частные производные определены и непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности, то верно соотношение: . Т.

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги