Уравнение прямой
Общим уравнением прямой называется уравнение
, (3.1)
полученное из уравнения
. (3.2)
Геометрический смысл общего уравнения прямой заключается в том, что оно описывает прямую, проходящую через точку 
перпендикулярно вектору 
, который называется нормальным вектором прямой
Каноническим уравнением прямой называется уравнение
. (3.3)
Геометрический смысл канонического уравнения прямой заключается в том, что оно описывает прямую, проходящую через точку параллельно вектору 
, который называется направляющим вектором прямой:
Уравнением прямой с угловым коэффициентом называется уравнение
, (3.4)
или
. (3.5)
Геометрический смысл коэффициента k – это тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox, т.е. k=tga, b – это отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy.
Пример 3.1. Определить при каких значениях a и b две прямые
(a–1)x–2y–1=0 и 6x–4y+b=0
а) пересекаются; б) параллельны; в) совпадают.
Решение. Две прямые L1: 
и L2: 
параллельны, если
.
В частности, прямые совпадают, если
.
В случае
,
прямые пересекаются. В нашем случае, из условия
находим, что две прямые совпадают, если a=4 и b=-2. Две прямые параллельные, если a=4 и b¹-2. Если a¹4 при любом значении b, то прямые пересекаются.
Пример 3.2. Определить при каком значении параметра t прямая
а) параллельна оси абсцисс; б) параллельна оси ординат; в) проходит через начало координат.
Решение. Прямая 
параллельна оси абсцисс, если A=0; параллельна оси ординат, если B=0; проходит через начало координат, если C=0.
В нашем случае, если 
, т.е. при 
и 
, прямые будут параллельны оси абсцисс: 
и 
.
Если 
, т.е. при 
, то прямая пройдёт параллельно оси ординат: 
.
Прямая будет проходить через начало координат, если 
, т.е. при 
: 
.
Пример 3.3. Заданы точка M(–1;2) и прямая L: –2x+y–1=0. Написать уравнения прямых L1 и L2, проходящих через точку M и L1||L и L2^L.
      y
L2
M o L
L1 x
|
Решение. Сделаем чертеж. Чтобы построить прямую, достаточно знать две ее точки. Очевидно, что A(0;1), B(1;3)ÎL. Через найденные точки проводим прямую. Прямая L задана общим уравнением прямой, тогда ее нормальный вектор имеет координаты n={–2;1}. Поскольку L1||L Þ L1^n, то вектор n будет нормальным вектором также и для прямой L1. Тогда используя формула (3.2), получим
–2(x+1)+(y–2)=0,
или
L1: –2x+y–4=0.
Поскольку L2^L Þ L2||n, то вектор n будет направляющим вектором L2. Тогда используя формулу (3.3), получим
,
или
L2: x+2y–3=0.
Пример 3.4. Найти координаты точки М, лежащей на одной прямой с точками A(–1;1) и B(1;5), если абсцисса и ордината этой точки равны между собой.
Решение. Найдем уравнение прямой (АВ), воспользовавшись формулой прямой, проходящей через две точки:
.
Разделив последнее уравнение на 2, получим
(AB): 2x–y+3=0.
Пусть исходная точка имеет координаты M(a;a). Так как она принадлежит прямой (AB), то ее координаты должны удовлетворять уравнению:
2a–a+3=0 Þ a=–3.
Таким образом, искомая точка имеет координаты М(–3;–3).
Пример 3.5.. Из точки M(3;2) выходит луч света под углом j = arctg2 к оси Ox. Найти уравнения падающего и отраженного лучей.
   y
L2 L1
j j K x
|
Решение. Найдем уравнение падающего луча. Эта прямая L1 проходит через точку M с угловым коэффициентом
k1 = tgj = 2.
Тогда используя уравнение (3.5), получим
y–2 = 2(x–3),
или
L1: 2x–y–4=0.
Это есть уравнение падающего луча. Чтобы составить уравнение отраженного луча L2, нужно знать координаты точки отражения K и угловой коэффициент k2. Координаты точки отражения K можно найти как точку пересечения прямой L1 и оси Ox:
Þ 
т.е. K(2;0). Угловой коэффициент k2 найдем из того условия, что «угол падения равен углу отражения». Тогда очевидно, что j2 = 1800–j. Отсюда
k2 = tgj2 = tg(1800–j) = –tgj = –2.
Теперь известны все параметры, чтобы записать уравнение отраженного луча:
y = –2(x–2),
или
L2: 2x+y–4=0.