Лекция 8 . Монотонные функции. Производная.

П.1 Монотонные функции.

ОПР. Функция

:

называется возрастающей на множестве E , обозначение

, если

.

ОПР. Функция

:

называется строго возрастающей на множестве E , обозначение

, если

.

ОПР. Функция

:

называется убывающей на множестве E , обозначение

, если

.

ОПР. Функция

:

называется строго убывающей на множестве E , обозначение

, если

.

ТЕОРЕМА 1. Если

на

, то существует

и

, где

- множество значений функции

на

.

ДОК. (1) Пусть

= +

. Тогда

. Выберем

.Тогда

и поэтому

, т.е.

.

(2) Пусть

=В

. Тогда

.

Выберем

. Тогда

и поэтому

, т.е.

.

(3) Пусть

= - Ґ . Тогда

.

Выберем

.Тогда

и поэтому

, т.е. .

(4) Пусть

= А . Тогда

.

Выберем

, тогда

и поэтому

,т.е.

.

СЛЕДСТВИЕ 1. Если

на

, то для любого

существуют и

.

ТЕОРЕМА 2 . Если

на

, то существует

и

, где

- множество значений функции

на

.

ДОК. Достаточно применить теорему 1 для функции

.

СЛЕДСТВИЕ 2. Если

на

, то для любого

существуют и

.

ТЕОРЕМА 3.( о существовании обратной функции)

Если (или

) непрерывная функция на [a;b], то существует и единственная обратная к ней функция

, определенная на отрезке

и непрерывная, строго возрастающая ( или убывающая ) на этом отрезке.

ДОК. Пусть

и непрерывна на [a;b]. Тогда

и для любого

существует и единственное значение

, для которого

. Действительно, если таких значений два

и

, например

, то

. Положим

. Тогда

на

, т.е.

обратная к

функция. Докажем ее непрерывность на

. Пусть

произвольная точка интервала

и

. Тогда для любого

существует

такое, что

выполняется неравенство

. Строгое возрастание функции

следует из неравенств :

.

Непрерывность функции

в граничных точках

и

следует из теоремы 1 :

,

П.2. Производная функции в точке.

ОПР.

. Производной функции

в точке , называют число

.

ПРИМЕР 1 Вычислить производную функции

в произвольной точке x .

РЕШЕНИЕ.

.

МЕХАНИЧЕСКИЙ смысл производной.

- путь, пройденный материальной точкой к моменту времени t ,

- расстояние, пройденное точкой за время

,

- средняя скорость движения,

- скорость в момент времени t .

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл производной.

Точки

и

на графике функции

соединены прямой Lсек– секущей,

-

угловой коэффициент прямой Lсек.

При

прямая Lсекповорачивается вокруг точки А, занимая предельное положение - - касательной к графику функции в точке А.

- угловой коэффициент ( тангенс угла наклона ) касательной. Производная функции

в точке x равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x .

ТЕОРЕМА 4 ( о непрерывности дифференцируемой функции)

Если функция

имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке.

ДОК.

.

Тогда

, где

- бесконечно малая функция в точке ., т.е.

.

ПРИМЕР 2 . Функция

непрерывна в точке

, но не имеет производной в этой точке.

РЕШЕНИЕ.

- бесконечно малая функция в точке

, т.е.функция

непрерывна в точке

.Функция

не имеет предела в точке

, поскольку

,

и пределы справа и слева не совпадают.

ТЕОРЕМА 5. (арифметическая теорема о производных)

Если функции и

имеют производную в точке , то

(1)

 

(2)

 

(3)

, при

.

ДОК. (2)

 

,

т.к. функция

непрерывна в точке (теорема 4).

(3)

, поскольку при

функция

непрерывна в точке (теорема 4).

(1) доказать самостоятельно.

УПРАЖНЕНИЯ.

1) Докажите непосредственно, что

.

2) Найдите функцию обратную к функции

на

.

3) Функция

. Найдите производную функции в точке

.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Монотонные функции. Теорема о существовании предела монотонной функции.

2) Теорема о существовании и непрерывности обратной

функции.

3) Понятие производной функции, ее механический и геометрический смысл. Примеры.

4) Теорема о непрерывности функции, имеющей производную.

5) Арифметическая теорема о производных.