Выведем теперь еще две важные формулы – формулу полной вероятности и формулу Байеса.
Рассмотрим следующую задачу. Пусть требуется найти вероятность события А, которое происходит обязательно вместе с одним из событий , , …, образующих полную группу попарно несовместных событий. Тогда, если событие А наступило, то обязательно произошло одно из событий , , …. Это означает, что . Поскольку события , , …попарно несовместны, то и события , , …обладают тем же свойством.
По теореме сложения вероятностей несовместных событий:. Кроме того, по формуле (5.1) имеем: , , …, . Следовательно,
. (7.1)
Равенство (7.1) носит название формулы полной вероятности. События , , …в этой формуле часто называют гипотезами. Это название оправдывается тем, что мы не знаем заранее, с каким из событий , , …вместе наступает событие А, и говорим, что А наступило в условиях той или иной гипотезы.
Применяя формулу (5.1) легко найти вероятность для любого i от 1 до n. Действительно, . Подставляя в эту формулу значение из (7.1) и учитывая, что , получаем
. (7.2)
Формула (7.2) называется формулой Байеса. Она широко применяется при решении задач, связанных с вероятностной оценкой гипотез после проведения эксперимента, поскольку позволяет найти вероятность каждой гипотезы при условии, что событие А произошло.