Формула Гаусса-Остроградського.

Формула Гаусса-Остроградського встановлює зв'язок поверхневого інтегралу ІІ роду по замкненій поверхні з потрійним інтегралом по просторовій області, яка обмежена цією поверхнею.

Теорема.

Нехай – обмежена область, межа якої – кусково-гладка поверхня, орієнтована зовнішніми нормалями. В області задано неперервно диференційовне поле . Тоді потік векторного поля через межу області дорівнює потрійному інтегралу від по області , тобто (1) або (2). Формулу (1) або (2) називають формулою Гаусса-Остроградського; відповідно у векторній формі (1) і координатній (2).

○ Розглянемо область , яка є правильною (елементарною) відносно осі і обмежена поверхнями , . Область проектується на площину в правильну область , в якій функції , є неперервними. Поверхня є об’єднанням поверхонь . При заданих умовах існує потрійний інтеграл і його можна записати у вигляді повторного інтеграла: (3)

В цій формулі дописали третій доданок, оскільки . Рівність (3) можна записати так: (4). Можна показати, що формула (4) є правильною для області, обмеженої довільними кусково-гладкими поверхнями (розбиваючи їх на елементарні частини). Аналогічно можна отримати рівності (5), де область – правильна відносно осі ; (6), де – правильна область відносно осі . Тепер, нехай область є правильною відносно трьох осей одночасно. Тоді, додавши відповідно праві і ліві частини рівностей (4), (5), (6) отримаємо формулу Гаусса-Остроградського (2). ●

Зауваження. Якщо покласти , то за формулою (2) можна обчислити об’єм області : , де – поверхня, що обмежує область . Якщо , то . Якщо , то . Якщо , то об’єм області , обмежений поверхнею можна обчислити за формулою: .