Как и в случае горизонтально брошенного тела, тело движется, в результате комбинации двух движений: равномерного прямолинейного движения под углом к горизонту и свободного падения в вертикальном направлении (под действием только силы тяжести – без реакции опоры).
В двумерной постановке тело, брошенное под углом к горизонту, рассматривается как материальная точка, движущаяся под действием лишь одной силы - постоянной силы его веса Р, направленной вертикально вниз. Начало координат – в точке приложения силы, обеспечившей начальную скорость полета.
Тело массы m, брошенное под углом к горизонту, движется под действием постоянной силы веса Р = Fт, направленной вертикально вниз Р = mg.
Уравнения движения можно представить как в векторной, так и в координатной форме.
Для произвольной точки М (х,у) траектории тела:
mv = Р t + mv0, или v = gt + v0.
Проецируя векторные соотношения на оси координат, получим уравнения движения в координатной форме.
m dvx /dt = 0, vx = dx/dt,
m dvy /dt = - mg, vy = dy/dt
Необходимо найти зависимости x(t), y(t), vx(t), vy(t) из решения полученной системы дифференциальных уравнений при начальных условиях:
x(0) = x0, y (0) = y0, vx (0) = v0 cos Θ 0, vy (0) = v0 sin Θ 0.
Сопротивление воздуха
Cила сопротивления воздуха Fа/д (полная аэродинамическая сила) направлена противоположно вектору скорости тела прямо пропорциональна величине скоростного потока q и характерной площади тела S:
Fа/д = - CrqS, q = ρv2/2,
где Cr - коэффициент сопротивления, зависящий от свойств среды и тела, скорости потока, ρ [кг/м3] – плотность воздуха, зависит от высоты.
Коэффициент сопротивления определяется опытным путем, и для приближенных расчетов для тела в форме шара может быть принят независимым от скорости потока и равным 0,25 (плюс – минус 0,05 – в зависимости от скорости).
Тогда система уравнений запишется в виде:
dvx /dt = Cr qS cos Θ / m, vx = dx/dt,
dvy /dt = Cr qS sin Θ / m - g, vy = dy/dt
ρ = ρ (y), α = arctg vx / vy, q = ρv2/2
при начальных условиях:
x (0) = x0, y (0) = y0,
vx (0) = v0 cos Θ 0, vy (0) = v0 sin Θ 0.
Зависимость ρ = ρ (y) может быть задана в табличном или в аналитическом виде.
Задача не имеет аналитического решения и решается численным интегрированием. Определяется влияние шага интегрирования на точность решения задачи.
Изменение с высотой величины ускорения силы тяжести Земли
Ускорение свободного падения одинаково для всех тел и, также как и вес, зависит от географической широты и высоты над уровнем моря.
Стандартное (нормальное) значение ускорения свободного падения на уровне моря составляет g0 = 9,81 м/сек2. Для определения ускорения при удалении от поверхности Земли на высоту h используется формула g = g0[R0/(R0 + h)]2, R0 = 6370 км - радиус Земли. На географических полюсах (φ = 900) Fц = 0 и вес тела равен силе притяжения его к Земле. Вследствие того, что центростремительная сила зависит от широты, вес тела максимален на полюсах и минимален на экваторе, различие не превышает 0,55%.
Величина выталкивающей силы (закон Архимеда)
На тело действует выталкивающая сила воды в соответствии с законом Архимеда.
По закону Архимеда выталкивающая сила равна Fарх = g(y)Vρ0(y). Здесь Vρ0(y) – масса вытесненного воздуха, V – объем тела.
Величины присоединенной массы
Присоединенная масса может быть определена по формуле: m = 0,5 Vρ0.
Изменения плотности атмосферы с высотой
Гипотеза о постоянстве плотности атмосферы (ρ0 = 1,225 кг/м3) с высотой полета изменяется ρ = ρ (h), где h – высота над уровнем моря [м]: ρ = ρ0- 0, 00014h.
Кривизны Земли
Для учета кривизны Земли необходимо строить новую математическую модель - начало системы координат помещается в центр Земли. В этом случае сила притяжения направлена в начало координат (а не перпендикулярно оси координат), и тип кривой полета становится другим (эллипс, а не парабола).