Реферат Курсовая Конспект
Теорема.(правила дифференцирования). - раздел Философия, Часть I. Последовательности, пределы, производная Если Существуют Производные U¢(X) И V¢(X) То 1) (C)¢=...
|
Если существуют производные U¢(x) и V¢(x) то
1) (C)¢=0
2) (U(x)±V(x))¢=U¢(x)±V¢(x)
3)(U(x)×V(x))¢=U¢(x)V(x)+U(x)V¢(x)
4)=
5) (CU(x))¢=C(U(x))¢
Доказательство.
1) у=f(x)=C=const
Пусть х получил приращение Dх, тогда f(x+Dx)=C, значит Dy=f(x+Dx)-f(x)=C-C=0.
Следовательно C¢=lim=lim=0
2) Пусть Y=U(x)±V(x)
DY=Y(x+Dx)-Y(x)=(U(x+Dx)±V(x+Dx))-(U(x)±V(x))
Y¢(x)== ()=± =U¢(x)±V¢(x)
3) Пусть Y(x)=U(x)V(x)
DY(x)=Y(x+Dx)-Y(x)=U(x+Dx)V(x+Dx)-U(x)V(x)=(U(x+Dx)V(x+Dx)-U(x)V(x+Dx))
+(U(x)V(x+Dx)-U(x)V(x))=(U(x+Dx)-U(x))V(x+Dx)+U(x)(V(x+Dx)-V(x))=
=DUV(x+Dx)+U(x)DV
Y¢(x)= =(V(x+Dx)+U(x))= V(x+Dx)+ U(x)=
V(x+Dx)+ U(x) =U¢(x)V(x)+U(x)V¢(x).
Здесь V(x+Dx)=V(x), т.к. из существования производной V¢(x) следует непрерывностьV(x), а равенство следует из определения непрерывности.
4) Пусть Y(x)=
DY=Y(x+Dx)-Y(x)=
=
=
Y¢(x)= =(V(x)-U(x))= ·
(V(x)- U(x) )=(U¢(x)V(x)-U(x)V¢(x))=
=.
РавенствоV(x+Dx)=V(x) следует из непрерывности функции y=V(x), а непрерывность следует из существования производной.
5) (CU(x))¢=C¢U(x)+CU¢(x)=0U(x)+CU¢(x) =CU¢(x).
Таблица производных.
1. | C¢=0 | |
2. | x’=1 | |
3. | (xn)¢=nxn-1 | (un)¢=nun-1u¢ |
4. | (cosx)¢=-sinx | (cosu)¢=-sinu u¢ |
5. | (sinx)¢=cosx | (sinu)¢=cosu u¢ |
6. | (tgx)¢= | (tgu)¢=u¢ |
7. | (ctgx)¢=- | (ctgu)¢=-u¢ |
8. | (arctgx)¢= | (arctgu)¢=u¢ |
9. | (arcctgx)¢=- | (arcctgu)¢=-u¢ |
10. | (arcsinx)¢= | (arcsinu)¢=u¢ |
11. | (arccosx)¢=- | (arcosu)¢=-u¢ |
12. | (ax)¢=axlna | (au)¢=aulna u¢ |
13. | (ex)¢=ex | (eu)¢=euu¢ |
14. | (logax)¢= | (logau)¢=u¢ |
15. | (lnx)¢= | (lnu)¢=u¢ |
1. (xn)¢=nxn-1 nÎZ, xÎR
(xn)¢=
(nxn-1+xn-2Dx+…+x(Dx)n-2+(Dx)n-1) nxn-1
Обоснуем переходы
(1)- по биному Ньютона, (2) почленное деление на Dх, (3) Cnk xn-kDxk®0 при k¹0 т.к.Dх®0.
2. (сosx)¢=
=-sin(x+)-sinx
Здесь:
(1)- применили формулу разности косинусов
(2)- поделили Dх на 2 и умножили на 2
(3)- предел произведения равен произведению пределов
(4)- применили 1-ый замечательный предел и воспользовались непрерывностью функции у=sinx
3. (tgx)`=()`=
4. y=arctgx xÎR, -p/2<arctgx<p/2 – обратная к функции x=tgy по теореме о производной обратной функции
(arctgx)`=
5. y=arccosx, xÎ[-1,1], 0, y=arccosx- обратная функция для х=cosy. По теореме о производной обратной функции
(arccosx)`=
(1)- воспользовались основным тригонометрическим тождеством
cos2a+sin2a=1, sin2a=1-cos2a,
sina=±, у нас a=arccosx т.к. ,то sin(arccosx)³0.
6. (lnx)`= ln
=ln((1+
(1)- воспользовались свойством логарифма lna-lnb=ln
(2)- воспользовались свойством логарифма k ln b=lnbk
(3)- воспользовались 2-ым замечательным пределом и непрерывностью функции у=lnx
(4)- воспользовались тем, что lne1/x- константа и c=с
7. (logax)`=. (следует из 6.)
8. у=ах, а>0, а¹1. Прологарифмируем это равенство.
lny=lnax; lny=xlna.
Продифференцируем последнее равенство
(lny)`=(xlna)`; y`=lna откуда y`=ylna; y`=axlna.
Здесь (lny)`=y`- по теореме о производной сложной функции.
9.(ex)`=exlne=ex (следует из 8.)
Остальные формулы разбирает студент самостоятельно.
Теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях.
Определение1. Функция у=f(x) называется непрерывной в точке х0 ,если f(x)=f(x0).
Из определения 1 мы получаем
f(x)=f(x0) т.е.f(x)-f(x0)=0, т.е.(f(x)-f(x0))=0, т.е.Df(x)=0,
здесь Dх=х-х0- является приращением аргумента, а f(x)-f(x0)=Dy является приращением функции. Отсюда получаем
Определение1`.Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если Dy=0
Т.е. при бесконечно малом приращении аргумента приращение функции бесконечно мало.
Теорема1. Если функция y=f(x) имеет в точке х0 производную, то она в этой точке непрерывна.
Доказательство.
Пусть f `(x0)= . Отсюда f `(x0)=где a(х)®0 при Dх®0 т.е. Dу=f ‘(x0)Dx+a(x)Dx. f `(x0)-const, Dx- бесконечно малая, т.е.f `(x0)Dx- б.м.
a(х) и Dх - оба б.м., значит a(х)Dх- б.м., таким образом при Dх®0 Dу®0, следовательно у=f(x) непрерывна в точке х0.
Теорема2. (о прохождении через нуль).
Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна на отрезке [а,b] (т.е. непрерывна " xÎ[a,b]), пусть на концах этого отрезка она принимает значения разных знаков, т.е.f(a)f(b)<0. Тогда $ сÎ(a,b),что f(c)=0. (без доказательства)
Теорема3. (о прохождении через любое промежуточное значение)
Пусть f(x) определена и непрерывна на [a,b], f(a)¹f(b), f(a)=A, f(b)=B.(либо А>В, либо В>А) Пусть В>А, тогда "CÎ(A,B) $ cÎ(a,b), что f(c)= C.
Доказательство.
Рассмотрим функцию Y(x)=f(x)-C
Y(a)=f(a)-C=A-C<0
Y(b)=f(b)-C=B-C>0
Тогда Y(x) удовлетворяет теореме о прохождении через нуль, т.е. $ с Î(a,b), Y(c)=0
Таким образом Y(c)=f(c)-C=0, следовательно f(c)=C.
Теорема4.(1-ая теорема Вейерштраса).
Если f(x) определена и непрерывна на [a,b],то f(x) ограничена на [a,b].(без доказательства)
Теорема5.(2-ая теорема Вейерштраса)
Если f(x) определена и непрерывна на [a,b], то она достигает на [a,b] своего наибольшего и наименьшего значения. (без доказательства)
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
П Числовые последовательности и пределы... Пусть задано такое множество c c frac c frac пронумерованных действительных чисел что по номеру элемента...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теорема.(правила дифференцирования).
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов