рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Лекция 2. Множество вещественных чисел (продолжение).

Лекция 2. Множество вещественных чисел (продолжение). - раздел Философия, Лекция 1. Вещественные числа. Ответ : это либо не рыжие хорошисты, не занимающиеся спортом, либо рыжие троечники не занимающиеся спортом П.1 Понятия ...

П.1 Понятия

и

 

ОПР. Числовое множество Х называют ограниченным сверху, если найдется число М, для которого

.

ОПР. Числовое множество Х называют ограниченным снизу, если найдется число m, для которого

.

ОПР. Числовое множество Х называют ограниченным , если найдутся числа m и М, для которых

.

Наименьшее из чисел М, ограничивающих сверху множество Х, называют точной верхней гранью этого множества. Аналогично, наибольшее из чисел m , ограничивающих множество Х снизу, называют точной нижней гранью множества Х. Точнее об этом в

ОПР. Число

называют точной верхней гранью множества Х,

, если выполнены два условия :

1)

, 2)

.

ОПР. Число

называют точной нижней гранью множества Х,

, если выполнены два условия

1)

,2)

.

Точные верхняя и нижняя грани множества Х могут не принадлежать множеству Х.

ПРИМЕР 1. Множество Х является множеством значений последовательности

. Найти

и

.

РЕШЕНИЕ. Докажем, что

. Действительно,

. Для любого

. Решаем последнее неравенство относительно n :

. Заметим, что

. Поскольку последовательность

возрастающая, то

 

, т.е.

и

.

ТЕОРЕМА 1. Любое непустое, ограниченное сверху множество

, имеет

.

ДОК. Пусть У – множество верхних граней множества Х:

. По аксиоме о полноте множества вещественных чисел (аксиома 5), найдется число

, для которого

 

.

Таким образом,

и является в нем наименьшим элементом, т.е.

.

Замечание. Множество Х имеет только одну точную верхнюю грань.

ДОК. Пусть

и

- две такие грани и

. Тогда по определению

для

найдется

, что противоречит условию

.Аналогично доказывается

ТЕОРЕМА 2. Любое непустое, ограниченное снизу множество

, имеет и единственное

.

П.2 Множество рациональных чисел Q .

Числа вида

,

,

называются рациональными. Два рациональных числа

и

равны, если

.

Множество

называется всюду плотным в

, если

 

.

ТЕОРЕМА 3. Множество Q рациональных чисел всюду плотно в R.

ДОК. Пусть

два произвольных вещественных числа. Выберем натуральное n , для которого

. Пусть К множество целых чисел

. Множество К ограничено сверху и существует

, притом

. Тогда

.

ОПР. Два множества Х и У называются равномощными, если существует биекция

.

ОПР. Множество Х равномощное с N называется счетным.

ТЕОРЕМА 4. Множество Q счетно.

ДОК. Покажем, что всякое бесконечное подмножество У счетного множества Х также счетно.

.

Тогда

и отображение

является биекцией

.

Рассмотрим множество Х точек на плоскости с координатами

. Множество Х счетно.

(соответствующая биекция изображена на рис.)

Рассмотрим подмножество

, состоящее из пар

, для которых дробь

несократима.

По доказанному, множество

счетно и отображение

биективно. Тогда отображение

биекция и множество рациональных чисел счетно.

П.3 Система вложенных отрезков.

ОПР. Система отрезков

называется системой вложенных отрезков, если

.

ТЕОРЕМА 5. Любая система вложенных отрезков имеет общую точку.

ДОК. Рассмотрим множества

и

. Множества А и В ограничены и

. Тогда по аксиоме полноты существует

, для которого

 

., т.е

.

ОПР. Система вложенных отрезков называется стягивающейся, если

.

ТЕОРЕМА 6. Система стягивающихся отрезков имеет единственную общую точку.

ДОК. Пусть с1 и с2две такие точки и

 

.

Тогда

,т.е.

.

Последнее противоречит условию стягивания.

ТЕОРЕМА 7 . Множество всех точек отрезка

несчетно.

ДОК. Предположим обратное :

. Разобьем отрезок

и выберем тот из отрезков, который не содержит х1. Далее полученный отрезок разобьем на три части и выберем тот, который не содержит х2 и т.д. Полученная совокупность вложенных отрезков стягивающаяся. По теореме 1 существует число

, не совпадающее ни с одним из xn. Полученное противоречие доказывает , что множество [0;1] несчетно. Множества равномощные с [0;1] называются множествами мощности континуума.

УПРАЖНЕНИЯ.

1. Докажите, что множество всех интервалов (а;в) с рациональными концами счетно.

2. Докажите, что множество попарно не пересекающихся интервалов на действительной оси, конечно или счетно.

3. Множество всех последовательностей, состоящих из нулей и единиц, имеет мощность континуума.

 

ВОПРОСЫ к ЭКЗАМЕНУ.

1) Числовые множества. Понятие точной верхней и нижней грани. Теорема о существовании точной верхней и нижней грани ограниченного числового множества.

2) Множество рациональных чисел. Теорема о всюду плотности рациональных чисел.

3) Счетные множества. Теорема о счетности множества рациональных чисел.

4) Система вложенных отрезков. Теорема о непустоте их пересечения. Система стягивающихся вложенных отрезков. Теорема об единственности точки их пересечения.

5) Теорема о несчетности множества точек отрезка вещественной оси.

 


– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Лекция 1. Вещественные числа. Ответ : это либо не рыжие хорошисты, не занимающиеся спортом, либо рыжие троечники не занимающиеся спортом

П Множества... Объединение множеств... Пересечение множеств Разность множеств...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Лекция 2. Множество вещественных чисел (продолжение).

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Лекция 3. Последовательности, предел последовательности.
ОПР. Последовательностью называют числовую функцию, заданную на множестве N натуральных чисел.  

Лекция 5. Предел функции.
Рассмотрим функцию и точку такую, что

Лекция 7. Непрерывные функции.
П1. Непрерывность функции в точке. ОПР. Функция непрерывна в точке

Лекция 8 . Монотонные функции. Производная.
П.1 Монотонные функции. ОПР. Функция : называетс

Лекция 9 . Производная функции 2.
П.1 Производная обратной функции. ТЕОРЕМА 1.(производная обратной функции) Пусть непрерывная, ст

Лекция 10 . Теоремы о среднем для производных.
П.1 Локальный экстремум функции. ОПР. Точка называется точкой локального максимума функции

Лекция 11 . Формула Тейлора.
П.1 Производные и дифференциалы высших порядков. ОПР. Производной второго порядка называют производную от функции первой производной. В общем случае, &nb

Лекция 13. Исследование функции, график функции.
П.1 Выпуклость функции. ОПР. Функция в точке наз

Лекция 12 . Формула Тейлора 2.
П.1 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. ТЕОРЕМА 1. (обобщенная теорема Коши) Пусть даны функции ,

Лекция 13. Исследование функции, график функции.
П.1 Выпуклость функции. ОПР. Функция в точке наз

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги