Часть I. Последовательности, пределы, производная

Часть I. Последовательности, пределы, производная.

П.1. Числовые последовательности и пределы.

 

Пусть задано такое множество {c1,c2,¼,c4,¼} пронумерованных действительных чисел, что по номеру элемента мы можем назвать числовое значение данного элемента , а по числовому значению элемента его номер в данном множестве. Тогда говорят, что задана числовая последовательность.

 

Числовая последовательность обозначается {c_n} или просто c_n.

Существуют различные способы задания числовых последовательностей.

1) Формулой общего члена c_n=(-1)ⁿ Откуда c₁=, c₂=, c₃=, c₄=, ¼c₁₀₀=,¼

2) перечислением элементов последовательности 1,, , ¼ Откуда c_n=

Определение1. Число а называется пределом последовательности {c_n}, если
"e>0 $ n₀ "n>n₀ ½c_n-а½<e ( Для любого положительного числа e , существует такой номер n₀ , что для всех номеров n>n₀ модуль ½c_n-а½<e ). Обозначается

Пример1. c_n=. Покажем , что данная последовательность имеет своим пределом число 0. Пусть e- произвольное число большее 0 ( на самом деле очень малое ). Надо найти такой номер n₀, что все элементы c_n0+1, c_n0+2, ¼, c_n0+k,¼(т.е. n>n₀ ) удовлетворяют условию ½c_n-а ½< e (c_n=, а=0 ). Решим это неравенство: ½-0 ½<e, <e, n>, достаточно взять n₀= [1/e]- целая часть числа 1/e. Тогда для всех n[1/e]+1 неравенство выполняется. Следовательно

Определение2. Последовательность {c_n} называется бесконечно малой, если

, т.е. "e>0 $ n₀ "n>n₀ êc_n½< e.

Определение3. Последовательность {c_n} называется бесконечно большой, если

т.е."E>0 $ n₀ "_n>n₀ ½c_n½>E

Пример 2. Последовательности {a_n}=, { b_n}=, {g_n}=, {d_n}=- бесконечно малые. Здесь n!=1,2,3¼n. 0!=1, 1!=1, 2!=1×2=2, 3!=1×2×3=6, 4!=1×2×3×4=24 и т.д.

Последовательности {c_n}={n}, {y_n}={n²},{z_n}={2ⁿ}- бесконечно большие.

Свойства предела последовательности.

1°. Если и а > r (а < r), то начиная с некоторого номера х_n> r (x_n< r).

Доказательство. Т.к. , то "e>0 $ n₀ "n>n₀ ½x_n-a ½<e или -e< x_n-a <e или а-e< х_n<a+e.

Т.е. в e- окрестности точки а ( в интервале ( а-e, а+e )) cодержатся все элементы последовательности, начиная с номера n₀+1.

Пусть а>r. Т.к. e- любое число, положительное, выберем его так, чтобы а-Е было больше r

 

а-e

r а х ( Можно взять e=)

Тогда " n>n₀ r< а-e < х_n< a+e, т.е. х_n>r. Аналогично для случая а< r.

2°. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

 

3°. Если {х_n}={у_n}, то

 

4°. Если х_n< у_n, то

 

5°. Если х_nу_n, то

 

6°. ( Лемма о двух милиционерах ) Пусть х_nу_nz_n (или х_n< у_n< z_n ), ,

Тогда последовательность у_n имеет предел

Доказательство. Т.к. , то "e< 0 $ n₁ "n>n₁ a-e< x_n< a+e (1)

 

Т.к. , то "e>0 $ n₂ "n>n₂ a-e< z_n < a+e (2).

Пусть n₀=max {n_1, n₂ }, тогда " n>n₀ выполнено и неравенство (1) и неравенство (2), т.е." n>n₀ a-e<x_n£ у_n£ z_n< a+e, т.е. a-e< у_n<a+e, т.е.

Теорема 1. 1.(Связь между сходящимисяи бесконечно малыми)Последовательность {a_n}- бесконечно малая тогда и только тогда, когда последовательность - бесконечно большая ( схематически это будет означать =¥).

2. Последовательность {x_n}- бесконечно большая тогда и только тогда, когда последовательность -бесконечно малая (схематически =0).

Определение4. Последовательность{x_n} называется сходящейся, если она имеет конечный предел , последовательность{x_n} называется расходящейся если она не имеет предела или её предел равен ¥. Говорят, что сходящаяся последовательность сходится к числу

 

Теорема2.Последовательность{x_n} является сходящейся (сходится к числу а) тогда и только тогда, когда последовательность {х_n-a}-бесконечно малая.

 

Из этой теоремы получаем, если , то a-x_n=a_n, где a_n- бесконечно малая, тогда а=х_n+a_n. Т.е. Û a=x_n+a,где a_n-бесконечно малая.

Теорема3. (арифметические операции над сходящимися последовательностями)

Пусть , , тогда

1. =a±b

2. =a×b

3. при b¹0 =

 

П.2 Предел функции.

Определение1. Число а называется пределом функции у=f(х), при х стремящемся к х0 (), если для любой последовательности{xn} сходящейся к x0… Из определения 1 следует, что для предела функции справедливы все теоремы,… Определение2. Число а называется пределом функции у=f(x) при х стремящимся к х0 (),если "e>0 $ d>0 "х…

П.3 Определение производной. Таблица производных.

 

Определение1. Пусть у=f(x)-произвольная функция, х₀-значение аргумента получило приращениех и стало равным х. х=х-х₀ (приращение может быть отрицательным), тогда функция изменила своё значение с у₀=f(x₀) до y₁=f(x₁),т.е. функцияy=f(x) получила приращение у=f(x)=f(x)-f(x₀). Если существует конечный предел , то он называется производной функции в точке х₀.

Из определения производной и теоремы о связи между сходящейся и бесконечно малой следует

=f¢(x₀)+a(x), где a(x)®0 при x®0 или f(x)=f¢(x₀)x+a(x)x (1)

 

Определение2. Функция f(x) непрерывна в точке х₀, если =f(x₀) (2)

Из (1) следует что если функция имеет производную в точке х₀, то она в этой точке непрерывна.

Теорема 1.Сумма, разность, произведение 2-х функций, непрерывных в точке х₀, непрерывно в точке х=х₀. Частное двух непрерывных в точке х₀ функций непрерывно в точке х₀, если g(x₀)¹0 .

 

Доказательство этой теоремы следует из теоремы об арифметических операциях над сходящимися последовательностями (функциями) и определения непрерывной функции (формула(2)).

 

Определение3. Пусть даны две функции у=f(u) и U=Y(x), y=F(x)=f(Y(x)) называется их суперпозицией (у=F(x) называется сложной функцией).

 

Пример1. y=cosx², y=cosu, u=x²,

y=e^tgx y=e^u u=tgx

 

Теорема2.(о производной сложной функции)

Пусть у=f(u) и u=Y(x) имеют производные в точках u₀ и х₀ соответственно, причём u₀=Y(x₀), то y=F(x)=f(Y(x)) имеет производную в точке х₀ и

F¢(x₀)=f(Y(x₀))¢=f¢(u₀)Y¢(x₀).

Доказательство. Из(1) Df=f¢(u₀)Du+a₁(u)Du, (4)

DY=Y¢(x₀)Dx+a₂(x)Dx, (5)

a₁(u)-бесконечно малая при Du®0, a₂(х)-бесконечно малая при Dх®0

Т.к. функция u=Y(x) имеет производную в точке х₀, то Y(x) непрерывна в точке х₀, следовательно при Dх®0 Du=DY(x)®0,т.е.a₁(u) будет бесконечно малой при Dх®0.

Разделим (4) на Dх, получим =f¢(x₀)+a₁(u), u=Y(x), значит

 

=f¢(x₀)+a₁(Y).

Перейдём к пределу при Dх®0

lim=F¢(x)=f¢(u₀)lim+lima₁(Y)=f¢(x₀)Y¢(x₀)+0=f¢(x₀)Y¢(x₀).

Определение4. Пусть у=f(x) определена, непрерывна и строго убывает (возрастает) в некоторой окрестности точки х₀, тогда существует функция х=f ^-1(y)- которая называется обратной к у=f(x) в некоторой окрестности точки у₀₌f(x₀), при этом f(f^-1(y))=y, f^-1(f(x))=x.

Теорема3.(Производная обратной функции).

Пусть у=f(x) имеет производную в точке х₀, и х=f^-1(y)- обратная к y=f(x₀), тогда функция х=f^-1(у) имеет обратную в точке у₀=f(x₀) и(f^-1(y₀)¢=

Дифференцированием будем называть процесс нахождения производной.

Теорема.(правила дифференцирования).

1) (C)¢=0 2) (U(x)±V(x))¢=U¢(x)±V¢(x) 3)(U(x)×V(x))¢=U¢(x)V(x)+U(x)V¢(x)

Геометрический смысл производной.

Рассмотрим функцию у=f(x) определённую на отрезке [a,b]. Пусть А(х0,f(x)) и B(x+x0, f(x0+Dx))- две точки на кривой у= f(x).

Теорема1.(теорема Ферма).

Пусть f(x) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки х₀, достигает максимума или минимума в точке х₀ Î(a,b) и имеет конечную f`(x<sub>0</sub>), то f`(x₀)=0.

 

Доказательство.

Допустим в точке х₀- максимум(т.е. наибольшее значение из всех возможных значений для х из данной окрестности), тогда "х из этой окрестности f(x)<f(x₀).

Рассмотрим , пусть х<х₀, тогда f(x)<f(x₀), т.е. f(x)-f(x₀)<0, x-x₀<0, т.е.

 

>0 (1), при х>х₀ аналогично получаем <0 (2). Тогда перейдём к пределу в неравенствах (1) и (2) при Dх®0. Из (1) следует, f`(x<sub>0</sub>)= , из (2) f`(x₀)=.Отсюда f`(x₀)=0. Аналогичные рассуждения для случая минимального значения f(x₀).

Теорема2.(теорема Ролля).

Если f(x) определена и непрерывна на [a,b], имеет конечную производную в (a,b), f(a)=f(b), то существует точка с Î(a,b), что f(c)=0.

Доказательство.

По 2-ой теореме Вейерштрасса f(x) достигает на [a,b] cвоего наибольшего М и наименьшего m значений.

а) М=m, тогда f(x)=const на [a,b], т.е. f`(x)=0 "xÎ[a,b] и теорема доказана.

 

б) М¹m, тогда так как f(a)=f(b), то по крайней мере одно из М и m достигается внутри (a,b), т.е.$ с, где f(c)=m,т.е. в точке с- минимум, тогда по теореме Ферма f`(c)=0

 

Теорема3.(Лагранжа).

Если f(x) определена и непрерывна на [a,b] и имеет конечную производную в (a,b), то $ cÎ(a,b), что f(a)-f(b)=f`(c)(a-b).

Доказательство.

Введём вспомогательную функцию Y(x)=f(x)-f(a)-

 

Эта функция определена и непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b), Y(a)=0=Y(b).

Т.е. Y(x) удовлетворяет теореме Ролля. Тогда $cÎ[a,b] Y`(c)=0

 

Y`(x)=f`(x)-, иY(c)=f`(c)-

 

f`(c)=, т.е. f(b)-f(a)=f`(c)(b-a).

 

Теорема4.(теорема Коши).

.   Доказательство.

Линейная замена переменной.

Доказательство. Пусть ax+b=t (замена переменной) dt=(ax+b)`dx dt=adx, dx= Тогда