Теорема Котельникова

Математическим фундаментом теории сигналов является функциональный анализ, важнейшим понятием которого является пространство, а применительно к теории передачи сигналов– пространство сигналов. Это понятие еще в 1946г. было использовано В. А. Котельниковым для решения проблемы помехоустойчивости.В. А. Котельников был первым, кто применил положения обобщенной спектральной теории, использовал понятие пространства сигналов для исследования проблемы помехоустойчивости.

Все реальные непрерывные сигналы являются плавными функциями времени. Поэтому такие сигналы можно представить последовательностью их значений – отсчетов, взятых с некоторым шагом в фиксированные моменты времени. Фундаментальное значение для решения многих задач теории передачи сигналов имеет теорема отсчетов В. А. Котельникова. Согласно этой теореме непрерывная функция х(t), не содержащая частот выше граничной F_в, полностью определяется отсчетами мгновенных значений х(kΔ) в точках, отстоящих друг от друга на интервалы Δ ≤ 1/2 F_в.

Эта теорема позволяет представить непрерывнуюфункцию х(t) в виде ряда:

(2.9)

 

Из сопоставления ряда (2.9) с обобщенным рядом Фурье (2.1) следует, что элементарными базисными функциями в ряде Котельникова являются отсчетные функции:

 

(2.10)

Процедура восстановлениянепрерывнойфункции х(t) по отсчетам ее мгновенных значений х(kΔ)

вытекает непосредственно из (2.9): нужно перемножить значения отсчетов х(kΔ) на соответствующие

отсчетные функции и просуммировать полученные произведения. Для полного восстановления необходимо

просуммировать бесконечное число членов ряда (2.9). Однако если функция с ограниченным спектром х(t) рассматривается на конечном интервале Т, то точное значение х(t) можно заменить следующим приближенным:

 

(2.11)

Конечное число отсчетов n, определяющее х_ε(t), равно (при Δ = 1/2 F_в):

n =T/Δ+1=2F_вT+1. (2.12)

Величина 2F_вT=В имеет важное значение в ТЭС, ее называют базой сигнала.

Функции отсчетов Ψ_k(t) представляют собой импульсную реакцию идеального фильтра нижних частот (ФНЧ) сграничной частотой F_в, если на его вход подавать дельта-функцию δ(t) в моменты kΔ. Поэтому если подать на вход идеального ФНЧ с верхней частотой пропускания F_в отсчеты х(kΔ), то на выходе фильтра получим исходный непрерывныйсигнал х(t). Фильтр выполнит как операцию формирования функции отсчетов Ψ_k(t), так и операции умножения и суммирования.

Теорема Котельникова является основой для дискретизациинепрерывныхсигналов и лежит в основе импульсных способов передачи сигналов. Именно она указывает, при каких условиях передача непрерывногосигнала может быть сведена к передаче последовательности импульсов. Частота следования импульсов, называемая также частотой дискретизации,определяется по теореме Котельникова как:

f_Д= 1/Δ = 2F_в . (2.13)

Возможность передачи вместо непрерывных сигналов последовательности импульсов (отсчетов) позволяет осуществить временное разделение сигналов, что широко используется в многоканальных системах электросвязи.