Вычисление момента инерции некоторых тел

J = ;

1. Момент инерции однородного обруча относительно оси, перпендикулярной к плоскости обруча и проходящей через его центр.

Будем считать толщину обруча постоянной, разобьем обруч на малые элементы Dm_i;. Момент инерции относительно оси выразится выражениями ,

;

2. Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс и через один из концов стержня.

Разобьем стержень на малые элементы. Момент инерции относительно оси одной половины стержня равен , а всего стержня , .

Если DS - сечение стержня, r - плотность материала, то Dm = rDSDr;

J_C=2SrDSr_i²Dr=2rDSSr_i²Dr в пределе операция суммирования переходит в интегрирование ;

Так как m = rDSl - масса стержня, то момент инерции стержня относительно центра

J_C = ;

Момент инерции шара

Момент инерции сплошного цилиндра или диска

Момент инерции тела зависит от формы тела, относительно какой оси вращается тело и от распределения массы по объему тела.

Теорема Штейнера: Момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту инерции J_C относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела m на квадрат расстояния между осями d.