Работа внешних сил при вращении твердого тела.

Рассмотрим теперь вращение тела с энергетической точки зрения. Допустим, что в некоторой точке тела приложена сила (в плоскости, перпендикулярной оси вращения), направление кото­рой совпадает с вектором линейной скорости этой точки. Поэтому речь идет о силе = t.

Элементарная работа этой силы равна

dA = Ftds,

где ds — элемент дуги окружности, связанный, как известно, с ее радиусом и углом поворота j следующим образом:

dS = rdj;

Тогда

dA = Ftrdj или

dA = Mdj .

Если М = const, то при повороте тела на конечный угол Dj, формула для работы имеет вид

A = MDj;

Найдем теперь кинетическую энергию вращающегося тела. Очевидно, эта энергия должна быть равна сумме кинетических энергий отдельных материальных точек, т.е.

WК = ,

ui = wri и, принимая во внимание, что момент инерции тела относительно оси вращения

WK =

Сравнивая полученное выражение с выражением для кине­тической энергии тела, движущегося поступательно WK = , приходим к выводу, что момент инерциивращательного движе­ния - мера инертности тела.

Работа А, совершенная моментом внешних сил на протяжении угла поворота Dj = j2 - j1, связана с изменением кине­тической энергии вращения тела следующим образом

A = ;

где w2 и w1 угловые скорости тела в моменты, когда его угловые координаты равны соответственно j2 и j1.

В случае, например, скатывающегося цилиндра с наклонной плоскости без скольжения энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения

WK = +

где т — масса катящегося тела; uC скорость центра масс тела;

Jc — момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; w - угловая скорость тела.