По дисциплине ИНФОРМАТИКА

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Строительный факультет

 

Кафедра строительной механики и вычислительных технологий

Методические указания и задания для лабораторных работ

по дисциплине

 

ИНФОРМАТИКА-2

Часть 2. Численные методы

 

для студентов 1-го курса строительных специальностей

бакалавр

 

Пермь 2012

Методические указания и задания для лабораторных работ по дисциплине  

Предполагается, что студенты владеют основными навыками работы с приложением Microsoft Excel в пределах учебного курса «Информатика-1».

 

Литература.

 

1. Кашеварова Г.Г., Пермякова Т.Б. Численные методы решения задач строительсьва на ЭВМ. Учебное пособие. Пермь, 2007.-351с.

2. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. М. «Высшая школа». 2000.-266с.

3. Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М. «Высшая школа». 2001.-382с.

4. Попов А. EXCEL. Практическое руководство. М:. 2002. ДЕССКОМ.-301с.

 

 

Требования по оформлению пояснительной записки к отчету по лабораторным работам

Каждый студент выполняет лабораторную работу в соответствии с индивидуальным заданием, определяемым преподавателем.

Для получения зачета по каждой лабораторной работе студенту необходимо подготовить отчет в текстовом редакторе MicrosoftWord и защитить его. Отчет должен быть представлена на бумажном (пояснительная записка) и электронном (дискета) носителях.

Расчеты должны быть выполнены с использованием приложения Microsoft Excel. Таблицы и графики с расчетами из Книги Excel можно оформить в виде отдельных приложений или вставить в текст записки.

Математические формулы записываются с помощью редактора формул Microsoft Equation.

Объем отчета не должен превышать 3-4-х страниц текста, включая титульный лист (Приложение 7). Формат страницы - А4 с полями: слева – 25мм., сверху и снизу по 20мм., справа – 10мм. Шрифт: размер -12, тип – Times New Roman.

Верхний колонтитул содержит: фамилию и имя студента, код учебной группы. Страницы должны быть пронумерованы.

Содержание отчета:

1. Тема лабораторной работы, полный текст задания, в соответствии с вариантом.

2. Математическая постановка задачи.

3. Краткое изложение используемых численных методов.

4. Результаты счета на ЭВМ, включая, контрольный пример.

5. Исследовательская часть работы. Анализ полученных результатов.

 

 

Лабораторная работа 1

Тема. Приближенные методы решения нелинейных уравнений

Задание.

1. Решить нелинейное уравнение с заданной точностью e ,

f(x)=0 (1.1)

используя приближённые (итерационные) методы.

Вид уравнения и приближённый метод (касательных, хорд, половинного деления) для его решения выбрать в соответствии с вариантом (приложение 1).

Порядок выполнения работы

· Протабулируйте функцию y=f(x) на отрезке [а, b] с шагом h=(b-a)/n и постройте её график. Определите количество действительных корней уравнения… · Выделите отрезки, на которых существует единственный корень, используя теорему из математического анализа.

Как отменить это усл.фор-ие????

4. Исследовательская часть (численный эксперимент)

· Постройте таблицу и диаграмму зависимости количества итераций от заданной точности n=n(e) для e=0.1; 0.01; 0.001; 0.0001.

· Проанализируйте полученные результаты, сделайте соответствующие выводы.

Контрольный пример

Решите ваше нелинейное уравнение, используя надстройку Подбор параметра.

Последовательность действий

2. Выберите вкладку Данные, на панели Работа с данными нажмите кнопку Анализ «что-если» и в открывшемся подменю выберите пункт Подбор параметра. …

Контрольные вопросы к лабораторной работе №1

1. Какое уравнение называется нелинейным. Пример нелинейного уравнения.

2. Что является решением нелинейного уравнения.

3. Геометрическая интерпретация решения нелинейного уравнения.

4. Методы решения нелинейного уравнения (прямые и итерационные), в чем разница.

5. Два этапа решения нелинейного уравнения. Какие задачи ставятся на первом и втором этапах

6. Построение итерационной последовательности. Понятие сходимости итерационной последовательности. Нахождение приближенного значения корня нелинейного уравнения с заданной точностью ε.

7. Критерии окончания итерационного процесса. Геометрический смысл критериев.

8. Метод половинного деления. Суть метода (см. вопросы 6,7).

9. Метод Ньютона (касательных). Как выбирается нулевое приближение (нулевая итерация). Суть метода (см. вопросы 6, 7).

10. Метод хорд. Как выбирается нулевое приближение (нулевая итерация). Суть метода (см. вопросы 6, 7).

11. Понятие численного эксперимента, пример такого эксперимента по результатам этой лабораторной работы.

 

 

Лабораторная работа №2

Тема. Матрицы, действия над матрицами. Нормы матрицы и вектора. Матричные функции Excel

Задание.Произвести указанные ниже операции над матрицами с использованием матричных функций приложения Microsoft Excel.

Порядок выполнения работы

· А + В; А * В; В *А · Удалите один столбец (любой) из матрицы В и попытайтесь перемножить А*В.… · Удалить одну строку (любую) из матрицы В и снова попытайтесь перемножить А*В. Объясните полученные результаты.

Рекомендации к выполнению работы.

Категория: математические. Функции: МУМНОЖ(<матрица1>;<матрица2>) – возвращает произведение матриц. … МОБР(<матрица>)–возвращает матрицу, обратную к данной.

Контрольные вопросы к лабораторной работе №1

1. Какие типы матриц вы знаете.

2. Определитель матрицы, для всякой ли матрицы существует определитель.

3. Какая матрица является вырожденной.

4. Обратная матрица, для всякой ли матрицы существует обратная.

5. Произведение матриц, всякие ли матрицы можно перемножать.

6. Что такое норма матрицы (вектора), как они определяются.

7. Что такое транспонированная матрица.

Лабораторная работа 3

Тема. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Задание 3.1.Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Для расчета используйте СЛАУ из приложения 3 в соответствии с вариантом.

Порядок выполнения работы

· прямой ход: приведите СЛАУ к эквивалентной системе с треугольной матрицей А, т.е. · обратный ход: последовательно вычислить неизвестные x1,.x2, ,хn Пример 3.1.Решите СЛАУ (3.1) используя алгоритм метода Гаусса, приведенный на рис.3.1.

Порядок выполнения работы

2. Решите СЛАУ методам Якоби с точностью e=0,01. Если итерационный процесс получился расходящимся, преобразуйте исходную систему к виду, пригодному… 3. Проверьте правильность сделанных преобразований, решив обе СЛАУ с… 4. Решите вручную систему методам Якоби, вычислив три итерации. В качестве нулевого приближения возьмите нулевой…

Пример решение СЛАУ методом Якоби

Пример 3.2.

Найти решение СЛАУ(3.3) методом Якоби.

(3.3)

Прежде всего, убеждаемся, что итерационный метод Якоби можно использовать для заданной системы(3.3), т.к. выполняется условие «преобладания диагональных коэффициентов» матрицы системы, что обеспечивает сходимость метода, т.е.

(3.4)

Приведите систему(3.3) к нормальному виду:

, (3.5)

или в матричной форме

,

где

,

Расчетная схема метода Якоби приведена на рис (3.4).

На практике итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два соседних приближения не станут достаточно близкими.

Критерий близости двух приближений может быть определен следующим образом:

· Рассмотрим вектор разности двух соседних итераций ;

· Если норма этого вектора удовлетворяет условию

(3.6)

или

 

то итерационный процесс прекращается и за приближенное решение системы (3.3) с заданной точностью e принимается k-ое приближение, т.е.

(3.7)

Для проверки выполнения условия (3.6) используйте «условное форматирование» (рис.3.4)

Если условие (3.6) не выполнено, то итерационный процесс необходимо продолжить.

Рис.3.4. Расчетная схема метода Якоби

Анализируя результаты, принимаем за приближенное решение исходной системы с точностью e=0,1 четвертую итерацию,

т.е. х₁=1,0216; х₂= 2,0225, х₃= 0,9912

Изменяя значение eв ячейке Н5 можно получить новое приближенное решение исходной системы с новой точностью.

Проанализируйте сходимость итерационного процесса, построив графики (рис.3.5) изменения каждой компоненты вектора решения СЛАУ в зависимости от номера итерации.

 

 

 

Рис. 3.5. Иллюстрация сходимости итерационного процесса

Иллюстрация расходящегося процесса представлена на рис.3.6.

 

Рис. 3.6. Иллюстрация расходящегося итерационного процесса

 

Лабораторная работа 4

Тема. Численные методы интегрирования.

Задание. Вычислить определенный интеграл

(4.1)

используя заданный вариантом метод численного интегрирования.

Вид функции и численный метод интегрирования выбрать в соответствии с вариантом из таблицы приложения 1.

Порядок выполнения работы

2. Исследовательская часть (численный эксперимент).Проанализируйте полученные аналогичным образом результаты для различных значений e=0.1; 0.01,… 3. Определите приближенное значение интеграла для заданного e. 4. Просчитайте (вручную) контрольный пример для n=2 или n=3, используя формулу трапеций численного интегрирования,…

Контрольные вопросы к лабораторной работе №4

1. Понятия определенного и неопределенного интегралов.

2. Геометрический смысл определенного интеграла.

3. Методы решения определенного интеграла.

4. В каких случаях применяют численное интегрирование.

5. Идея численного интегрирования. Понятие интегральной суммы.

6. Оценка погрешности численного интегрирования. Метод половинного шага.

7. Методы прямоугольников, трапеций, суть методов.

8. Метод Симпсона. Идея метода. Алгоритм вывода определяющих соотношений метода Симпсона.

9. Сравнение численных методов интегрирования между собой.

10. Понятие численного эксперимента, пример такого эксперимента по результатам этой лабораторной работы.

 

Лабораторная работа 5.

Тема. Аппроксимация. Среднеквадратичное приближение функций

Задание:

Постройте математические модели (уравнения регрессии), описывающие зависимости, полученные в результате численного эксперимента в лабораторных работах №1 или №4 ( n=n(ε) или σ=σ(n)).

В качестве аппроксимирующих функций возьмите уравнения регрессии 1-го, 2-го и 3-го порядков, т.е. полиномы:

(5.1)

Рекомендации к выполнению работы

  Рис.5.1.Расчетная схема для определения коэффициентов УР 2. Подготовьте ячейки (тонированные), в которых будут получены коэффициенты уравнений регрессий с помощью надстройки…

Контрольные вопросы к лабораторной работе №5

1. Понятие численного эксперимента, пример такого эксперимента по результатам предыдущих лабораторных работ.

2. Понятие аппроксимации (приближения), аппроксимирующая функция. Когда возникают задачи аппроксимации.

3. Среднеквадратичное приближение. Суть метода наименьших квадратов (МНК).

4. Построение линейной регрессии с помощью МНК.

5. Среднее квадратичное отклонение. Выбор «наилучшего» приближения.

6. Геометрический смысл точности аппроксимации исследуемого процесса.

Лабораторная работа 6.

Тема: Аппроксимация. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания.

Задание.Используя метод выравнивания, постройте эмпирическую формулус двумя параметрами, описывающую полученную в процессе эксперимента некоторую зависимость величины у от величины х,

Вид эмпирической формулы и экспериментальные данные (x_i, y_i), i=1,2,..,n выберите в соответствии с вариантом в приложении 4 (табл.4.1 или 4.2).

Порядок выполнения работы

1. Вычислите коэффициент корреляции R. В зависимости от значения R оценить функциональную близость (в линейном смысле) значений x_i ,у_i ,i=1,2,… n. Сделайте вывод о возможности или невозможности аппроксимации.

2. Используя метод выравнивания, сформируйте нормальную систему и решите ее. Запишите эту систему в буквенном и числовом виде.

3. Вычислите среднее квадратичное отклонение .

4. Постройте график аппроксимирующей функции и множество экспериментальных точек. Сделайте обоснованный вывод о полученном приближении.

5. Геометрический смысл степени точности аппроксимации проиллюстрируйте соответствующим рисунком (см.рис.5.3).

6. Проверьте правильность ваших расчетов, используя надстройку «Линия тренда».

Контрольные вопросы к лабораторной работе №6

1. Аппроксимация с помощью эмпирической формулы с двумя параметрами.

2. Коэффициент корреляции и его значения. Выбор эмпирической формулы.

3. Метод выравнивания.

4. Оценка точности аппроксимации. Среднее квадратичное отклонение

Лабораторная работа 7.

Тема. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера (задача Коши)

Задание.Решить задачу Коши методом Эйлера.Исходные данные приведены в приложении 5.

Порядок выполнения работы

2. Вычислите приближенные значения искомой интегральной кривой заданного дифференциального уравнения в узлах xi , i=0,1,2,..,n для n=5, с шагом…   Рис.7.1 Расчетная схема метода Эйлера c шагом h

Контрольные вопросы к лабораторной работе №7

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.

2. Общее и частное решение дифференциального уравнения. Задача Коши. Геометрический смысл задачи.

3. Метод Эйлера решения задачи Коши. Геометрическая интерпретация метода. Сходимость метода.

 

Приложение 1

Варианты заданий к лабораторным работам №1, 4

№	Вид функции f(x)	Метод решения НУ	Метод численного интегрирования
		хорд	Вход.прям-ов
		Ньютон	Выход.прям-ов
		Половин. деления	“средних”прям-ов
		хорд	трапеций
		Ньютон	“средних”прям-ов
		Половин. деления	Вход.прям-ов
		хорд	Выход. прям-ов
		Ньютон	“средних”прям-ов
		Половин. деления	трапеций
		хорд	Вход.прям-ов
		Ньютон	Вход. прям-ов
		Половин. деления	Выход. прям-ов
		хорд	“средних”прям-ов
		Ньютон	трапеций
		Половин. деления	“средних”прям-ов
		хорд	Вход. прям-ов
		Ньютон	Выход. прям-ов
		Половин. деления	“средних”прям-ов
		хорд	трапеций
		Ньютон	Симпсона
		Половин. деления	Вход. прям-ов
		хорд	Выход. прям-ов
		Ньютон	“средних”прям-ов
		Половин. деления	трапеций
		хорд	“средних”прям-ов
		Ньютон	трапеций
		Половин. деления	Вход. прям-ов
		хорд	Выход. прям-ов
		Ньютон	“средних”прям-ов
		Половин. деления	трапеций

 

 

Приложение 2.

Варианты заданий к лабораторной работе № 2

1). A = В =	2). A= В=
3). A = В=	4). A = В=
5). А = В=	6). A= В =
7). A= В=	8). A= В=
9). A = В=	10). A= В =
11). A = В=	12). A= В=
13). A= В=	14). A= В=
15). A = В =	16). A= В=
17). A= В =	18). A= В=
19). A= В=	20). A= В=
21). A= В=	22). A= В=
23). A= В =	24). В = В=
25). A= В=	26). A= В=
27). A = В=	28). A= В=
29). A = В=	30). A= В=

 

Приложение 3.

Варианты задания к лабораторной работе №3

1). 3,5x1 - 1,7x2 + 2,8x3 = 1,7 5,7x1 + 3,3x2 + 1,3x3 = 2,1 2,1x1 + 5,8x2 + 2,8x3 = 0,8	2). 2,1x1 + 4,4x2 + 1,8x3 = 1,1 0,7x1 - 2,8x2 + 3,9x3 = 0,7 4,2x1 - 1,7x2 + 1,3x3 = 2,8
3). 3,1x1 + 2,8x2 + 1,9x3 = 0, 1,9x1 + 3,1x2 + 2,1x3 = 2,1 7,5x1 + 3,8x2 + 4,8x3 = 5,6	4). 4,1x1 + 5,7x2 + 1,2x3 = 5,8 0,8x1 + 1,1x2 - 2,8x3 = 6,7 9,1x1 - 3,6x2 + 2,8x3 = 9,8
5). 2,7x1 - 0,8x2 + 4,1x3 = 3,2 1,1x1 + 3,7x2 + 1,8x3 = 5,7 3,3x1 + 2,1x2 - 2,8x3 = 0,8	6). 1,9x1 + 1,1x2 + 3,8x3 = 7,8 7,6x1 + 5,8x2 - 4,7x3 = 10,1 1,8x1 - 4,1x2 + 2,1x3 = 9,7
7) 3,2x1 - 8,5x2 + 3,7x3 = 6,5 0,5x1 + 0,34x2 +3,7x3 = -0,24 4,6x1 + 2,3x2 - 1,5x3 = 4,3.	8). 4,2x1 + 6,7x2 - 2,3x3 = 2,7; 5,4x1 - 2,3x2 + 1,4x3 = - 3,5; 3,4x1 + 2,4x2 + 7,4x3 = 1,9.
9). 1,5x1 + 4,5x2 + 1,3x3 = -1,7 2,7x1 - 3,6x2 + 6,9x3 = 0,4 6,6x1 + 1,8x2 - 4,7x3 = 3,8	10). 3,4x1 - 3,6x2 - 7,7x3 = -2,4 5,6x1 + 2,7x2 - 1,7x3 = 1,9 -3,8x1 + 1,3x2 +3,7x3 = 1,2
11). -2,7x1 + 0,9x2 - 1,5x3 = 3,5 3,5x1 - 1,8x2 + 6,7x3 = 2,6 5,1x1 + 2,7x2 + 1,4x3 = -0,1	12). 0,8x1 + 7,4x2 - 0,5x3 = 6,4. 3,1x1 - 0,6x2 - 5,3x3 = -1,5; 4,5x1 - 2,5x2 + 1,4x3 = 2,5;
13). 5,4x1 - 6,2x2 - 0,5x3 = 0,52 3,4x1 + 2,3x2 + 0,8x3 = -0,8 2,4x1 - 1,1x2 + 3,8x3 = 1,8	14). 3,8x1 + 6,7x2 + 2,2x3 = 5,2 6,4x1 + 1,3x2 - 2,7x3 = 3,8 -2,4x1 - 4,5x2 + 3,5x3 = -0,6
15). -3,3x1 + 1,1x2 + 5,8x3 = 2,3 7,8x1 + 5,3x2 + 1,8x3 = 1,8 4,5x1 + 3,3x2 - 3,8x3 = 3,4	16). 3,8x1 + 7,1x2 - 2,3x3 = 4,8 -2,1x1 + 3,9x2 - 6,8x3 = 3,3 8,8x1 + 1,1x2 - 2,1x3 = 5,8
17). 1,7x1 - 2,2x2 - 4,0x3 = 1,8 2,1x1 + 1,9x2 - 2,3x3 = 2,8 4,2x1 + 1,9x2 - 0,1x3 = 5,1	18). 2,8x1 + 3,8x2 – 8,2x3 = 4,5 2,5x1 - 7,8x2 + 3,3x3 = 7,1 6,5x1 - 1,1x2 + 4,8x3 = 6,3
19). 2,3x1 + 0,7x2 + 4,2x3 = 5,8 -2,7x1 + 2,3x2 - 2,9x3 = 6,1 9,1x1 + 4,8x2 - 5,0x3 = 7,0	20). 3,1x1 + 6,8x2 + 2,1x3 = 7,0 -5,0x1 - 4,8x2 + 5,3x3 = 6,1 8,2x1 + 1,8x2 + 5,1x3 = 5,8
21). 3,7x1 + 3,1x2 + 7,0x3 = 5,0 4,1x1 + 9,5x2 - 4,8x3 = 4,9 -7,1x1 + 3,7x2 + 1,8x3 = 2,7	22). 2,1x1 + 0,2x2 - 5,8x3 = 7,0 3,8x1 - 8,1x2 + 4,0x3 = 5,3 7,8x1 + 5,3x2 - 0,3x3 = 5,8
23). 3,7x1 - 2,3x2 + 4,5x3 = 2,4 2,5x1 + 4,3x2 - 7,8x3 = 3,5 1,6x1 + 5,3x2 + 1,3x3 = -2,4	24). 6,3x1 + 5,2x2 - 0,4x3 = 1,5; 3,4x1 - 2,3x2 - 3,4x3 = 2,7; 2,8x1 + 1,4x2 - 3,5x3 = -2,3.
25). 1,1x1 + 2,3x2 - 3,7x3 = 4,5 6,8x1 + 3,4x2 + 1,8x3 = -3,2 1,2x1 + 7,3x2 - 2,3x3 = 5,6	26). 0,9x1 + 2,7x2 - 3,8x3 = 2,4 ,5x1 + 5,8x2 - 0,5x3 = 3,5 8,5x1 - 2,1x2 + 3,2x3 = -1,2
27). 1,5x1 - 2,3x2 + 8,6x3 = -5,5 7,4x1 + 2,5x2 - 2,9x3 = 4,5 0,8x1 + 3,5x2 - 1,4x3 = 3,2	28). 5,4x1 - 2,4x2 + 10,8x3 = 5,5 2,5x1 + 6,8x2 - 1,1x3 = 4,3 2,7x1 - 0,6x2 + 1,5x3 = -3,5
29). 2,4x1 + 3,7x2 - 8,3x3 = 2,3 1,8x1 + 4,3x2 + 1,2x3 = -1,2 10,4x1 - 1,3x2 + 5,2x3 = 3,5	30). 23,2x1 - 11,5x2 + 3,8x3 = 2,8 0,8x1 + 1,3x2 - 6,4x3 = -6,5 2,4x1 + 7,2x2 - 1,2x3 = 4,5

 

 

 

Приложение 4

Варианты задания к лабораторной работе №6

Таблица 4.1

№ вари-анта	Вид эмпирической функции	№ вари-анта	Вид эмпирической функции

 

 

 

Приложение 4 (продолжение)

Варианты задания к лабораторной работе №6

Таблица 4.2

Варианты
x	y1	y2	y3	y4	y5
0,1	2,09	2,02	2,07	0,1	0,14
0,3	2,19	1,67	2,21	0,01	0,17
0,4	2,18	1,65	2,31	0,05	0,05
0,6	2,27	1,42	2,09	0,23	0,025
0,8	2,73	1,07	1,63	0,43	0,05
1,1	3,03	0,35	1,16	0,44	0,5
1,4	3,85	1,2	1,56	0,81	1,47
1,7	4,89	2,28	1,65	1,4	2,55
1,8	5,06	2,81	2,06	1,9	3,18
	5,91	4,06	2,01	2,51	3,93

 

Таблица 4.3

Варианты
x	y6	y7	y8	y9	y10
0,1	3,82	1,56	1,64	1,77	2,45
0,2	3,44	0,84	2,54	1,9	2,34
0,3	4,16	1,51	1,09	1,47	2,69
0,4	2,95	1,52	1,07	1,19	2,99
0,6	2,4	1,04	0,24	0,97	3,3
0,8	1,85	0,91	0,07	0,29	3,99
1,1	1,18	0,46	0,69	0,05	4,77
1,4	0,48	0,29	1,39	0,78	5,53
1,5	0,18	0,28	1,73	1,01	5,68
1,7	1,12	0,27	3,37	1,76	6,73
1,8	0,6	0,17	2,41	1,46	6,45

 

 

Приложение 5

Варианты заданий к лабораторной работе №7

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.	15.
16.	17.	19.
20.	21.	22.
23.	24.	25.
26.	27.	28.
29.	30.

 

1-6 из, с.26

7- Мысовских с.276

8- Мысовских с.298

9-Пискунов,с 56

10- 15 Киселев. C.32

16 Эльсгольц с.67

17-21 Эльсгольц с.82 условия- отфонаря

22 - 26Эльсгольц с.83

28- Демидович

Э

 

Приложение 7.

 

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Строительный факультет

Кафедра строительной механики и вычислительных технологий

 

ЛАБОРАТУРНЫЕ РАБОТЫ

по дисциплине

 

ИНФОРМАТИКА-2

Бакалавры

 

Тема:

 

Работу выполнил:

 

 

Работу принял:

Пермь 2009

 

 

 

Составители Т.Б.Пермякова, М.Е. Лаищева

 

Подписано в печать 29.12.2008.

Формат 60 х 84/16. Объем 2,625 п.л. Тираж 250.

Заказ 01/2009-р

 

 

Отпечатано с авторского макета лабораторией ИСТ СТФ ПГТУ