Лекция 5. Предел функции. - раздел Философия, Лекция 1. Вещественные числа. Ответ : это либо не рыжие хорошисты, не занимающиеся спортом, либо рыжие троечники не занимающиеся спортом Рассмотрим Функцию
...
может быть внутренней точкой для E :
|
.
ОПР.(КОШИ) Число А называется пределом функции
|
.
ОПР.(ГЕЙНЕ) Число А называется пределом функции
|
Множество V на числовой оси называется открытым, если
|
. Любое открытое множество V(a), содержащее точку a , называют окрестностью точки a .
ОПР.(ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ) Число А называется пределом функции
|
, если
.
ТЕОРЕМА 1 Определения по Гейне и по Коши предела функции в точке эквивалентны, т.е. если число А является пределом функции по Коши, то оно же является пределом по Гейне и
наоборот.
.
произвольная последовательность, для которой
|
.
по Гейне.
Предположим, что число А не является пределом функции
|
.
Построенная последовательность
|
. Полученное противоречие доказывает, что число А является пределом функции по Коши.
называется ограниченной в окрестности
|
, если существует число М, для которого
.
имеет предел в точке, то она ограничена в окрестности этой точке.
ДОК. Из определения предела, следует для
|
такая, что
ТЕОРЕМА 3.(о единственности предела)
, то он только один.
ДОК. Предположим противное: Числа А и В являются пределами функции, причем
|
, тогда существует окрестность
|
, для которой
.
, что противоречит выбору числа
|
.
ТЕОРЕМА 4. (о переходе к пределу в неравенстве)
имеют пределы
.
.
ДОК. Предположим противное:
|
. Тогда существует окрестность
|
, для которой
,
что противоречит условию теоремы.
ТЕОРЕМА 5 (о знаке функции в окрестности точки)
для которой
.
. Тогда по определению предела, найдется
|
.
ТЕОРЕМА 6. (о промежуточной функции)
Пусть для трех функций, определенных в
|
, справедливо неравенство: 1)
|
.
.
, определенная в окрестности
|
, удовлетворяет критерию Коши , если
|
.
ТЕОРЕМА 7 . Для того, чтобы функция
|
, определенная в окрестности
|
, имела предел в точке a , необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла критерию Коши в окрестности точки a .
и
(2) Пусть функция удовлетворяет критерию Коши и
|
- произвольная последовательность,
|
- фундаментальная. По доказанному, ( для последовательностей) существует число А, для которого
|
другая последовательность, для которой
|
.Тогда последовательность
|
также фундаментальная и поэтому сходящаяся. Пусть
|
.
не может быть сходящейся ( у нее по крайней мере два частичных предела А и В), хотя она фундаментальна. Источником полученного противоречия явилось предположение о том, что
|
, поэтому А=В и функция имеет предел по Гейне, равный А.
называется бесконечно малой функцией в точке a , если
|
.
называется бесконечно большой функцией в точке a , если
ТЕОРЕМА 8. (о связи функции, имеющей предел, и бесконечно малой функцией)
имела предел в точке a равный А, необходимо и достаточно, чтобы имело место представление :
|
бесконечно малая функция в точке a .
б.м.ф. Действительно,
ТЕОРЕМА 9. (о связи между бесконечно большой и малой функциями)
бесконечно большая функция в точке a , то функция
|
- бесконечно малая в этой точке. Если функция
|
- бесконечно малая функция в точке a и
|
- бесконечно большая в этой точке.
.
ТЕОРЕМА 10 (арифметические теорема о бесконечно малых)
- бесконечно малые функции в точке a , то
|
+
- также б.м. Если
- ограниченная в окрестности точки a функция, то
|
- б.м.ф.
ДОК. (самостоятельно)
ТЕОРЕМА 11. (арифметическая теорема о пределах)
, то
.
ДОК. (2) По теореме о связи
|
- бесконечно малые функции. Тогда
,
бесконечно малая функция (теоремы 1 и теорема 10).
(1) и (3) самостоятельно или со ссылкой на соответствующую теорему для последовательностей.
УПРАЖНЕНИЯ. 1) Верно ли утверждение : произведение б.м.ф. на б.б.ф. есть ограниченная функция? 2) Может ли функция в одной точке быть б.м., а в другой – б.б.ф? 3) Всегда ли сумма двух бесконечно больших функций является бесконечно большой функцией?
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
1) Определение предела функции по КОШИ и ГЕЙНЕ и их эквивалентность.
2) Ограниченность функции в окрестности точки. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.
3) Теорема об единственности предела функции.
4) Теорема о переходе к пределу в неравенствах.
5) Теорема о промежуточной функции.
6) Критерий Коши для функции в окрестности точки. Теорема об эквивалентности критерия существованию предела у функции .
7) Бесконечно малые функции, теорема о связи функций, имеющих предел, и бесконечно малых функций.
8) Бесконечно большие функции, теорема об их связи с бесконечно малыми функциями.
9) Арифметическая теорема о пределах функций.
Лекция 6. Предел функции 2.
П1. ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
.
справедливы неравенства :
|
- длина дуги катета АВ) и
|
.
и поэтому, на основании теоремы о промежуточной функции,
|
также б.м.ф.Тогда из теоремы о связи
|
.
.Справедливо неравенство : площадь D ОАВ< площадь сектора ОАВ< площадь DОА1В1
.
, поэтому на основании теорем о промежуточной функции и арифметической теореме о пределах
|
.
.
.
П.2 ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ.
.
произвольная последовательность,
|
.
и для каждого n найдутся натуральные числа
|
. Справедливо неравенство
.
сходятся к числу e , поэтому на основании теоремы о промежуточной последовательности
|
по Гейне, а значит и по Коши.
- произвольная последовательность,
|
. Тогда
.
. Из доказанного в (1) следует, что
|
.
.
.
.
.
П 3. Сравнение функций.
ОПР. ( О – большое ) Рассматриваются функции
|
есть
,
, если
.
равносильно ограниченности функции
|
. Последнее выполняется, например, если существует
|
.
ОПР. ( о – маленькое )
Функция
есть о-малое от функции
|
.
о(1) – бесконечно малая функция Ы
|
ПРИМЕР. Алгебра о- малых.( в точке x = 0 )
.
, б.м.ф.
.
ОПР. Бесконечно малые в точке
|
называются эквивалентными, если
|
.
. Отношение эквивалентности транзитивно:
|
.
ТАБЛИЦА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ в точке x = 0 .
,
,
ДОК. Формулы (1)- (3), (6), (8) уже обсуждались, (7) и (9) получаются из них переходом к основанию e , сделав замену
|
.
ТЕОРЕМА 1 ( о замене бесконечно малой на эквивалентную)
Если бесконечно малые функции
|
.
.
ТЕОРЕМА 2. (о связи эквивалентных бесконечно малых)
Если две бесконечно малые функции
|
. Если бесконечно малые функции
|
связаны соотношением
.
П 4. Пределы на бесконечности. Односторонние пределы.
имеет предел на бесконечности, обозначение
|
, если
, если
.
.
.
УПРАЖНЕНИЯ 1) Сформулируйте понятие
|
.
.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1) Первый замечательный предел.
2) Второй замечательный предел и его следствия.
. Примеры.
4) Эквивалентные бесконечно малые функции, таблица эквивалентных бесконечно малых функций (с доказательством).
5) Теорема о замене бесконечно малой на эквивалентную.
6) Теорема о связи эквивалентных бесконечно малых функций.
Новости и инфо для студентов