Числовые характеристики сигналов и помех

Энергетические характеристики.Основными энергетическими характеристиками сигнала s(t) являютя его мощностьи энергия.

Если s(t) – напряжение u(t) и ток i(t), то мгновенная мощность, выделяемая на активном сопротивлении R, определяется через квадрат мгновенного значения

р(t) = u²(t)/R=i²(t)·R. (2.23)

Обычно в теории электросвязи принимают R=1 Ом (кроме особо оговариваемых случаев), и тогда в общем виде

p(t) = s²(t). (2.24)

Принятие такого условия связано с тем, что, как правило, интересуются не конкретным значением мощности, а отношениями мощностей сигнала и помехи. При вычислении отношений сопротивление R сокращается и для упрощения вычислений можно принять R=1.

Энергия сигнала на интервале (t₁, t₂) определяется как интеграл от мгновенной мощности

 

(2.25)

 

Отношение

 

(2.26)

имеет смысл средней мощности Р_s = на интервале t₁, t₂. Волнистая черта означает усреднение по времени.

Для случайных сигналов (помех) среднюю мощность можно вычислить по спектральной плотности мощности G_X(f):

(2.27)

где ΔР – мощность случайного процесса на полосе частот Δf.

Поскольку функция G_X(f) показывает распределение мощности по частотам, полная мощность выражается интегралом

 

(2.28)

 

Чтобы найти, например, мощность случайного сигнала (помехи), заключенную в полосе частот f₁ …f₂, надо провести интегрирование (2.28) в этой полосе:

 

(2.29)

 

Пример. Вычислить среднюю мощность Р_Ш белого шума со спектральной плотностью мощности G_X(f)=N₀=10^-6 В²/Гц в полосе Δf=3100 Гц.

Устанавливая в (2.29) пределы интегрирования от f до f+ Δf, получим среднюю мощность шума

(2.30)

 

Распределение мощности в спектре периодического сигнала. Средняя мощность периодического сигнала, рассматриваемая на всей оси времени, совпадает со средней мощностью за период Т.

Для гармонического сигнала u(t) = U_mcos(ωt+ψ₀) согласно (2.26) средняя мощность равна

 

 

(2.31)

 

и не зависит ни от частоты, ни от начальной фазы.

Поскольку периодический сигнал s(t) можно представить в виде тригонометрического ряда Фурье и интеграл суммы равен сумме интегралов, из (2.26) и (2.31) следует, что

 

(2.32)

Итак, полная средняя мощность периодического сигнала равна сумме средних мощностей, выделяемых отдельно постоянной составляющей А₀/2 и гармониками с амплитудами А_m1, A_m2, …, причем средняя мощность не зависит от частот и фаз отдельных гармоник.

Уровни сигналов (помех). Под уровнем понимают отношение значений мощности Р_Х или напряжения U_X в рассматривваемой точке х к значению мощности Р₀ или напряжения U₀, выбранным для сравнения. Поскольку значения мощности (напряжения) могут изменяться в больших пределах (десятки и сотни раз), для измерения уровней введена логарифмическая величина уровня – децибел (дБ), равная 10·lg(Р_Х/Р₀) – по мощности и 20·lg(U_Х/ U₀) – по напряжению. В качестве абсолютного нулевого уровня для сравнения в технике связивыбрана мощность Р₀=1 мВт, рассеиваемая на сопротивлении R=600 Ом. Тогда U₀=Децибелы, определенные относительно уровня Р₀=1 мВт, называются децибелмилливаттом иобозначаютсядБм.

При логарифмической единице измерения уровней такая характеристика качества, как отношение сигнал-помеха ρ_{с – п} будет равна разности уровней сигнала L_c и помехи L_п:

ρ_{с – п}=10·lg(P_s/P_п)= 10·lg(P_s/P₀) – 10·lg(P_п/P₀)= L_c - L_п.

Динамический диапазон и коэффициент амплитуды.Динамический диапазон D_s, дБ, характеризует пределы изменения мгновенной мощности и определяются выражением:

D_s= 10·lg(p_max/p_min),

где p_max – максимальное, а p_min – минимальное значение мгновенной мощности, определенные каким-либо способом. Например, за минимальную мощность, если ее трудно определить, принимается мощность шума или допустимая среднеквадратическая погрешность.

Коээффициентом амплитудысигнала К²_А называется отношение его максимальной мощности к средней. В логарифмических единицах, дБ,

К²_А= 10·lg(p_max/Р). (2.33)

В некоторых случаях динамический диапазон и коэффициенты амплитуды определяются не в логарифмических, а в абсолютных единицах (в «разах»).

Длительность и ширина спектра сигнала.* Под длительностью сигнала понимают интервал времени его существования. Вычисляется как разность между временем окончания t₂ и временем его начала t₁:

Δt_s = t₂ - t₁.

Ширина спектра –это интервал частот, занимаемый спектром сигнала. Вычисляется как разность между максимальной частотой спектра сигнала f_max и минимальной f_min :

Δf_s = f_max - f_min.

Вычисление длительности и ширины спектра сигнала не вызывает трудностей, если сигнал имеет четко выраженное начало и конец, а спектр – граничные частоты. Но из преобразования Фурье следует, что если сигнал имеет конечную длительность, то спектр его бесконечный. И наоборот. В этом случае необходимо условиться об определении длительности и ширины спектра.

В практике применяются различные определения, выбор которых зависит от назначения сигнала, его формы, структуры спектра. В некоторых случаях выбор даже произволен. Наибольшее применение нашли следующие способы определения Δt_s и Δf_s:

1. Отчет на заданном уровне от максимального. Обычно длительность импульсного сигнала и ши-рину спектра определяют на уровне от максимального значения соответственно s(t) или F(ω). Но можно выбрать для вычислений любой уровень, например 5% максимального, как показано на рис. 2.3.

 

*Аналогично определяется длительность и ширина спектра помех.

 

 

Рис. 2.3. Определение ширины спектра на заданном уровне

 

 

2. Энергетический способ. За длительность сигнала (ширину спектра) принимают такой интервал времени (частот), в который попадает заданная часть полной энергии сигнала, например 0,9 или 0,95.

3. Замена реального сигнала (спектра) равновеликим прямоугольным.Такая процедура показана на рис. 2.4, где изображена спектральная плотность мощности случайного сигнала G_X(f). Площади прямо -

угольника и фигуры, ограниченной кривой G_X(f) и осями координат, равновелики. Из рис. 2.4 следует, что ширина спектра, называемая эффективной, равна

(3.34)

 

Числовые характеристики сигналов и помех широко используются в электросвязи. По энергетическим характеристикам определяется требуемое превышение сигнала над помехой, по ширине спектра сигнала устанавливается полоса пропускания канала электросвязи, необходимая для неискаженной передачи. Для непрерывных первичных сигналов ширина спектра определяется обычно опытным путем (см. табл. 2.1).

Таблица 2.1. Основные числовые характеристики первичных сигналов

Вид сигнала	fmin , кГц	fmax , кГц	Ds , дБ	К2А , дБ	ρс – п , дБ
Телефонный	0,3	3,4
Вещания: первого класса высшего класса	0,05 0,03
Факсимильный при скорости 120 строк/с: полутоновый штриховой Газета – 2		1,465 1,465 180	- -	4,5 - -
Телевизионный	0,05			4,8
Передача данных		В/103	-	-

Для импульсных сигналов при определении ширины спектра можно воспользоваться важнейшим положением теории сигналов: если Δf_s означает ширину спектра некоторого сигнала длительностью Δt_s, то всегда имеет место соотношение:

Δf_s · Δt_s ≈ μ, (2.35)

где μ – постоянная величина, порядка единицы ( μ ≈ 1) для видеоимпульсов и порядка дух ( μ ≈ 2) для радиоимпульсов. Смысл этого соотношения состоит в том, что ширина спектра сигнала обратно пропорциональна его длительности.