Независимые события.

Введем теперь понятие независимого события.

Определение. Если , т.е. условная вероятность события В равна его безусловной вероятности, то событие В называют независимым от события А.

В этом случае, из формулы (5.3) следует, что

, (6.1)

и теорема о произведении двух событий принимает очень простой вид.

Теорема 6.1.(о произведении двух независимых событий). Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Рассмотрим, как рассчитать вероятность совокуп­ного результата двух или более экспериментов, которые проводятся в независимых друг от друга условиях.

Итак, вероятность события А остается постоянной как при условии, что В произошло, так и при условии, что В не произо­шло. Именно это мы принимаем за независимость в обыденной жизни.

На практике обычно для установления независимости событий не используют формальное определение и не анализируют формулы, а определяют независимость интуитивно. Например, нетрудно сообразить, что результаты нескольких подбрасываний монеты или кубика – независимые события.

Определение. События А₁,А₂,..., А_k из будем называть независимыми в совокупно­сти, если вероятность совместного наступления любых n (n ≥2) из этих событий равна произведению их вероятностей.

Для событий, независимых в совокупности, верна следующая теорема, обобщающая теорему 6.1.

Теорема 6.2.(о произведении событий, независимых в совокупности) Если события А₁,А₂,..., А_k независимы в совокупности, то

Р(А₁,А₂,..., А_k)=Р(А₁)Р(А₂)...Р(А_k). (6.2)

т.е. вероятность произведения событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

Заметим, что для независимости в совокупности нескольких событий недостаточно их попарной независимости. В этом можно убедиться на следующем примере, принадлежащем С.Н. Бернштейну.

Пример.Пусть грани тетраэдра (четырехгранной пирамиды) раскрашены следующим образом: первая грань - красного цвета, вторая – зеленого, третья – синего, а на четвертой грани есть все эти три цвета. Выбираем на тетраэдре одну грань случайным образом. Обозначим события следующим образом: А – «на выбранной грани есть красный цвет», В – «на выбранной грани есть зеленый цвет», С – «на этой грани есть синий цвет».

Всего тетраэдр имеет 4 грани, на двух из них есть красный цвет, поэтому . Аналогично вычисляем .

Допустим, что произошло событие В, т.е. мы выбрали вторую или четвертую грань. Тогда событие А может наступить при условии, что В уже произошло, только в одном из двух случаев (только на четвертой грани есть красный цвет, а на второй грани его нет). Поэтому . Аналогично .

Из равенства следует, что события А и В независимы. Из равенств и следует, что В и С, А и С тоже попарно независимы.

Однако, если произошли события В и С одновременно (на грани есть и синий и зеленый цвета), то заведомо и событие А произошло (на этой грани есть и красный цвет тоже), т.е. .

Таким образом, , это означает, что события А, В и С не являются независимыми в совокупности, хотя они попарно независимы.

Вероятность события (на грани есть все три цвета) очевидно, равна 1/4. Эта вероятность может быть вычислена с помощью формулы (5.3), но формула (6.2) здесь неприменима.

Обозначим Р(А_i) = p_i , а вероятность противоположного события Р(Ā_i) = 1 - p_i = q_i. В итоге получаем формулу для вычислениявероятности появления хотя бы одного события:

Р(А) = 1 - q₁ q₂ q₃…q_n

Замечание. Если все события Ā₁ , Ā₂ , Ā₃ , …, Ā_n имеют одну и ту же вероятность p, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

Р(А) = 1 – q ⁿ