рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Теорема.(правила дифференцирования).

Теорема.(правила дифференцирования). - раздел Философия, Часть I. Последовательности, пределы, производная Если Существуют Производные U¢(X) И V¢(X) То 1) (C)¢=...

Если существуют производные U¢(x) и V¢(x) то

1) (C)¢=0

2) (U(x)±V(x))¢=U¢(x)±V¢(x)

3)(U(x)×V(x))¢=U¢(x)V(x)+U(x)V¢(x)

4)=

5) (CU(x))¢=C(U(x))¢

Доказательство.

1) у=f(x)=C=const

Пусть х получил приращение Dх, тогда f(x+Dx)=C, значит Dy=f(x+Dx)-f(x)=C-C=0.

Следовательно C¢=lim=lim=0

2) Пусть Y=U(x)±V(x)

DY=Y(x+Dx)-Y(x)=(U(x+Dx)±V(x+Dx))-(U(x)±V(x))

 

Y¢(x)== ()=± =U¢(x)±V¢(x)

3) Пусть Y(x)=U(x)V(x)

 

DY(x)=Y(x+Dx)-Y(x)=U(x+Dx)V(x+Dx)-U(x)V(x)=(U(x+Dx)V(x+Dx)-U(x)V(x+Dx))

 

+(U(x)V(x+Dx)-U(x)V(x))=(U(x+Dx)-U(x))V(x+Dx)+U(x)(V(x+Dx)-V(x))=

 

=DUV(x+Dx)+U(x)DV

 

Y¢(x)= =(V(x+Dx)+U(x))= V(x+Dx)+ U(x)=

 

V(x+Dx)+ U(x) =U¢(x)V(x)+U(x)V¢(x).

Здесь V(x+Dx)=V(x), т.к. из существования производной V¢(x) следует непрерывностьV(x), а равенство следует из определения непрерывности.

4) Пусть Y(x)=

DY=Y(x+Dx)-Y(x)=

 

=

 

=

 

Y¢(x)= =(V(x)-U(x))= ·

(V(x)- U(x) )=(U¢(x)V(x)-U(x)V¢(x))=

=.

 

РавенствоV(x+Dx)=V(x) следует из непрерывности функции y=V(x), а непрерывность следует из существования производной.

5) (CU(x))¢=C¢U(x)+CU¢(x)=0U(x)+CU¢(x) =CU¢(x).

 

Таблица производных.

 

1. C¢=0  
2. x’=1  
3. (xn)¢=nxn-1 (un)¢=nun-1
4. (cosx)¢=-sinx (cosu)¢=-sinu u¢
5. (sinx)¢=cosx (sinu)¢=cosu u¢
6. (tgx)¢= (tgu)¢=
7. (ctgx)¢=- (ctgu)¢=-
8. (arctgx)¢= (arctgu)¢=
9. (arcctgx)¢=- (arcctgu)¢=-
10. (arcsinx)¢= (arcsinu)¢=
11. (arccosx)¢=- (arcosu)¢=-
12. (ax)¢=axlna (au)¢=aulna u¢
13. (ex)¢=ex (eu)¢=eu
14. (logax)¢= (logau)¢=
15. (lnx)¢= (lnu)¢=

 

 

1. (xn)¢=nxn-1 nÎZ, xÎR

(xn)¢=
(nxn-1+xn-2Dx+…+x(Dx)n-2+(Dx)n-1) nxn-1

 

Обоснуем переходы

(1)- по биному Ньютона, (2) почленное деление на Dх, (3) Cnk xn-kDxk®0 при k¹0 т.к.Dх®0.

2. (сosx)¢=

=-sin(x+)-sinx

Здесь:

(1)- применили формулу разности косинусов

(2)- поделили Dх на 2 и умножили на 2

(3)- предел произведения равен произведению пределов

(4)- применили 1-ый замечательный предел и воспользовались непрерывностью функции у=sinx

 

3. (tgx)`=()`=

 

4. y=arctgx xÎR, -p/2<arctgx<p/2 – обратная к функции x=tgy по теореме о производной обратной функции

 

(arctgx)`=

 

5. y=arccosx, xÎ[-1,1], 0, y=arccosx- обратная функция для х=cosy. По теореме о производной обратной функции

(arccosx)`=

(1)- воспользовались основным тригонометрическим тождеством

cos2a+sin2a=1, sin2a=1-cos2a,

sina=±, у нас a=arccosx т.к. ,то sin(arccosx)³0.

6. (lnx)`= ln

 

=ln((1+

(1)- воспользовались свойством логарифма lna-lnb=ln

(2)- воспользовались свойством логарифма k ln b=lnbk

(3)- воспользовались 2-ым замечательным пределом и непрерывностью функции у=lnx

(4)- воспользовались тем, что lne1/x- константа и c=с

 

7. (logax)`=. (следует из 6.)

8. у=ах, а>0, а¹1. Прологарифмируем это равенство.

lny=lnax; lny=xlna.
Продифференцируем последнее равенство

(lny)`=(xlna)`; y`=lna откуда y`=ylna; y`=axlna.

Здесь (lny)`=y`- по теореме о производной сложной функции.

9.(ex)`=exlne=ex (следует из 8.)

Остальные формулы разбирает студент самостоятельно.

Теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях.

 

Определение1. Функция у=f(x) называется непрерывной в точке х0 ,если f(x)=f(x0).

Из определения 1 мы получаем

 

f(x)=f(x0) т.е.f(x)-f(x0)=0, т.е.(f(x)-f(x0))=0, т.е.Df(x)=0,

 

здесь Dх=х-х0- является приращением аргумента, а f(x)-f(x0)=Dy является приращением функции. Отсюда получаем

 

Определение1`.Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если Dy=0

Т.е. при бесконечно малом приращении аргумента приращение функции бесконечно мало.

 

Теорема1. Если функция y=f(x) имеет в точке х0 производную, то она в этой точке непрерывна.

Доказательство.

Пусть f `(x0)= . Отсюда f `(x0)=где a(х)®0 при Dх®0 т.е. Dу=f ‘(x0)Dx+a(x)Dx. f `(x0)-const, Dx- бесконечно малая, т.е.f `(x0)Dx- б.м.

a(х) и Dх - оба б.м., значит a(х)Dх- б.м., таким образом при Dх®0 Dу®0, следовательно у=f(x) непрерывна в точке х0.

Теорема2. (о прохождении через нуль).

Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна на отрезке [а,b] (т.е. непрерывна " xÎ[a,b]), пусть на концах этого отрезка она принимает значения разных знаков, т.е.f(a)f(b)<0. Тогда $ сÎ(a,b),что f(c)=0. (без доказательства)

 

Теорема3. (о прохождении через любое промежуточное значение)

Пусть f(x) определена и непрерывна на [a,b], f(a)¹f(b), f(a)=A, f(b)=B.(либо А>В, либо В>А) Пусть В>А, тогда "CÎ(A,B) $ cÎ(a,b), что f(c)= C.

 

Доказательство.

Рассмотрим функцию Y(x)=f(x)-C

Y(a)=f(a)-C=A-C<0

Y(b)=f(b)-C=B-C>0
Тогда Y(x) удовлетворяет теореме о прохождении через нуль, т.е. $ с Î(a,b), Y(c)=0

Таким образом Y(c)=f(c)-C=0, следовательно f(c)=C.

 

Теорема4.(1-ая теорема Вейерштраса).

 

Если f(x) определена и непрерывна на [a,b],то f(x) ограничена на [a,b].(без доказательства)

 

Теорема5.(2-ая теорема Вейерштраса)

 

Если f(x) определена и непрерывна на [a,b], то она достигает на [a,b] своего наибольшего и наименьшего значения. (без доказательства)

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Часть I. Последовательности, пределы, производная

П Числовые последовательности и пределы... Пусть задано такое множество c c frac c frac пронумерованных действительных чисел что по номеру элемента...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теорема.(правила дифференцирования).

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

П.2 Предел функции.
  Определение1. Число а называется пределом функции у=f(х), при х стремящемся к х0 (

Геометрический смысл производной.
  Рассмотрим функцию у=f(x) определённую на отрезке [a,b]. Пуст

Теорема4.(теорема Коши).
Пусть даны 2 функции f(x) и g(x) определённые и непрерывные на [a,b], дифференцируемые на (a,b), g`(x)¹0, " xÎ(a,b).Тогда $ сÎ(a,b), что

Линейная замена переменной.
Теорема.Если то

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги