Модель відкритої системи

Розглянемо просту відкриту систему, в якій відбувається обмін речовинами "a" і "b" з навколишнім середовищем і, крім того, зворотня реакція першого порядку перетворення (див.рис.3). Позначимо а, b – змінні концентрації усередині системи; А, В – постійні концентрації цих же речовин у зовнішніх резервуарах; k_A, k_ab, k_ba, k_B – константи швидкостей процесів.

Не дивлячись на простоту, модель відображає основні риси обмінних процесів в клітині. Надходження субстрата із зовнішнього середовища задається реакцією A→a, викид метаболітів у зовнішнє середовище задається реакцією b→В, а процесам клітинного метаболізму відповідає перетворення аb. Наприклад, для процесу дихання на етапі А→а відбувається надходження глюкози і кисню, етап b→B відповідає викиду СО₂ і Н₂О з клітини, а весь метаболічний дихальний цикл трансформації молекули глюкози представлений реакцією аb. Значення констант швидкостей носять, звичайно, феноменологічний узагальнений характер і не можуть бути віднесені до якоїсь конкретної біохімічної стадії. Проте і така, до межі спрощена, модель відображає основні риси сукупності метаболічних реакцій клітини як відкритої системи.

Рівняння кінетики для цієї системи мають вигляд

, (12)

. (12)

Для розв’язку цих рівнянь необхідно задати початкові умови – концентрації речовин у клітині a₀ і b₀ при t = 0. Така відкрита система через певний проміжок часу приходить у стаціонарний стан, в якому змінні а і b приймають постійні значення і . Знайти їх можна, прирівнявши до нуля праві частини рівнянь (17) і (18).

Виявляється, що величини і не залежать від початкових умов, тобто від a₀ і b₀, а визначаються тільки величинами констант k і концентрацій речовин у зовнішніх резервуарах А, В. Це означає, що, в якому б початковому стані не знаходилася система, в ній врешті-решт встановиться один стаціонарний режим, при якому а = , b = .

У цьому полягає властивість еквіфінальності стаціонарних станів, яка властива відкритим системам і часто спостерігається при вивченні біологічних процесів. Хоча початкові умови не впливають на значення і , вони проте визначають конкретний характер кривих зміни а(t) і b(t) і кінетику переходу системи від початкової точки а = а₀, b = b₀ у момент t = 0 у стаціонарний стан а = , b = при t→∞.

На рис.3 наведено декілька видів перехідних кривих а(t). Схожі за формою криві спостерігалися, наприклад, у фізіологічних дослідженнях швидкості дихання за різних початкових умов. Ці випадки отримали спеціальні назви, позначені на мал.3. Навіть з аналізу простої системи (17) і (18) видно, що аналітичні розв’язки мають досить громіздкий вигляд і залежать від великого числа параметрів.

Ясно, що при великому числі змінних такі розв’язки не тільки важко отримати, але по них вже і складно з'ясувати залежність кінетичної поведінки системи від параметрів. Звернемо увагу на те, що рівняння (4) містять в правих частинах тільки лінійні члени, куди невідомі змінні входять в першій степені. Проте в біологічних системах процеси, як правило, істотно нелінійні. Так, швидкість простої бімолекулярної реакції другого порядку описується математично у вигляді добутку концентрацій реагентів, тобто в моделі такої реакції праві частини рівнянь містять нелінійні члени. В цьому випадку знаходження точних аналітичних розв’язків стикається із серйозними математичними труднощами а часом взагалі неможливе. Тому основний підхід в сучасній кінетиці і математичному моделюванні біологічних процесів полягає у відмові від знаходження точних аналітичних розв’язків диференціальних рівнянь. Ідея полягає в отриманні якісних характеристик динамічної поведінки системи: стійкі і нестійкі стаціонарні стани, переходи між ними, коливальні режими, якісна залежність поведінки системи від критичних значень параметрів. Найважливішою властивістю стаціонарного стану є його стійкість. Ця стійкість визначається здатністю системи самовільно повертатися в стаціонарний стан після внесення зовнішніх збурень, що відхилюють систему від початкової стаціонарної точки рівноваги. У складній системі можуть протікати реакції другого і вищих порядків. Це відповідає тому, що така система може володіти декількома стаціонарними станами.