Модели элементов гидравлических систем

Технические системы, в которых происходит перемещение несжимаемой жидкости, принято называть гидравлическими. Зарубин стр. 110

Участок трубопровода.

По аналогии с электрическими системами: разности электрических потенциалов (напряжений) соответствует разность (перепад) давлений ∆р в гидравлической системе, силе тока в электрической системе соответствует объемный расход жидкости Q_ж, измеряемые соответственно в паскалях и м³/с.Рис.3.16 стр.110

Постоянный расход идеальной жидкости. Для участка достаточно длинного трубопровода с круглым поперечным сечением радиуса R при установившемся ламинарном течении вязкой жидкости справедлива следующая зависимость скорости v_z вдоль оси трубопровода от радиальной координаты r:

v_z = ∆р (R² - r²)/4ηl,

где η – коэффициент сдвиговой вязкости жидкости, ∆р > 0 - перепад давления на участке трубопровода длиной l.

Объемный расход жидкости через трубопровод

Q_ж = = π∆р/2ηl = ∆ р π R⁴/8ηl.

Величину 8ηl/πR⁴ можно рассматривать как гидравлическое сопротивление R_г = 8ηl/πR⁴ участка трубопровода длиной l. Тогда ∆ р = Q_ж R_г – аналог закона Ома ∆U = IR.

Уточнение модели: если поперечное сечение трубопровода не круглое, то гидравлическое сопротивление R_r будет зависеть от формы сечения, при увеличении объемного расхода жидкости через трубопровод (скорости потока) ламинарный режим течения переходит в турбулентный, и в этом случае гидравлическое сопротивление становится функцией Q_ж – математическая модель оказывается нелинейной.

Математические модели простейших элементов гидравлических и электрических подсистем совпадают. Комбинируя элементами гидравлических систем, как и в случае электрических систем, можно учесть, например, влияние вязкости жидкости.

Применение электрогидравлической аналогии дает возможность для получения матмодели гидравлической системы применять детально разработанные и формализованные приемы построения электрических цепей.

Цилиндрический сосуд.

Рассмотрим цилиндрический сосуд с площадью поперечного сечения S, заполняемый и опорожняемый через трубопровод в нижнем плоском днище.

Статическое давление на входе в трубопровод равно p = p₀ + rgH, где p₀ – давление над зеркалом жидкости, H - высота уровня жидкости. Рис.3.17 стр. 111 Зарубин

Скорость течения v будем считать достаточно малой, так что динамическим давлением rv²/2, где – плотность жидкости, можно пренебречь по сравнению со статическим давлением на входе трубопровода в сосуд.

Изменения во времени уровня жидкости и разности давлений ∆ р = р - p₀ связаны между собой зависимостью d∆р/dt = rg dH/dt. Тогда для объемного расхода жидкости через трубопровод:

Q_ж = S dH/dt = S /rg d∆р /dt = C_Г d∆р /dt,

где C_Г = S /rg - величина, аналогичная емкости С электрического конденсатора.

Нелинейность модели.

При заполнении жидкостью сосуда с переменной по высоте площадью поперечного сечения (сфера) величина C_Г будет зависеть от высоты уровня жидкости относительно трубопровода. Объем жидкости, заполняющей сосуд V_ж = , где S(z) – зависимость площади поперечного сечения сосуда от вертикальной координаты z, отсчитываемой от входа трубопровода. Так как объемный расход Q_ж = d V_ж /dt, то получаем нелинейное соотношение

Q_ж = S(H) dH/dt = S(H) /rg d∆р /dt .

Рассмотренные гидравлические модели являются квазистационарными – при их построении предполагалось, что возмущения, вызванные изменением давления или объемного расхода жидкости в трубопроводе, распространяются вдоль трубопровода мгновенно.

В действительности реальные жидкости обладают некоторой сжимаемостью – это приводит к тому, что возмущения распространяются с большой, но конечной скоростью v (скорость звука в жидкости). Если по длине трубопровода наименьшая длительность t_min протекающих в нем процессов удовлетворяет условию t_min>> l/v, то применение квазистационарных моделей не приводит к большим погрешностям. При нарушении этого условия модели становятся неадекватными реальному элементу. Например, они не применимы при моделировании процесса перекрытия трубопровода за время, одного порядка со значением, когда объемный расход жидкости быстро падает до нуля, что приводит к значительному повышению давления – гидравлическому удару.