Независимые испытания. Схема Бернулли.
Определение. Испытаниями Бернулли называются независимые испытания с двумя исходами (традиционно их называют «успех» и «неудача»), вероятность которых не меняется от испытания к испытанию.
Проводятся ровно п одинаковых последовательных или совместных независимых испытаний, причем каждое испытание имеет ровно два элементарных исхода: А (успех) и Ā (неудача).
Обозначим вероятности Р(А) = p, Р(Ā) = 1– p = q .
Определение схемы Бернулли. Будем говорить, что опыты (испытания) проводятся по схеме Бернулли, если выполнены следующие условия:
1. Число опытов известно. Оно равно натуральному числу п.
2. Опыты независимы.
3. В каждом опыте одно событие А может произойти с постоянной вероятностью р.
Вычислим вероятность того, что «в п испытаниях событие А произойдет ровно т раз и не произойдет п – т раз». Обозначим это событие Вп,т. Очевидно, что оно распадается на частные случаи, имеющие вид произведений т множителей А и п – т множителей Ā.
Например, при п = 3, т = 2
В3,2 = ААĀ + АĀА + ĀАА
Тогда вероятность Р(В3,2) = ppq +pqp + qpp = C23 p3q.
В общем случае вероятность события Вп,т находится по формуле
Эта формула называется «биномиальным законом расчета вероятности», поскольку описывает слагаемые бинома Ньютона:
Эта же формула в литературе называется формулой Бернулли по имени её создателя.