Рассмотрим систему, модель которой может быть представлена как материальная точка, система материальных точек (механическая система).
Материальная точка - тело, размеры и форма которого несущественны в рассматриваемой задаче.
Пример идеализации исходя из целей и задач.
Материальная точка не имеет размеров. Тогда что такое линия? Определение линии, плоскости: «Существует хотя бы одна прямая или одна плоскость. Каждая прямая и каждая плоскость есть несовпадающее с пространством непустое множество точек». Как не имеющие размеров точки могут заполнить линию? Вводится понятие предела и связанного с ним понятия бесконечно малой величины, непрерывности (основа дифференциального и интегрального исчисления).
Функция непрерывна на интервале, если она непрерывна во всех его точках, тогда ее график представляет собой непрерывную кривую.
Предел по ∆x: lim [f(x + ∆x) - f(x)] = 0.
Производная от функции y = f(x) в точке x есть скорость изменения ее в этой точке: lim ∆у/∆x = [f(x + ∆x) - f(x)] / ∆x = f′(x)
Траектория - линия, описываемая движущейся точкой. Состояние системы описывается точкой фазового пространства, которая тоже движется по некоторой траектории в этом пространстве. Состояние материальной точки не сводится к ее геометрическому положению, включает также и скорость.
Система материальных точек (механическая система) совокупность материальных точек, которая в общем случае взаимодействует как друг с другом, так и с другими телами, не включенными в систему.
В системе, представленной как абсолютно твердое тело расстояние между любыми точками постоянны (размеры и форма не изменяются при движении). Тело может быть представлено как система материальных точек, жестко связанных друг с другом.
Инерционные свойства механической системы выражаются первым и вторым законами Ньютона. Он первым понял, что ускорение, а не скорость объекта пропорциональна приложенной силе.
Инерционные свойства механической системы выражаются первым и вторым законами Ньютона.
Масса тела не зависит от скорости его движения - ускорение, а не скорость объекта пропорциональна приложенной силе.
1-ый закон - если на материальную точку не действуют внешние силы (другие тела), то она находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.
Этот закон называют законом инерции движения материальных точки, свободной от внешних воздействий – движением по инерции. Любые изменения состояния движения обусловлены действием внешних сил. Под действием внешней силы точка приобретает конечное по величине ускорение, в отсутствие внешних воздействий – сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.
2-й закон - произведение массы тела на ускорение равно суме всех действующих на тело сил.
Закон устанавливает связь между действующей силой и вызванным ею изменением состояния (ускорением): ускорение материальной точки прямо пропорционально действующей на нее силе F ~ a.
Отношение силы к приобретенному ускорению постоянно для данного тела. Это отношение называется массой.
Масса = Сила / Ускорение
Здесь масса характеризует инерционные свойства материальной точки и называется инертной массой материальной точки.
Количество движения материальной точки – вектор Кi, равный произведению массы точки mi на ее скорость vi: Кi = mi vi:
Или: первая производная по времени от импульса (количества движения) материальной точки (системы точек) равна главному вектору F всех внешних сил, приложенных к точке:
dKi/dt = Fi или d/dt (mivi) = Fi.
Или: элементарное изменение количества движения материальной точки равно элементарному импульсу действующей на нее силы:
d (mivi) = Fi dt, так как mi = const, то wi = dvi / dt = Fi / mi.
Итак, второй закон Ньютона для материальной частицы m¨x = F.
Здесь m – масса частицы, x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) – ее положение в момент времени t.
Частица движется в пространстве R3, x1(t), x2(t), x3(t) – ее координаты, F - действующая на частицу сила, может задаваться как функция времени F = F (t). Обычно сила задается как вектор-функция аргументов x Î R3, x˙ Î R3 и времени t. Тогда уравнение второго закона есть векторное дифференциальное уравнение второго порядка mx¨ = F(x, x˙, t).
Для того, чтобы описать движение материальной точки при помощи этого уравнения, недостаточно задать ее начальное положение, задание начальных условий должно включать и задание начальной скорости:
x(0) = x0, x˙ (0) = v0.
Здесь x0 – начальное положение точки x0(t) = (x01, x02, x03) Î R3, v0(t) = (v01, v02, v03) Î R3 – ее начальная скорость.
Таким образом, фазовое пространство данной системы есть R3 х R3, а состояние системы – есть пара (x, v), где x - положение материальной точки, v - ее скорость.
Согласно первому и второму законам Ньютона все изменения состояния движения вызываются силами – силы являются причинами любого изменения.
Ускорение возникает в направлении действия силы. Силы инерции направлены в противоположную сторону. Возникают только в системе отсчета, движущейся с ускорением – это кажущиеся силы.
3-ий закон - две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по величине и направленными в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки.