Уравнение прямой и плоскости в пространстве

Общим уравнением плоскости называется уравнение

, (3.6)

полученное из уравнения плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору :

. (3.7)

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки: , , имеет вид:

. (3.8)

Каноническими уравнениями прямой в пространстве называют уравнение

. (3.9)

Геометрический смысл канонических уравнений прямой заключаются в том, что они описывают прямую, проходящую через точку параллельно вектору , который называется направляющим вектором прямой.

Пример 3.6. Даны координаты вершин A(3;–2;–4), B(–5;3;4), C(1;–3;2), D(4;1;–2) пирамиды ABCD. Найти: а) уравнение прямой АВ, б) уравнение плоскости АВС.

Решение. Найдем координаты векторов :

.

а) Для того чтобы найти уравнение прямой AB, воспользуемся формулой прямой, проходящей через две точки:

. (3.10)

Подставим координаты точек A и B:

, или .

б) Для того чтобы найти уравнение плоскости ABC, воспользуемся формулой (3.8). Подставим координаты точек A, B и C:

.

Вычислим этот определитель, разлагая его по первой строке:

Раскрывая скобки и приравнивая нулю полученное выражение, получим уравнение искомой плоскости:

,

или

.

Пример 3.7. Составить канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями:

L:

Решение. Чтобы составить канонические уравнения прямой, нужно знать какую-либо точку на этой прямой и какой-либо направляющий вектор. Найдем координаты точки. Для этого нужно найти общее решение данной системы двух уравнений, а затем выбрать какое-либо частное решение. Мы поступим несколько иначе, сразу выберем частное решение, для этого придадим какой-либо переменной числовое значение. Тогда останется только две переменные и система станет определенной. Решая полученную систему, найдем числовые значения оставшихся переменных, а, следовательно, и координаты точки на заданной прямой. Пусть x=0, тогда система примет вид:

Таким образом, M(0,1,1)ÎL. В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор

,

где и – направляющие векторы плоскостей, входящих в общие уравнения прямой. Так как

={1;3;2}, ={5;1;2},

то

Таким образом,

L:

Пример 3.8. Найти уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

L₁: и L₂: .

L1 L2 M1   M2

Решение. Первая прямая проходит через точку , вторая через точку . Найдем нормальный вектор искомой плоскости:

.

Так как ={3;2;1}, M₁(2;–2;0), M₂(1;1;1),
={–1;3;1}, то

Поскольку M₁ÎL, то уравнение искомой плоскости будет иметь вид (см. формулу (3.7)):

P: –1(x–2)–4(y+2)+11z=0 Þ P: –x–4y+11z–6=0.

Пример 3.9. Найти координаты точки пересечения плоскости
P:2x+y–z–4=0 и прямой L: , а также угол между ними.

L     j P

Решение. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Однако гораздо проще определить угол между векторами и . Поскольку

,

то

|cos()| = |cos(90⁰ ± j)| = sinj.

Отсюда следует формула для определения угла между плоскостью и прямой:

. (3.11)

В нашем случае

= {2;–1;2} и = {2;1;–1}.

Тогда

Þ j » 8⁰.

Чтобы найти точку пересечения L и P, нужно решить систему трех уравнений (одно уравнения дает уравнение плоскости и два уравнения дают уравнения прямой). Однако мы поступим по-другому, представив уравнение прямой в параметрической форме:

Þ

Подставим выражения для x, y и z в уравнение плоскости и найдем после этого параметр t:

2x+y–z–4=0 Þ 2(4+2t)+(–t)–(4+2t)–4=0 Þ t=0.

Найдем значения

которые являются координатами точки M пересечения прямой L и плоскости P:

= M(4;0;4).