Формализация системы в виде агрегата

При выборе той или иной схемы формализации системы всегда возникает противоречивая задача – получить как можно более простую модель и обеспечить требуемую точность. При таком подходе различные системы могут быть представлены в виде различных достаточно простых математических схем.

Для анализа и синтеза структуры сложной системы с разнородными элементами (детерминированными, стохастическими, непрерывными, дискретными) необходима унификация математического описания состояний и операторов для всех элементов системы на основе единого формального языка описания системы.

Унифицированной математической моделью разнородных элементов системы является агрегат, который позволяет на едином языке представлять описания детерминированных и стохастических объектов, функционирующих как непрерывно, так и дискретно.

Понятие агрегата определяется на основании единого подхода к формализации процесса функционирования системы:

- состояние системы в данный момент времени определяется предыдущими состояниями и входными сигналами, поступившими в данный момент времени и ранее;

- выходной сигнал в данный момент времени определяется состояниями системы и входными сигналами, относящимся к данному и предшествующим состояниям.

С позиций моделирования агрегат выступает как универсальный переработчик информации: за конечный интервал времени он воспринимает конечное число входных сигналов и выдает конечное число выходных сигналов. Из входных сигналов могут быть выделены управляющие сигналы.

Формальная интерпретация каждого положения.

Входные сигналы. Агрегат имеет входные контакты, на которые в моменты времени t_j, j = 1, 2, . . . ; t_j+1 t_j, поступают входные сигналы. Входной сигнал х является элементом некоторого множества Х: х Є Х. Входной сигнал является вектором, размерность которого равна числу входных контактов, и на каждый контакт поступает "своя" координата входного сигнала. Входной сигнал может быть представлен конечным набором элементарных сигналов х₁(t), . . ., х_n(t), х_i Є Х_i, i = 1, n одновременно возникающих на входе агрегата.

На другие особые контакты системы поступают управляющие сигналы в моменты времени τ_i. Управляющий сигнал g является элементом множества Г: g Є Г.

За конечный интервал времени в агрегат поступает конечное число входных и управляющих сигналов. Совокупность входных сигналов, расположенных в порядке их поступления называется входным сообщением, или (х)-сообщением, соответственно управляющих сигналов - управляющим сообщением или (g)-сообщением.

Выходной сигнал агрегата у является элементом некоторого множества У и определяется по состояниям агрегата z (t) при помощи оператора G. За конечный интервал времени оператор выдает конечное число выходных сигналов. В общем случае оператор является случайным оператором.

Совокупность выходных сигналов, упорядоченная относительно времени выдачи, называется выходным сообщением или (у)-сообщением.

Состояния системы. В каждый момент времен t Є (0, T), в который функционирует система, агрегат находится в одном из возможных состояний. В общем случае множество Т может быть непрерывным, дискретным или дискретно-непрерывным.

К системам, функционирующим в дискретном времени относятся вычислительные устройства. К системам, функционирующим в непрерывном времени относятся механические, электрические системы, системы автоматического управления непрерывными объектами. Дискретно-непрерывный характер имеют иерархические системы автоматизированного управления технологическими процессами: на нижних уровнях управление может рассматриваться в непрерывном времени, на более высоких – в дискретном.

Функционирование системы во времени рассматривается как процесс перехода ее из состояния в состояние: состояние системы изменяется как функция времени z (t), называемая фазовой траекторией.

Функции z (t) (или их вероятностные характеристики) могут зависеть от ряда параметров α_m, m = 1, 2, . . . , m*, α Є А.

В общем случае последовательности вида (t_j, х_j) оказываются реализациями случайных последовательностей (θ_j, X_j) с законом распределения L [θ, X], последовательности вида (t_j, g_i) - реализациями случайных последовательностей (θ_i, λ_i) с законом распределения L [θ_i, λ_i]. Функции z (t) представляют собой реализации случайных функций Z (t) с совокупностью многомерных законов распределения L[Z (t)].

Состояние системы может определяться набором действительных чисел. Например, положение самолета в данный момент времени можно описать вектором фазовых координат (z₁, z₂, z₃), где z₁ – наклонная дальность, z₂ - азимут, z₃ - угол места.

В начальный момент времени t₀ состояния z имеют значения, равные z₀ (в общем случае задаются законом распределения L₀[Z (t₀)]).

Состояния агрегата z (t) для произвольного момента времени t > t₀ определяются по предыдущим состояниям оператором перехода Н:

z (t) = Н [z (t₀), t].

Если оператор случайный, это означает, что данному z (t) ставится в соответствие в общем случае не одно определенное z (t), а множество значений z (t) с некоторым законом распределения, зависящим от вида оператора Н. Конкретное значение z (t) определяется как реализация в соответствии с этим законом распределения.

Вид оператора перехода Н зависит от того, содержит ли рассматриваемый интервал времени моменты так называемых особых состояний агрегата или не содержит. Под особыми состояниями агрегата будем понимать его состояния в моменты получения входного либо управляющего сигналов или выдачи выходного сигнала. Все остальные состояния будем называть неособыми.

Из особых состояний агрегат может переходить в новое состояние скачком.

Наряду с z (t) вводится состояние z (t + 0), в которое агрегат переходит за малый интервал времени. Будем считать, что момент (t + 0) для любого t₁ > t принадлежит полуинтервалу (t, t₁].

Принятые обозначения для сообщений, состоящих из сигналов, поступающих в агрегат в течение полуинтервала времени (t₁, t₂]: входное сообщение обозначается как (x]_t1^t2, управляющее сообщение – как (g]_t1^t2.

Для любого полуинтервала времени (t₁, t₂] можно построить совокупность входных и управляющих сигналов, упорядоченную относительно моментов их поступления в агрегат - (х, g)-сообщения - (x, g]_t1^t2 .

Пусть t'_n – момент поступления в агрегат входного сигнала х'_n, тогда

z (t'_n + 0) = V'[t'_n, z (t'_n), х'_n, g (t'_n), α],

где g (t'_n) – последний управляющий сигнал, поступивший в агрегат в момент времени t < t'_n, α- параметр.

Если t''_n – момент поступления в агрегат управляющего сигнала g''_n, то

z (t''_n + 0) = V''[t''_n, z (t''_n), g''(t''_n), α].

Если в момент t_n в агрегат поступает сигнал (х_n, g_n) ∈Х х Г, то состояние агрегата изменяется в два этапа: сначала в соответствии с оператором V'', а затем – с оператором V':

z (t_n + 0 + 0) = V'{t_n, V''[t_n, z (t_n), g_n, α], х_n, g_n, α}.

Если полуинтервал (t_n, t_n+1] не содержит ни одного момента поступления сигналов, то для t ∈ (t_n, t_n+1]

z (t) = U [t, t_n, z (t + 0), α].

Во множестве состояний Z определяется подмножество Z^Y, зависящее в общем случае от g и α, такое, что, если для данного момента времени t* состояние z (t') ∈Z^Y при t* - ε< t' < t*, где ε> 0 – достаточно малое число, а z (t*) ∈Z^Y, то t* является моментом выдачи выходного сигнала

y = G'' [t*, z (t*), g (t*), α].

Подмножество Z^Y часто обозначается Z^Y(g, α), подчеркивая этим возможность его изменения в зависимости от g и α.

Процесс функционирования агрегата, таким образом, состоит в последовательной смене его состояния в соответствии с приходящими сигналами, которые упорядочиваются в зависимости от моментов их возникновения.

Агрегаты могут служить основой для построения достаточно сложных систем.