Лекция 3. Последовательности, предел последовательности.

ОПР. Последовательностью

называют числовую функцию, заданную на множестве N натуральных чисел.

.

Последовательность может задаваться явно, например,

(1)

(2)

(3)

(4)

 

и рекуррентно, например, (5)

(ариф. прогр.)

(6)

(геом. прогр.) (7)

.

ОПР.Последовательность

ограничена (сверху, снизу), если этим свойством обладает множество ее значений.

ОПР. Последовательность

монотонно возрастает (убывает), если (

) для любого n. Если неравенства строгие, говорят о строгом возрастании (убывании) последовательности.

В примерах (1) монотонно возрастающая, ограниченная последовательность. (2) ограниченная, не монотонная последовательность. (3) монотонно возрастающая, неограниченная последовательность (4) неограниченная, не монотонная последовательность.(5) неограниченная, монотонно убывающая при d<0, монотонно возрастающая при d>0.(6) ограниченная при , неограниченная при

,монотонная при

, не монотонная при

.

ОПР. Окрестностью точки х0радиуса e>0 называют множество

ОПР. Множество

называют выколотой окрестностью точки х0.

ОПР. Число В называют предельной точкой (частичным пределом) последовательности

, если

окрестность

 

содержит бесконечное число членов последовательности

.

В примерах (1) число В=3 является единственной предельной точкой последовательности. (2) числа

являются предельными точками последовательности. (3), (4), (5) предельных точек не имеют (6) число В=0 предельная точка при , при

предельных точек нет.

ОПР. Число А называется пределом , если А – предельная точка и вне любой окрестности

содержится не более конечного числа членов последовательности

, или

.

Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся.

В примерах (1) имеет предел А=3.(2), (3), (4), (5) – предела не имеют.(6) имеет предел А=0 при , не имеет предела при

.

ТЕОРЕМА1. Всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.

ДОК. Из ограниченности последовательности

следует существование отрезка [c1;b1], для которого

. Разделим отрезок пополам и выберем ту половину

, которая содержит бесконечное число

. Если обе половины обладают этим свойством, то выбираем любую. Делим отрезок

пополам и выбираем ту половину

, которая содержит бесконечное число

. Продолжая процесс деления, построим систему стягивающихся , вложенных отрезков

.

По теореме существует число В , принадлежащее каждому отрезку

. Тогда

окрестность

содержит отрезок с достаточно большим номером ne, но тогда , по построению последовательности

в окрестности

содержится бесконечное число членов последовательности

.

ОПР. Последовательность называется подпоследовательностью

, если

.

Всякая предельная точка подпоследовательности является предельной точкой последовательности

.

ТЕОРЕМА 2. Если последовательность

имеет предельную точку В, то существует сходящаяся ее подпоследовательность, имеющая В своим пределом.

ДОК. Выберем в каждом отрезке

, описанном в ТЕОРЕМЕ 1, член

последовательности . Тогда подпоследовательность

,

, имеет по построению число В своим пределом.

В примере (2) подпоследовательность

,

имеет предел В1=1, подпоследовательность

,

имеет предел В2=0,5, подпоследовательность

,

имеет предел

В3= - 0,5, подпоследовательность

,

имеет предел В4= - 1, (4) подпоследовательность

,

имеет предел В1=1, подпоследовательность

,

имеет предел В2= - 1.

ТЕОРЕМА 3. Если последовательность

имеет предел равный А, то любая ее подпоследовательность сходящаяся, причем А является ее пределом.

ДОК. (самостоятельно)

ТЕОРЕМА 4.Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

ДОК. Пусть

и

произвольно мало. Тогда, по определению предела, множество Eaзначений членов последовательности

с номерами

принадлежат

и поэтому является ограниченным. Если добавит к Eaконечное множество значений

с номерами

, то полученное множество также будет ограниченным.

ТЕОРЕМА 5. Если последовательность

имеет предел, то он единственный.

ДОК. Пусть таких пределов два : А1и А2. Выберем

. Тогда окрестности

и

не пересекаются и в каждой из них должны содержатся все члены последовательности , кроме конечного их числа, что невозможно.

УПРАЖНЕНИЕ . 1) Приведите пример последовательности, имеющей три предельных точки. 2) Множество рациональных чисел счетно, поэтому существует последовательность, членами которой являются все рациональные числа. Какое множество предельных точек такой последовательности.

ТЕОРЕМА 6. Всякая монотонно возрастающая (убывающая) , ограниченная сверху(снизу) числовая последовательность имеет предел.

ДОК. Заметим, что из ограниченности сверху и условия

следует ограниченность . Тогда по теореме 1 у нее есть предельная точка А. Докажем, что А является пределом последовательности

. Пусть

произвольная окрестность точки А. Из того, что А предельная точка следует, что

,

т.е. вне окрестности

содержится только конечное число членов последовательности.

ОПР. Пусть Ма– множество предельных точек последовательности

. Предположим, что оно не пусто и ограничено. Тогда числа

и

называют верхним и нижним пределами последовательности

.

 

ТЕОРЕМА 7. Если последовательность

ограничена, то числа

и

являются предельными точками, т.е. принадлежат

.

ДОК. Построим подпоследовательность

, предел которой равен

. По определению

, для

существует

:

. Тогда подпоследовательность

сходящаяся и ее предел, т.е.

- предельная точка.

Доказательство для

аналогично.

ВОПРОСЫ к ЭКЗАМЕНУ.

1) Последовательности и способы их задания, примеры. Ограниченные, монотонные последовательности. Предельные точки (частичные пределы) последовательности. Теорема о существовании предельных точек.

2) Предел последовательности. Теорема о единственности предела. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

3) Подпоследовательности. Предельная точка как предел сходящейся подпоследовательности . Понятие верхнего и нижнего предела последовательности. Теорема о принадлежности верхнего и нижнего пределов множеству предельных точек последовательности.

4) Теорема о существовании предела монотонной, ограниченной последовательности.

 

 

Лекция 4. Предел последовательности ( продолжение)

ОПР. Последовательность называется фундаментальной, если

 

В этом случае говорят, что последовательность удовлетворяет критерию КОШИ.

ТЕОРЕМА 1. Всякая сходящаяся последовательность фундаментальна и наоборот.

ДОК. Пусть последовательность фундаментальна . Тогда она ограничена. Действительно, все члены последовательности

с номерами большими

лежат на интервале

, остальные, возможно, этому интервалу не принадлежат, но их конечное число. Тогда по теореме последовательность имеет предельную точку А.Докажем, что А является пределом

. Для любого

найдем натуральное

, для которого (1)

( А – предельная точка )

(2)

,

( последовательность фундаментальна). Тогда

,

.

Пусть последовательность

сходящаяся. Тогда для любого

найдем натуральное

, для которого (1)

,

(2)

,

и

. Тогда

, т.е. последовательность фундаментальна.

ОПР.Последовательность

называется бесконечно малой, если

.

ОПР. Последовательность

называется бесконечно большой, если

.

В этом случае :

.

ТЕОРЕМА 2. (о связи сходящейся последовательности с бесконечно малой последовательностью)

Если

сходящаяся последовательность, имеющая пределом число А, то существует бесконечно малая последовательность

, такая, что

.

ДОК. Проверим, что последовательность

бесконечно малая.

, т.е.

.

ТЕОРЕМА 3. (о связи бесконечно большой и бесконечно малой последовательностями)

Если последовательность

бесконечно большая, то последовательность

-бесконечно малая последовательность (б.м.п). Если

бесконечно малая последовательность и

, то

- бесконечно большая последовательность(б.б.п).

ДОК. По условию последовательность

бесконечно большая:

,

т.е. последовательность

бесконечно малая.

Если

б.м.п., то

.

 

ТЕОРЕМА 4. (арифметические теоремы о бесконечно малых последовательностях)

Пусть

и

- две бесконечно малые последовательности,

- ограниченная последовательность. Тогда

(1) последовательность

бесконечно малая.

(2) последовательность

бесконечно малая.

ДОК. (1)

 

(2)

- ограниченность,

- б.м.п,

.

ТЕОРЕМА 5. (арифметические теоремы о пределах последовательностей)

Пусть

и

- две сходящиеся последовательности:

,

.

Тогда (1)

(2)

,

(3)

,

.

ДОК.(3)

,

, где

,

б.м.п. (теорема) 2) Если

, то последовательность

ограничена. Тогда

. Последовательность

б.м.п. и

б.м.п. (теорема 4). Тогда

по

теореме 2.

ДОК. (1), (2) – самостоятельно.

ТЕОРЕМА 6. ( о переходе к пределу в неравенствах)

Пусть (1)

,

- сходящаяся последовательность.

Тогда

. Пусть (2)

и

- две сходящихся последовательности, причем

. Тогда

.

ДОК. (1) . Предположим противное :

.Тогда для

, что противоречит условию (1) теоремы.

(2) для последовательности

выполняются условия (1) теоремы, тогда

.

ТЕОРЕМА 7 (о промежуточной последовательности)

Пусть (2)

,

,

две сходящиеся последовательности, причем

.Последовательность

удовлетворяет неравенству :

. Тогда

.

ДОК.

,т.е.

.

ТЕОРЕМА 8. (замечательный предел)

Последовательность

имеет предел, равный числу e=2,71….

ДОК. Напомним формулу бинома Ньютона:

, где

- коэффициенты бинома. Применим формулу для

. При увеличении n число слагаемых в сумме увеличивается, а каждое слагаемое также увеличивается, т.е.

монотонно возрастающая последовательность. Докажем ее ограниченность сверху.

Тогда по теореме

имеет предел.

УПРАЖНЕНИЯ. (1) Доказать, что если последовательность

сходящаяся, то последовательность

также сходящаяся. (2) Справедливо ли утверждение : сумма двух бесконечно больших

последовательностей является бесконечно большой последовательностью ? (обосновать) (3) Доказать, что произведение двух бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность.

ВОПРОСЫ к ЭКЗАМЕНУ.

1) Фундаментальная последовательность. Теорема о сходимости фундаментальной последовательности.

2) Бесконечно малые последовательности. Теорема о связи сходящейся и бесконечно малой последовательностями.

3) Бесконечно большие последовательности. Теорема о связи бесконечно большой и бесконечно малой последовательностями.

4) Арифметические теоремы о бесконечно малых последовательностях.

5) Арифметические теоремы о пределах.

6) Теорема о переходе к пределу в неравенствах.

7) Теорема о промежуточной последовательности.

8) Число е.