Лекция №1 АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

Лекция №1

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

Содержание и цель формального обоснования математики

Современный аксиоматический метод является одной из форм так называемого формального обоснования математики. Выясним смысл и цель формального обоснования математики.

В каждой математической теории речь идет, вообще говоря, о некоторых объектах, их взаимных отношениях и связях. Так, например, в геометрии Евклида основными объектами (элементами) являются точки, прямые и плоскости. Их взаимные отношения выражают словами «лежит на», «между», «равный», «параллельный», «непре­рывный»; связи элементов и построенных из них геометрических фигур описываются в системе аксиом. До второй половины XIX века большинство математиков счи­тало геометрию научной дисциплиной, изучающей только, образования из тех точек, прямых и плоскостей, которые Евклид описал в своих «Началах». В первой половине XIX века Понселе и Жеpгoн установили принцип двойственности проективной геометрии, были открыты новые геометрии – геометрия Лобачевского и др. Эти факты показали ограниченность тра­диционного толкования предмета геометрии.

Прямые Евклида и прямые Лобачевского качественно различны; значит, различны и треугольники, которые можно из них построить. Рассуждая по-старому, было естественно предположить, что и все относящиеся к ним теоремы будут иметь различное содержание. Однако, оказалось, что это не так: каждая теорема геометрий Евклида, доказанная без привлечения аксиомы параллельности, справедлива в геометрии Лобачевского и наоборот, например теоремы «внешний угол треугольника больше каждого внутреннего, с ним не смежного»; «против большей стороны лежит больший угол» и т.п.

Чтобы разрешить эти «парадоксы», надо было признать, что геометрические теории дают описание не только свойств объектов из одной области объектов, но и описывают общее - структуру отношений и форм связей, в которых могут выступать объ­екты различных областей объектов. Надо было, далее расширить традиционное толкование предмета геометрии и признать, что основные понятия и положения, а значит и теоремы геометрических теорий допускают многие реальные истолкования, или как теперь принято говорить, допускают различные интерпретации.

Теперь эта общность форм связей одноименных объектов раз­личных интерпретаций каждой математической теории описывается в понятии изоморфизма. Если две области объектов (для объектов которых установлены свои отношения и связи) изоморфны, то они могут служить интерпретациями одной и той же математической теории.

Пусть А и В — две области объектов, которые рассматриваются с некоторыми определенными для них отношениями. Допустим, что:

1. Каждому объекту а области А соответствует один объект в области В, и наоборот.

2. Каждому отношению, рассматриваемому в области А, соответствует определенное отношение в области В, и нао­борот.

3. Если некоторые объекты a₁, a₂, ... области А связаны соот­ношением φ(a₁, a₂, ...) то соответствующие элементы в_1, в₂, ... области В связаны соответствующим соотношением ψ(в₁, в₂, ...), и наоборот.

В этом случае говорят, что области А и В изоморфны. Это и означает, что их структуры тождественны, что каждая из них может служить интерпретацией одной и той же математической теории. Пример изоморфного отображения дает принцип двой­ственности в проективной геометрии, так как проективное прост­ранство может быть изоморфно отображено на само себя с превра­щением точек в плоскости, а плоскостей в точки. Аналогично пред­ставление комплексных чисел в виде пар (х, у) действительных чи­сел или при помощи векторов, расположенных на плоскости, так как при соответствующих условиях множество всех пар (х, у) действительных чисел и множество векторов плоскости изоморфны.

Признание формального (всеобщего) характера ма­тематических теорий открывало широкий простор для дальнейшего развития математики. Оказалось, что

Логически мыслимы различные геометрические теории, по своим исходным положениям существенно отличающиеся от геометрии Евклида.

Геометрия - часть математики, представляющая науку о пространственных отношениях и формах тел, а также о других отношениях и формах действительности, сходных с простран­ственными по своей структуре.

Истинность каждой геометрической теории должна проверяться на практике (понимаемой в широком смысле слова, вплоть до прак­тики моделирования на объектах ранее обоснованных теорий.

Признание формального (всеобщего) характера математических теорий открывает широкий простор для использования методов одних математических теорий для решения задач других математических теорий. Классический образец такого рода дает теория групп с ее многочисленными предложениями.

Примерно во второй половины XIX столетия матема­тики пришли к формальному обоснованию математических дис­циплин. При формальном обосновании математической теории не сообщают, о каких объектах идет речь, не говорят, каков конк­ретный смысл отношений и связей, в которых могут выступать изучаемые объекты. Объекты, отношения и связи их только указываются. Но зато стараются наибо­лее точно и полно описать структуру основных отношений и связей, которые являются общими для объектов изучаемых об­ластей объектов.

Суть современного аксиоматического метода заключается в следующем.

В геометрии, например, основными понятиями являются «точка», «прямая», «плоскость», а отношения между ними, выражены словами: «точка ле­жит на… Во-вторых, основные положения теории задаются как описания структуры, т.е.… Система аксиом должна удовлет­ворять следующим требованиям.

Значение аксиоматического метода для развития математики

Допустим, что Аi и А 2 - две какие-либо изоморфные интер­претации некоторой, заданной формально системы аксиом В. Каждая теорема, доказанная только… При аксиоматическом изучении объектов и отношений между ними существенную роль… Если из непротиворечивой системы аксиом исключить, а потом добавить, некоторые новые аксиомы, то полученные системы…

Лекция №2

Исторический очерк обоснования геометрии.

Начала» Евклида

Аксиоматический метод построения геометрии впервые был использован Евклидом в его знаменитом трактате из тринадцати книг, который он назвал… О жизни Евклида сохранились очень скудные сведения. Известно, что он жил при… Все 13 книг «Начал» Евклида построены по единому плану на основе дедуктивного метода изложения. Хотя «Начала» написаны…

Содержание «На­чал» Евклида.

В первой книге излагаются условия равен­ства треугольников, теории параллельных линий, соотношения между сторонами и углами тре­угольников, учение о площадях треугольников и параллелограммов, доказывается теорема Пифа­гора в ее геометрической формулировке.

Во второй книге — геометрическая алгебра, состоящая из целого ряда алгебраических тож­деств, доказываемых геометрическим способом. Заканчивается книга геометрической теорией решения квадратных уравнений.

В третьей — учение о круге и окружности, о секущих и касательных и об углах, образуемых ими, а также о степени точки относительно ок­ружности.

В четвертой — учение о вписанных и описан­ных многоугольниках, а также построение пра­вильных многоугольников (четырехугольника, пятиугольника и пятнадцатиугольника).

В пятой — в геометрической форме излагается теория рациональных и иррациональных чисел, включая и основные действия над ними, а также дается геометрическая теория пропорций по Евдоксу, которой древние греки владели в совер­шенстве.

В шестой — учение о подобных фигурах и ре­шение на отыскание пропорциональных величин, расширение геометрической алгебры, применение теории пропорций, изложенной в пятой книге.

В седьмой, восьмой и девятой книгах — гео­метрическая теория чисел, содержащая учение о наибольшем общем делителе и наименьшем кратном (седьмая книга), а также учение о не­прерывных пропорциях, относимых к числам, и учение о соотношении между вторыми и треть­ими степенями чисел (восьмая и девятая книги). В этих книгах представлена известная теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел, доказываемая методом от противного, а также теорема о четных совершенных числах.

В десятой книге — дальнейшее изложение геометрической алгебры, включающей в себя учение о несоизмеримых величинах, и квадратич­ные иррациональности.

В одиннадцатой, двенадцатой и тринадцатой книгах — стереометрия, состоящая из рассмот­рения задач на определение отношения площа­дей кругов, объемов пирамид и других тел, причем, при решении этих вопросов используется метод исчерпывания Евдокса (одиннадцатая и двенадцатая книги). «Начала» Евклида закан­чиваются изучением правильных многогранни­ков, к которым относятся четырехгранник (тетра­эдр), ограниченный четырьмя правильными треугольниками; восьмигранник (октаэдр), ог­раниченный восьмью правильными треугольни­ками; двадцатигранник (икосаэдр), ограничен­ный двадцатью правильными треугольниками; шестигранник (гексаэдр), ограниченный шестью квадратами (куб); двенадцатигранник (додека­эдр), ограниченный двенадцатью правильными пятиугольниками.

Логическое строение «Начал» Евклида

Остановимся более подробно на первой книге. Она начинается с определений. У Евклида явно не выделены неопределяемые понятия, что, с нашей точ­ки… ОПРЕДЕЛЕНИЯ 1. Точка есть то, что не имеет частей.

Лекция №3

Исторический очерк обоснования геометрии.

Попытки доказательства V постулата

Это объясняется, види­мо, следующими двумя причинами. Во-первых, V постулат более сложен и непосредственно ме­нее очевиден, чем остальные, так как… Нет ни одного крупно­го геометра от Евклида до Лобачевского (XIX в.), который… Оказалось, что V постулат недоказуем при помощи остальных аксиом евклидовой геомет­рии. Первым, кто показал (но еще не…

Лекция №4

Исторический очерк обоснования геометрии.

Исследования Саккери, Ламберта, Лежандра.

В XVIII в. созрели необходимые предпо­сылки для возникновения новых идей, связанных с геометрией Лобачевского, отрицающей V пос­тулат и все его… К этим ученым принадлежали итальянский математик Саккери (1667 - 1733),… Исследования Саккери. Саккери принадлежавший к ордену иезуитов, все свободное время отдавал изучению «Начал» Евклида и…

Приведем некоторые теоремы обобщающие исследования выше названных ученых.

Ранее Лежандра эта теорема была доказана (в 1817 Г.) Н. И. Лобачевским, но опубликована им была лишь ее формулировка (в 1829 r). Теорема Лежандра. Утверждение, что сумма внутренних углов хотя бы одного… Доказательство. Из аксиом I—IV и V групп (например, системы аксиом Гильберта) следует, что во всяком треугольнике…

Абсолютная единица длины в геометрии Лобачевского

В геометрии Евклида для определения отрезка не­обходимо задать непременно некоторый другой отре­зок (или систему отрезков) и указать то… Если реальное пространство подчиняется законам геометрии Евклида, эталон длины… Таким образом, в геометрии Лобачевского мы имеем более тесную аналогию в вопросах измерения отрезков и углов, чем в…

Лекция № 5

Исторический очерк обоснования геометрии.

Рождение неевклидовой геометрии

Профессор из Магдебурга Швейкарт (1780 - 1859) был юристом. Изучая историю неудачных попыток доказать V постулат и подходя к этому вопросу без… В этом письме говорится: «Существует двоя­кая геометрия: геометрия в узком… а) что сумма трех углов в треугольнике мень­ше двух прямых;

Лекция № 6

Исторический очерк обоснования геометрии.

Возникновение современной аксиоматики.

Первые успехи построения полной системы аксиом, из которых строго дедуктивным путем может быть выведен весь массив теорем евклидовой геометрии,… Книга Гильберта «Основания геометрии» [181, которая впервые по­явилась в I899… Кроме того, работа Гильберта дала начало целому ряду дальней­ших исследований в этом же направлении».