П. СПОСОБЫ ОТБОРА ЕДИНИЦ В ВЫБОРОЧНУЮ СОВОКУПНОСТЬ

Отбор единиц из генеральной совокупности можно производить по-разному в зависимости от целого ряда условий. Принимая решение о выборе способа отбора единиц или групп генеральной совокупности следует учитывать не только точность, но и стоимость его проведения. Обычно объем затрат рассчитывают или на единицу совокупности, или на группу единиц. По способу отбора единиц из генеральной совокуп­ности различают несколько видов выборки:

- собственно-случайную;

- типическую;

- механическую;

- серийную;

- комбинированную;

- ступенчатую;

- многофазную;

-одно и многоцелевую;

- квантильную;

- малую выборку.

Собственно-случайный отбор. При этом виде отбора единицы из генеральной совокупности отбираются случайно. Никакой предваритель­ной систематизации единиц генеральной совокупности не производится. Каждая единица имеет одинаковую вероятность попасть в выборку. Слу­чайная выборка позволяет дать объективную оценку генеральной сово­купности.

Случайная выборка м.б. осуществлена при помощи жеребьевки, когда все единицы совокупности нумеруются и на каждую единицу заво­дится жребий. Жребии тщательно перемешиваются и наудачу отбираются. Применяемый в этом случае отбор является индивидуальным, так как отбираются отдельные единицы совокупности.

Случайный отбор может быть повторным, когда отобранная единица после регистрации возвращается в совокупность и вновь участвует в выборке, и бесповторном, когда отобранная единица после регистрации обратно не возвращается.

Примером собственно-случайного бесповторного отбора является денежно-вещевая лотерея. Случайная повторная выборка является наи­более простой, но она редко применяется в социально-экономических исследованиях.

Для проведения случайной выборки пользуются иногда таблицей случайных чисел.

Таблица случайных чисел используется следующим образом: все единицы генеральной совокупности нумеруются, а затем из таблиц выписывается столько чисел, сколько требуется для выборки. Из генеральной совокупности отбираются те единицы, порядковый номер которых соответ­ствует выписанным из таблицы случайным числам. Если число единиц в генеральной совокупности не более 999, то при четырехзначных слу­чайных числах последнюю или первую цифру четырехзначного числа отбра­сывают. Выборка с помощью таблицы случайных чисел м.б. произведена на схеме повторного отбора и по схеме бесповторного отбора. В послед­нем случае одинаковые числа опускаются.

Для расчета средней ошибки выборки при собственно-случайном отборе используются следующие формулы:

	При повторном	При бесповторном
Для средней
Для доли

 

Например: I) Из совокупности 10000 деталей отобрано собственно-случай­ным бесповторным методом 1000 деталей, для которых средний, все детали оказался равным 50гр., . Вычислим среднюю ошибку выборки для средней и пределы^в которых с вероятностью 0,954 находится генеральная средняя.

Дано: N = 10000; n = 1000; ; . Тогда средняя ошибка выборки равна: . Отсюда . Значит .

2) Случайной бесповторной выборкой 400 деталей установлено, что среди отобранных деталей 8 оказалось бракованных с вероятностью 0,954 найти долю брака для всей совокупности, состоящей из 40000 деталей.

или 2%.

t=2

N=40000 n=400

Найдем среднюю ошибку выборки

Отсюда предельная ошибка выборки или 1,38%.

Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что во всей совокупности деталей доля бракованных изделий заключается в преде­лах

Если ошибка такого размера (1,38%) считается большой, то для изучения доли брака следует произвести новую выборку, увеличив ее объем.

Механический отбор. Однако на практике собственно-случайный отбор применить бывает сложно, поэтому его используют очень редко. Обычно применяют механический отбор единиц выборочной совокупности, который организовать значительно легче.

Механический отбор - это разновидность собственно-случайного отбора, но он имеет ряд организационных преимуществ. В частности, при нем легче и проще организовать проверку правильности отбора единиц совокупности.

При механическом отборе подлежащие выборочному обследованию единицы совокупности отбираются в определенной последовательности. Для его проведения все единицы совокупности располагают в каком-то определенном порядке, например, в алфавитном, географическом, по местоположению, по возрастанию или убыванию признака и т.д., а по­том в зависимости от объема выборки механически, через определенный интервал отбирается необходимое количество единиц (например, каждая вторая, пятая, десятая и т.д.).

Механический отбор можно применить и, не прибегая к составлению списков и размещению единиц совокупности в определенном порядке, а используя тот естественный порядок, в котором фактически располо­жены единицы генеральной совокупности, если этот порядок не приво­дит к тенденциозным ошибкам. Так, например, при выборочном обследо­вании качества продукции берут через определенный интервал изготов­ленные изделия ( допустим изделие, изготовленное через каждый час).

При механическом отборе возникает необходимость, во-первых, оп­ределить интервал, с которым отбираются единицы в выборочную сово­купность, а, во-вторых, решить с какой единицы начать отбор.

Интервал определяют как частное от деления численности гене­ральной совокупности на численность выборки. Так, при механическом отборе 100 студентов из 1000 поступают следующим образом: составля­ют алфавитный список, в который включают всех студентов и определяют интервал, равный частному от деления численности генеральной совокупности на численность выборочной совокупности = 10 (1000 : 100), следовательно, по составленному в алфавитном порядке списку будет механически выбирать каждого 10 студента.

Отсчет можно начать с любого числа из первых десяти. Если от­бор начинать со 2 номера, то в выборку попадут 2, 12, 22, 32 и т.д. если с 5 номера, то - 5, 15, 25, 35 и т.д.

Таким образом, при механическом отборе генеральную совокуп­ность предварительно как бы разбивают на равные по объему группы по случайному, а не типическому признаку. (Количество групп опре­деляется численностью выборочной совокупности). Затем из каждой группы берется, как правило, одна единица. При этом механический отбор всегда бывает бесповторным.

Чаще всего механический отбор применяют при проверке качест­ва продукции. В промышленности, например, для проверки качества продукции обследуют детали, выпущенные через равные промежутки времени. В торговле механический отбор находит широкое применение в товароведной практике при проверке качества товаров. При провер­ке качества поступивших товаров механически из партии отбирается в соответствии с требованиями ГОСТа определенное количество единиц (каждая 5, 10 и т.д.), а затем отобранные единицы подвергаются обследованию.

Средняя ошибка выборки определяется по формуле случайного бесповторного отбора.

Правильнее было бы в формуле средней ошибки выборки вместо общей дисперсии брать среднюю из частных дисперсий по группам (). Такая дисперсия меньше общей дисперсии. Поскольку для расчета дис­персий по группам нужно знать размеры всех единиц совокупности, а они неизвестны, приходится брать общую дисперсию, полученную из выборочных данных.

Типическая выборка. Типический отбор применяют с тех случа­ях, когда имеют дело с неоднородными по изучаемым показателям совокупностями. При типической выборке прежде всего устанавливают ти­пические признаки, по которым генеральная совокупность разбивается на качественно однородные, однотипные группы. Затем из каждой группы собственно-случайным или механическим способом производит­ся отбор единиц выборочной совокупности.

Число отбираемых единиц из каждой типической группы зависит от ряда факторов, в том числе от способа отбора. Различают следу­ющие виды выборки единиц из типических групп: непропорциональной их объему, пропорциональной их объему, пропорциональной колебле­мости групп»,пропорциональной объему типических групп и колебле­мости.

1. При выборке непропорциональной объему типических групп отбор из всех групп производят поровну, а число единиц, отбираемых из каждой группы, определяют отношением численности выборочной совокупности к числу групп.

2. На практике чаще всего используют выборку пропорциональ­ную объему типических групп. Число наблюдений по каждой группе определяется в этом случае по формуле: , где

n_i - объем выборки из (i -ой группы;

n - общий объем выборки;

N_i - объем i-ой типической группы;

N - объем генеральной совокупности.

Пример I. Допустим, необходимо провести типический отбор 1500 студентов из 10000, обучающихся на 4-х ф-тах института. Сгруппируем их в однородные группы по факультетам, а затем по каж­дому из них отберем число студентов, пропорционально уд. веса сту­денческого контингента института по факультетам.

Распределение студентов по факультетам

Факультет	Число студентов	Уд.вес студентов в общей численности (%)	Отобрано студентов для выборочных наблюдений
I
II
III
IV

3. Если вариация признака в группах неодинакова, а так чаще всего и бывает, то прибегают к переменной доле, т.е. отбираемая доля ставится в прямую зависимость от величины колеблемости, чем больше колеблемость, тем больше доля отбора.

4. Возможен также типический отбор пропорциональный обоим показателям - численности единиц в группах и степени колеблемос­ти признака. Такой отбор называют оптимальным.

Типический отбор выгодно применить при большой межгрупповой вариации. Поэтому при изучении сложных совокупностей одним из важнейших принципов выборочного наблюдения является предваритель­ное районирование, выделение типических групп.

Разбивка на типические группы дает возможность избежать вли­яния межгрупповой вариации на точность выборки, так как в типи­ческую выборку должны обязательно попасть представители всех групп, что может не иметь места при случайном отборе. Поэтому средняя ошибка типической выборки будет зависеть только от средней из дисперсий групп , а не от общей дисперсии, как это имеет место в случайной выборке. Из правил сложения дисперсий из­вестно, что , следовательно, ошибка типической меньше ошибки случайной выборки, а типическая выборка точнее.

Типический отбор дает более точные результаты, чем собствен­но-случайной или механический, т.к. при нем в выборку в такой же пропорции, как и в генеральной совокупности, попадают единицы из всех типических групп. Поэтому выборка становится более репрезен­тативной, представительной и, следовательно, более точной. В ре­зультате при одной и той же численности выборки в типическом от­боре по сравнению с механическим уменьшается ошибка выборки. Или иначе при одной и той же допустимой ошибке выборки численность выборки при типическом отборе д.б. ниже.

Типическая выборка может быть повторной и бесповторной.

Средняя ошибка при пропорциональной типической выборке опре­деляется по формулам:

В случае повторного отбора:

При бесповторном отборе:

При отборе непропорциональном объему групп для определения средней ошибки выборки применяют следующие формулы:

При повторной выборке:

При бесповторной выборке:

, где:

- выборочная дисперсия i -и типической группы;

- средняя из выборочных дисперсий типических групп;

- среднее квадратическое отклонение в выборке из i- ойтипической группы;

- средняя из произведения частностей на дополнение их до единицы.

Расчет средней и предельной ошибки выборки при проведении типической пропорциональной бесповторной выборки можно рассмотреть на примере П и Ш.

Пример П. Типическая пропорциональная бесповторная выборка при определении размера пенсии показала следующие результаты:

Отрасли, где работали пенсионеры до выхода на пенсию	Обследовано пенсионеров данной отрасли, ()	Средний размер пенсий данной отрасли, (х)	Дисперсия средней, ()
I
II
III

 

Найти пределы, в которых расположен средний размер пенсии во всей совокупности пенсионеров, если результат гарантируется с ве­роятностью 0,997 ( t= 3), а обследованию подвергалось 2% пенсионеров ().

Найдем средний размер пенсии для всех групп:

Средняя из частных дисперсий составит:

Отсюда средняя ошибка выборки определяется:

Предельная ошибка выборки =

Следовательно, в генеральной совокупности средний размер пен­сии заключен в пределах: руб.

Ш. При изучении производительности труда работников машинострои­тельного предприятия произведено 10%-ное выборочное обследова­ние выполнения норм выработки. В результате пропорционального типического отбора из групп слесарей прошедших и не прошедших производственное обучение получены следующие данные о распреде­лении выборочной совокупности по уровню выполнения норм выработ­ки за смену.

Группы слесарей	Выполнение норм выработки (%)
До 90	90-100	100-110	110-120	120-130	130-140	140 и выше
1. Прошедших пр. обучение	-
2. Не прошедших пр. обучение							-

 

При условии, что в каждой группе производилось собственно-случайная бесповторная выборка, определите для генеральной сово­купности (с вероятностью 0,954) пределы значений уд. веса слесарей не выполняющих нормы выработки.

Для установления предела, в котором находится доля слесарей, не выполняющих нормы выработки, воспользуемся формулой:

Доля в выборочной совокупности

а) по выборке в целом

б) для I группы

в) для П группы

Средняя дисперсия альтернативного признака

Средняя ошибка выборочной доли:

Предельная ошибка составит

Определим предел значения доли изучаемого признака в генераль­ной совокупности:

Следовательно, для всей изучаемой совкупности уд. вес слесарей не выполнивших норм выработки составляет от 0,05 до 0,15, или .

Серийная выборка. При случайной, механической и типической выбор­ке из генеральной совокупности отбирают отдельные единицы, которые подвергают обследованию. Совершенно иначе организуется выборка, если в основу ее положен серийный отбор. При серийной выборке из генераль­ной совокупности отбираются не отдельные единицы, а целые их серии (гнезда), а внутри каждой из попавших в выборку серий обследуются все без исключения единицы, т.е. применяется сплошное наблюдение. На прак­тике для отбора серий применяют или случайную выборку или механический отбор.

Серийный отбор часто применяют при выборочном контроле качества продукции. Например, при 10/5 выборочном обследовании качества продук­ции можно брать каждую 10 изготовленную деталь, а можно подвергнуть обследованию все детали, изготовленные за определенный час работы, например, за 7, 8 или 2 часа.

В первом случае будет механический отбор единиц совокупности, во втором - серийный.

Серийный отбор имеет большое практическое значение, так как он проще, его легче организовать и можно провести быстрее. Так, при конт­рольной проверке качества продукции или сырья, поступивших партиями (ящиками, мешками, пачками), легче и быстрее проверить несколько отобранных партий, товара целиком, чем из каждой партии отбирать и проверять отдельные единицы. Но так как при серийном отборе нарушает­ся равномерность распределения отобранных единиц в генеральной сово­купности, то, как правило, серийная выборка менее точна, чем выборка основанная на индивидуальном отборе. Поэтому для обеспечения той же точности, что и при механическом и случайном отборе единиц совокупности тре­буется большая численность выборки.

Серийная выборка м.б. организована повторным и бесповторным мето-дом. Кроме того, серии м.б. равновеликими и неравновеликими.

Практически серийная выборка производится по схеме бесповторного отбора.

Точность серийной выборки зависит не от величины общей дисперсии, а от межсерийной дисперсии, или, иначе, дисперсии групповых средних.

Как известно, межгрупповая (межсерийная) дисперсия исчисляется по ф-ле:

, где r - число отобранных серий;

- средняя в отдельных сериях;

- общая средняя для всей совокупности.

Для определения средней ошибки выборки применяются формулы: (при отборе равновеликими партиями):

I) Для средней величины количественного признака:

при повторном отборе:

при бесповторном отборе:

Например: Выборочное наблюдение урожайности зерновых культур по области проводилось при помощи отбора районов. По каждому отобран­ному району определялась средняя урожайность, которая оказалась сле­дующей: I - 14ц.; 2 - 15ц.; 3 - 14,5ц.; 4 - 15,5ц.; 5 - 16ц. с га. С вероятностью 0,997 оценить урожайность зерновых по всей области. В области 25 районов.

Прежде всего необходимо найти среднюю:

ц/га

Затем рассчитаем межгрупповую дисперсию:

ц/га

Средняя ошибка серийного бесповторного отбора:

ц/га

Предельная ошибка выборки:

Следовательно, с вероятностью 0,997 можно ожидать, что средняя урожайность зерновых в этой области заключается в пределах:

2) Для доли альтернативного признака: , где

- межсерийная дисперсия выборочной доли.

Расчет средней и предельной ошибки выборки можно рассмотреть на примере:

При контрольной проверке качества выпускаемых изделий проведено 10% выборочное обследование. Из партии, содержащей 100 коробок мето­дом механического отбора в выборку взято 10. В результате сплошного обследования находящихся в каждой коробке деталей получили следующие данные о распределении выборочной совокупности:

Коробки	Количество упаковок (деталей)
	Всего	В т.ч. с весом 400г
I.	6-ая
2.	16-ая	36
3.	26-ая
4.	36-ая
5.	46-ая
6.	56-ая
7.	66-ая
8.	76-ая
9.	86-ая
10.	96-ая

 

По данным выборочного обследования установить с вероятностью 0,95 предел удельного веса стандартной продукции во всей партии.

По условию к стандартной продукции относят изделия весом не бо­лее 400г.

Для установления предела, в котором во всей партии находится до­ля стандартной продукции, используем ф-лу:

Для определения составим таблицу:

№№ п/п	'Количество деталей	Расчетные графы
Всего (ni)	В т.ч. с весом 400 г. (mi)
I.			1.0000	0.042	0,001764
2.			0,972	0,014	0,000196
3.			0,917	-0,041	0,001681
4.			0,944	-0,014	0,000196
5.			0,944	-0,014	0,000196
6.			1,000	0,042	0,001764
7.			0,944	-0,014	0,000196
8.			0,917	-0,041	0,001681
9.			0,944	-0,014	0,000196
10.			1,000	0,042	0,001764
			0,958	-	0,009634

Тогда ,

Следовательно, во всей партии изделий доля стандартной продукции (с вероятностью 0,95) находится в пределе:

Серийная выборка будет тем точнее, чем равномернее изучаемый признак распределен по сериям.

Комбинированная выборка. Рассмотренные способы образования выбор­ки на практике обычно применяются не в "чистом" виде, а комбинируются в различных сочетаниях и с различной последовательностью. Это вызвано тем» что отбор единиц для обследования представляет сложный процесс, который в каждом конкретном случае может осуществляться по-разному.

Комбинированная выборка предполагает использование нескольких способов отбора. Примером комбинированной выборки может быть сочета­ние серийной (групповой) выборки и случайной (с индивидуальным отбо­ром единиц совокупности). В этом случае генеральная совокупность преж­де всего разбивается на одинаковые по объему серии (группы). В начале отбираются серии, затем из отобранных серий производят индивидуальную выборку единиц.

Такая комбинированная выборка может быть повторной (для групп и единиц) и бесповторной.

Комбинированную выборку можно получить и при других комбинациях видов отбора.

Применение комбинированной выборки зависит от того, насколько та или иная комбинация обеспечивает сбор необходимой статистической информации. Опыт выборочных наблюдений свидетельствует, что комбина­ция различных методов отбора позволяет уменьшить ошибки репрезента­тивности.

Нужно отметить, что средняя ошибка выборки при разных комбинаци­ях ее способов исчисляется по-разному в зависимости от ступенчатости выборки.

Многоступенчатый отбор. В статистике различают одноступенчатый и многоступенчатый способы отбора единиц в выборочную совокупность.

Одноступенчатым называется отбор, при котором единицы или серии для выборочного наблюдения отбираются непосредственно из генеральной совокупности.

При многоступенчатой выборке из генеральной совокупности вначале отбирают крупные серии (группы единиц), затем группы по объему, а затем отдельные единицы, которые подвергают наблюдению. Так произво­дится типическая выборка с механическим способом отбора единиц в выбо­рочную совокупность.

Примером многоступенчатой выборки может быть отбор семей для бюджетного обследования. На первой ступени отбираются районы, второй ступенью является отбор населенных пунктов и третьей - отбор отдельных семей. Причем способы отбора на отдельных ступенях выборки могут ме­няться. Так, при отборе районов обычно используют собственно-случайный отбор, отбор населенных пунктов - механическая выборка, а при отборе семей вновь применяют собственно-случайный отбор.

В отличие от типической выборки, где отбор производится из всех без исключения групп, при многоступенчатом отборе производится отбор самих групп, и, следовательно, не все они попадают в выборку.

Число ступеней отбора определяется числом типов единиц отбора, при этом на каждой последующей ступени единицы отбора по своим масштабам уменьшаются и на конечной ступени единица отбора совпадает с еди­ницей выборочной совокупности.

Ошибки многоступенчатой выборки складываются из ошибок на отдель­ных ступенях отбора. Если число ступеней отбора больше двух, то сред­няя ошибка выборки определяется по формуле:

, где,

- средние ошибки выборки на отдельных ступенях;

- численность выборок на соответствующих его тупенях.

Приведенная формула средней ошибки выборки пригодна для групп равных объемов, чего практически никогда не бывает. Формула средней ошибки выборки для неравновеликих групп на равных ступенях отбора слишком громоздка, а дает практически те же результаты, что и приве­денная выше. Поэтому необходимо добиваться, чтобы сохранялась общая доля отбора на всех ступенях, тогда упростится расчет ошибки выборочно­го наблюдения.

Многоступенчатый отбор, как правило, дает менее точные результа­ты по сравнению с одноступенчатым. Объясняется это тем, что ошибки многоступенчатой выборки складываются из ошибок на отдельных ступенях отбора. Но, тем не менее, на практике используют многоступенчатый отбор в тех случаях, когда одноступенчатую выборку организовать невозможно или очень сложно.

Многофазная выборка. Многофазная выборка характеризуется тем, что на всех ступенях выборки сохраняется одна и та же единица отбора, но проводится несколько стадий, фаз выборочных обследований, которые различаются между собой широтой программы обследования и объемом вы­борки, когда выборочные совокупности образуются так, что одни сведения собираются от всех единиц, а затем отбираются еще некоторые единицы и обследуются по более широкой программе.

Выборка может быть двухфазная, трехфазная, четырехфазная и т.д.

Примером многофазной выборки может служить обследование крестьян­ских хозяйств земскими пензенскими статистиками в дореволюционной Рос­сии. В начале была произведена сплошная подворная перепись всех крес­тьянских хозяйств по сокращенной похозяйственней карточке. Затем каж­дое третье хозяйство описывалось по более полной, но все же краткой программе, каждое девятое - по еще более полной, подробной программе, а каждое 27 хозяйство - по специальной программе и, наконец, 25 хозяй­ств на уезд подвергались детальному бюджетному обследованию (5 фазная выборка). Итак, пять ступеней выборки, на всех одна единица отбора - крестьянское хозяйство, 5 программ и каждая более полная включает в себя вопросы краткой программы, что дает возможность проверить репре­зентативность выборки.

В переписи 1979г. сведения по короткой программе ( 11 - вопросов) были получены, а от всего населения по расширенной программе (16> - вопросов), которая включала в себя и вопросы короткой программы поступали от каж­дого четвертого (25% выборка).

Важной особенностью многофазной выборки является возможность использовать сведения, полученные на первой фазе, для уточнения расчетов на последующих фазах исследования.

Так, например, сведения, полученные при сплошной переписи населения 1979г. (вопросы I-П программы переписи) используются для уточнения оценок, полученных при выборочном 25% обследовании (вопросы 12-18 программы).

Многофазная выборка отличается от многоступенчатого отбора. При многофазной выборке на каждой фазе сохраняется одна и та же единица отбора. (В переписи 1979г. сведения по краткой и расширен­ной программе поступали от одного и того же лица). При многоступен­чатых выборках единица отбора на каждой ступени выборки различная, а обследованию подлежат только единицы, отобранные на последней ступени. (При обследовании бюджетов семей - I стадия - районы, П - населенных пунктов - Ш ступень - отдельные семьи. Обследованию подлежат только бюджеты отдельных семей).

Расчет ошибки многофазной выборки производится для каждой фазы в отдельности.

Моментное наблюдение. Особым видом выборочного наблюдения яв­ляется моментное наблюдение. Этот метод получил широкое распростра­нение в последние годы. В промышленности, строительстве и других отраслях народного хозяйства его чаще всего используют для изучения использования рабочего времени и времени использования оборудования, В торговле моментное наблюдение применяется для изучения покупатель­ского спроса, ассортимента товаров, структуры рабочего времени и т.д.

Сущность его состоит в том, что отдельные элементы изучаемого процесса фиксируются на определенные моменты времени. Моментное наблюдение является выборочным во времени и сплошным по охвату еди­ниц совокупности. Если моментное наблюдение применяется для изуче­ния времени работы оборудования или использования рабочего времени, то при наблюдении фиксируется находился ли рабочий или станок в про­цессе работы или в простое. Моментное наблюдение охватывает всех рабочих цеха или все станки и в этом смысле является сплошным. Выбо­рочное же оно потому, что охватывает не все время работы цеха (сме­ны), а лишь определенные моменты, в которые осуществляется контроль использования рабочего времени или времени работы оборудования.

Понятия генеральной и выборочной совокупности относятся здесь ко времени наблюдения. В качестве генеральной совокупности обычно выступает фонд рабочего времени или времени использования оборудова­ния. Под выборочной совокупностью понимается сумма тех отрезков вре­мени, в которые ведется регистрация состояния исследуемого объекта. При этом принимается во внимание длительность регистрации и интерва­лы времени.

Как и всякое выборочное наблюдение, моментное наблюдение имеет целью на основе характеристики выборочной совокупности дать репрезентативную оценку всей генеральной совокупности. Поскольку при моментном наблюдении обычно характеризуется альтернативный признак (работа - простой, наличие - отсутствие), то оценка репрезентатив­ности производится по формулам средней и предельной ошибки выборочной доли. При этом в качестве выборочной совокупности принимается число записей моментного обследования.

Например: I) В цехе работает 20 станков и за 8-часовую смену каждые 30 минут проводились моментные регистрации. Всего было сдела­но 320 записей (16*20). В 288 записях было отмечено, что станок ра­ботал, а в 32 - что он был в простое. Тогда доля работающих станков = 0,9, а ошибка выборки при t=2 составит:

Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утвервдать, что доля ра­ботающих станков за все время смены составила 0,9 0,033, т.е. от 86,7 до 93,3%.

2) В цехе проводилось моментное наблюдение использования рабо­чего времени, для чего в течение 15 мин. производилось регистрация состояния занятости всех рабочих, которая показала, что за все вре­мя наблюдения, составившее 5120 мин. 430 мин. приходилось на неосно­вное время (рабочий был занят другими делами); было сделано 256 записей (П = 256).

Следовательно в выборочной совокупности неосновное время заня­ло 430/5120 = 0,084 или 8,4%. Эту величину обозначим через .

Ошибка выборочного наблюдения с вероятностью 0,954, т.е. при = 2, составит:

Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что в ге­неральной совокупности рабочего времени обследованного цеха неосновное время составит 8,4% 3,4% , т.е. будет не менее 5% и не более 11,8%, а рабочее время в пределах 88,2 – 95% фонда времени.

При использовании моментного наблюдения для характеристики неосновного времени, когда регистрация ведется с отметкой о видах затрат на неосновное время, а удельный вес различных видов затрат в общих затратах неосновного времени неодинаков, расчет дисперсии доли этого времени производится как средний величины из произведе­ний , где -доля затрат неосновного времени по от­дельным элементам, взвешенных по числу повторяющихся элементов.

3) В секции магазина работает 10 продавцов, за 7 часовую сме­ну каждые 30 мин. проводились моментные регистрации. Следовательно, всего за 7 часов было сделано 140 записей. Причем в 100 случаях было отмечено, что продавцы обслуживали покупателей. Тогда доля работающих продавцов и ошибка выборки при t = I

Следовательно, с вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля работающих продавцов за все время смены составила 0,710,0016, т.е. находилась в пределах 70,84 - 71,16%.

Использование моментного наблюдения имеет преимущества. С по­мощью этого метода возможно быстро получить обширную информацию с затратами значительно меньшими, чем при сплошном наблюдении, а правильная их организация обеспечивает вполне точные результаты.

Малая выборка. С увеличением численности выборочной совокупнос­ти повышается точность выборочных данных. И наоборот, уменьшение объема выборки ухудшает репрезентативность, приводит к значительным ошибкам при определении характеристик совокупности. И, тем не менее, иногда приходится ограничиваться малым числом наблюдений. Чаще все­го эта необходимость возникает при проверке качества продукции, на производстве, товаров в товароведной практике, связанной с уничто­жением образцов. В подобных случаях большой объем выборки может привести к значительным материальным затратам, поэтому на практике ограничиваются так называемой малой выборкой. Под малой выборкой в статистике понимают выборочное наблюдение, численность единиц ко­торого не превышает 20 (Н.Н.Ряузов) - 30 (Овененко, Кильдишев) ед., а иногда бывает и меньше 4-5 единиц.

В математической статистике доказывается, что при малых выбор­ках характеристики выборочной совокупности можно распространить на генеральную. Но расчет средней и предельной ошибки выборки будет иметь свои особенности.

I) В математической статистике доказано, что соотношение между ге­неральной дисперсией и выборочной дисперсией такое

Следовательно, выборочная дисперсия меньше генеральной на величину . В тех случаях, когда "n " достаточно велико, коэффициент становится близким к I. Так, при n =100, коэффициент равен 1,01 , при n = 500, коэффициент равен 1,002

Следовательно, при большой численности выборки, выборочные дисперcии совпадают с генеральными, а среднее квадратическое отклонение приз­нака в выборочной совокупности рассчитывают по той же формуле, что и среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности, т.е.

для негруппированных данных.

Но если при большом числе единиц выборочной совокупности, полировочным коэффициентам , на которой необходимо умножить

выборочную дисперсию, чтобы получить генеральную, можно пренебречь,

то при небольшом объеме выборки его необходимо учитывать. Поэтому

дисперсия малой выборки м.в. определяется по формуле:

а среднее квадратическое отклонение:

Это 1-ая особенность в расчете средней и предельной ошибок малой выборки.

Иными словами, дисперсия малой выборки и среднее квадратическое отклонение определяются с учетом так называемого числа степени сво­боды. Под числом степеней свободы понимается количество вариантов, которые могут принимать произвольные значения, не меняя величины средней. При определении м.в. число степеней свободы равно (n-1)

Для расчета средней ошибки малой выборки используют формулу:

где, м.в. - дисперсия малой выборки;

n - число единиц малой выборки.

Предельная ошибка малой выборки м.в. определяется по фор­муле:

Второе отличие.

2) Но здесь величина "t" иначе связана с вероятностной оценкой, чем при нормальной выборке. Вероятностная оценка результатов малой выборки отличается от оценки в большой выборке тем, что при малом числе наблюдений распределение вероятностей для средней в большей степени зависит от числа отбираемых единиц. Английский статистик Голей, писавший под псевдонимом "Стьюдент", доказал, что в случаях малой выборки действует особый закон распределения вероятностей, ко­торый известен под названием распределения Стьюдента.

Согласно распределению "Стьюдента", вероятность того, что пре­дельная ошибка не превысит t - кратную среднюю ошибку в малых вы­борках зависит и от величины ( t ), и от численности выборки ("n").

Рассмотрев величину , где .

Стыодент нашел закон ее распределения, на основании которого состав­лена таблица вероятностей, соответствующих данным значениям коэффи­циента доверия " t " и разным объемом малой выборки - n .

Таблица Cтьюдента приводится в курсах математической статистики.

t n	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0
	0.347	0.609	0.769	0.861	0.933	0.942
	0.362	0.644	0.816	0.908	0.953	0.976
	0.372	0.656	0.832	0.924	0.966	0.984
	0.376	0.666	0.846	0.936	0.975	0.992
	0.377	0.671	0.850	0.940	0.978	0.992
	0.383	0.683	0.865	0.954	0.988	0.997

 

Как видно из таблицы, вероятность расхождения между выборочной средней малой выборки и генеральной средней зависит от числа отбирае­мых единиц n , колеблемости признака и величины самого t , которое имеет тот же смысл, что и в больших выборках. При в таблице даны вероятности нормального распределения.

Как видно из таблицы, при увеличении n - это распределение стремится к нормальному и при n= 20 уже мало чем отличается от него. Так, в обычной выборке при t =1 вероятность равна 0,683, при t = 2 вероятность равна 0,954 и при t = 3 вероятность рав­на 0,997.

Использование распределения Стьюдента можно рассмотреть на примере:

Предположим, отобрано по жребию 10 работниц - ткачих для определения средней выборки. У отдельных ткачих дневная выработка выражалась в м² одинаковой ткани: 103, 93, 76, 87, 98, 69, 80, 110, 72, 82. Найдем выборочную среднюю и средний квадрат отклонений:

м²

м²

с вероятностью 0,924 можно утверждать, что - лежит в пределах , т.е. разность - не превысит -2 х 4,1 = -8,2 м² и 2 х 4.1 = +8,2 м².

Следовательно, в генеральной совокупности, из которой отобрано 10 работниц, средняя выработка будет находится в пределах: 87 8,2

Как видно из примера расчет ошибок - в малой выборке почти не отличается от расчета их в большой выборке. В малой выборке только вероятность нашего утверждения несколько меньше, чем в большой вы­борке (0,924 вместо 0,954), и расчет дисперсии ведется по-другому. Однако это не значит, что можно применять малую выборку там, где нужна большая. Малые выборки могут довольно широко применяться в технике, биологии, торговле, но их следует осторожно использовать в социально-экономических исследованиях.

Надо иметь ввиду также, что выводы по малой выборке действительны лишь в том случае если распределение признака в генеральной совокупности явл, нормальным или близким к нему, и то, что точность ре­зультатов при малой выборке все же ниже» чем при выборке большого объема.

Взаимопроникающие выборки. Если из одной генеральной совокупнос­ти производить одним и тем же способом несколько независимых друг от друга выборок, то такие выборки наз. взаимопроникающими.

Особенно часто взаимопроникающие выборки применяются в тех слу­чаях, когда необходимо получить предварительные итоги при выборочных обследованиях. В таких случаях пользуются данными лишь одной выбор­ки, хотя полной размер показателя представляется в виде результатов нескольких выборок

Взаимопроникающие выборки можно поручить разным лицам, что позволяет делать сопоставления итогов по всем частям и обеспечить взаимную проверку их работы.

Взаимопроникающие выборки дают независящие друг от друга оценки значений рассматриваемых признаков изучаемой совокупности. Такие оценки убедительны, так как полученные в результате обследования данные близки друг к другу.

Взаимопроникающие выборки особенно убедительны и удобны для со­поставления результатов исследования по отдельным географическим районам, т.к. они позволяют выявить межрайонную вариацию, проверить ее расчет по разным выборкам.

Но наряду с положительными сторонами взаимопроникающие выборки имеют недостатки: прежде всего, эти выборки связаны с повышенными расходами, так как одинаковой по величине частью генеральной совокупности занимается несколько обследователей, а следовательно, увели­чиваются расходы на обследование одних и тех же единиц наблюдения.

Ошибки взаимопроникающих выборок .определяются по формулам типи­ческой пропорциональной выборки. Величина колеблемости признака оп­ределяется как средняя из колеблемости отдельных выборок, а средний размер - как средняя из средних.

Направленный отбор. Этот способ отбора единиц из генеральной со­вокупности исторически предшествовал другим способам. Его особенность состоит в том, что среднее значение признака в генеральной совокупнос­ти известно, а выборочная совокупность должна характеризовать структу­ру генеральной совокупности по другим признакам.

При использовании направленного отбора предполагают, что выборку нужно произвести таким образом, чтобы средний размер отобранных еди­ниц был равен среднему размеру единиц во всей выборочной совокупности. Формирование выборочной совокупности производят путем замещения единиц совокупности слишком отклоняющихся по своим размерам от средней, други­ми единицами, которые как и первые отбираются в случайном или типичес­ком порядке.

Для полученной выборки рассчитывают среднее значение изучаемого признака. Если оно не равно средней генеральной совокупности, то берут еще одну единицу и ее размер сравнивается с размером первой, взятой единицы. Если замена первой единицы вновь взятой приводит к равенству (приближенному) средних генеральной и выборочной совокупности, выборку считают уравновешенной и репрезентативной по всем остальным признакам совокупности. При отсутствии равенства средних замену повторяют до тех пор, пока не будет достигнута уравновешенность.

Уравновешивание можно производить по качественному признаку. Нап­ример, при изучении населения, состоящего из городского и сельского, когда единицами отбора служат административные районы с определенным числом жителей. В этом случае выборку можно уравновесить по % соотноше­нию этих двух групп населения.