Реферат Курсовая Конспект
Кривые второго поряка - раздел Философия, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Линия – Геометрическое Понятие, Точное И Достаточно Общее Определение ...
|
Линия – геометрическое понятие, точное и достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах математики различно. В аналитической геометрии линия на плоскости определяется уравнением F(x,y)=0. Если в декартовой системе координат F(x,y) – многочлен какой-либо степени, то линия называется алгебраической, а степень многочлена – порядком линии. В противном случае, линия называется трансцендентной (например, sinx, lnx и др.).
С алгебраической точки зрения наиболее простыми после линий 1-го порядка (прямых) являются линии 2-го порядка, которые в декартовой системе координат в общем виде описываются многочленом второго порядка:
. (3.12)
Наиболее простой линией второго порядка является окружность, каждая точка которой равноудалена от некоторой точки, называемой центром. Чтобы задать окружность, нужно знать координаты ее центра C(x0,y0) и ее радиус R. Тогда уравнение окружности можно записать в следующем виде:
. (3.13)
Это есть каноническое уравнение окружности.
Эллипсом называется линия, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат определяется уравнением
(3.14)
при условии a³b. Параметры a и b называются большой и малой полуосями эллипса. Точка C(x0,y0) – центром эллипса. Точки F1 и F2 – это фокусы эллипса, отстоящие от центра на расстояние , называемое фокальным расстоянием. Число (0 £ e < 1) называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его «сплюснутости»
Гиперболой называется линия, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат определяется уравнением
(3.15)
Параметры a и b называются действительной и мнимой полуосями гиперболы. Точка C(x0,y0) – центром гиперболы. Точки F1 и F2 – это фокусы гиперболы, отстоящие от центра на расстояние , называемое фокальным расстоянием. Уравнения асимптот имеют вид
. (3.16)
Число называется эксцентриситетом, только в случае гиперболы это число e>1. Если a=b, то гипербола называется равносторонней.
Параболой называется линия, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
. (3.17)
где p>0. Число p называется фокальным параметром параболы, точка C(x0,y0) есть вершина параболы, точка F, отстоящая от вершины на расстояние p/2, называется фокусом параболы. Прямая D, перпендикулярная к оси параболы и проходящая на расстоянии p/2 от ее вершины, называется директрисой параболы.
Пример 3.10. Составить уравнение окружности, если известно, что точки A(–7;4) и B(17;–6) являются концами ее диаметра.
Решение. Известно, что центр окружности делит любой диаметр пополам. Поэтому координаты центра окружности находим как координаты точки, делящей отрезок АВ пополам (см. формулу (2.6)):
Радиус окружности будет равен половине диаметра АВ (см. формулу (2.5)):
.
Таким образом, уравнение окружности имеет вид (x–5)2 + (y+1)2 = 132.
Пример 3.11. Вывести уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точки которой до двух точек A(–4;0) и B(4;0) есть величина постоянная и равная 10.
Решение. Обозначим через M(x,y) произвольную точку кривой. Запишем геометрическое свойство точек кривой:
|AM| + |BM| = 10.
Распишем это уравнение:
.
Перепишем это уравнение следующим образом:
.
Возведем обе части в квадрат:
,
после упрощений получим
.
Сократив полученное уравнение на 4, возведем его еще раз в квадрат:
.
Раскроем скобки
16x2–200x+625 = 25x2–200x+400+25y2 Þ 9x2+25y2 = 225.
Отсюда получаем
.
Это есть каноническое уравнение эллипса.
Рассмотрим уравнение второго порядка:
.
Здесь нет смешанного произведения xy. Такое уравнение приводится к каноническому виду при помощи параллельного переноса координат. Аналитически это эквивалентно методу выделения полного квадрата.
Пример 3.12. Показать, что данное уравнение
16x2 + 25y2 + 32x – 100y – 284 = 0
определяет эллипс, приведя его к каноническому виду. Найти центр эллипса, его полуоси и эксцентриситет. Сделать чертеж
Решение. Сгруппируем слагаемые, содержащие x и y:
16(x2 + 2x) + 25(y2– 4y) – 284 = 0
После этого выражения в скобках преобразуем таким образом, чтобы можно было воспользоваться формулой полного квадрата, т.е. в каждой скобке добавим и отнимем такое число, чтобы можно было воспользоваться формулой: a2+2ab+b2=(a+b)2:
.
Отсюда получаем:
16(x2+1)2 – 16 + 25(y2–2)2 – 100 – 284 = 0,
или
16(x2+1)2 + 25(y2–2)2 = 400.
Разделив это уравнение на 400, получим
.
Это уравнение – каноническое уравнение эллипса, центр которого находится в точке О(–1,2). Большая полуось равна a=4, малая b=3, фокальное расстояние , эксцентриситет e=c/a = 4/5.
Пример 3.13. Показать, что уравнение
9x2 –16y2 + 18x + 64y – 199 = 0
определяет гиперболу, приведя его к каноническому виду. Найти центр гиперболы, ее полуоси, эксцентриситет и уравнения асимптот. Сделать чертеж.
Решение. Дополняя члены, содержащие x и y, до полного квадрата:
9(x2+2x) – 16(y2–4y) – 199 = 0,
или
9(x+1)2 – 9 – 16(y–2)2 + 64 – 199 = 0.
Отсюда получаем каноническое уравнение гиперболы:
.
Следовательно, центр гиперболы находится в точке С(–1;2), действительная полуось a=4, мнимая b=3, фокальное расстояние , эксцентриситет e=c/a = 5/4. Уравнения асимптот имеют вид
,
или 3x–4y–10 = 0 и 3x+4y–2 = 0.
Построение гиперболы лучше начинать с построения асимптот, а затем уже отмечать вершины, фокусы и другие точки.
Вид уравнения линии зависит не только от вида самой линии, но и от выбора системы координат. Для задания некоторых линий часто используют недекартовы системы координат, поскольку в этих координатах уравнение линии может иметь более простой вид. Большое распространение получила полярная система координат.
Для того чтобы ввести полярную систему координат, нужно задать некоторую точку О, называемую полюсом, и некоторый луч, выходящий из точки О, называемый полярной осью. Тогда любая точка на плоскости однозначно определяется двумя числами (полярными координатами): полярным радиусом r и полярным углом j. Полярный радиус r точки М равен длине радиус-вектора этой точки: , а полярный угол j равен углу между радиус-вектором и полярной осью, если полярную ось вращать против часовой стрелки.
Установим теперь взаимосвязь между полярными и декартовыми координатами. Пусть начало прямоугольной декартовой системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью. Если точка М имеет декартовы координаты x и y и полярные координаты r и j, то, очевидно, что
x = r cosj, y = r sinj, (3.18)
. (3.19)
Уравнение линии в полярной системе координат имеет вид F(r,j)=0 или r=f(j). Для того чтобы соответствие между точками плоскости и полярными координатами было взаимно однозначными, обычно полагают, что r и j изменяются в следующих границах:
0 £ r < +¥, 0 £ j < 2p.
Пример 3.14. Построить кривую, заданную в полярных координатах: r = 4sin3j (трехлепестковую розу).
Решение. Найдем область изменения заданной функции. Поскольку r³0, то и
sin3j ³ 0. Тогда
2pk £ 3j £p+2pk Þ .
В результате получаем: при k=0 00£j£600, при k=1 1200£j£1800, при k=2 2400£j£3000. Таким образом, область определения исходной функции состоит из трех секторов. Поскольку все они равноправны, в силу периодичности синуса, то достаточно построить график только в одном секторе.
j | 100 | 150 | 200 | 300 | 400 | 450 | 500 | 600 | |
r |
В итоге получаем следующий график трехлепестковой розы:
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Сибирский государственный аэрокосмический университет... им академика М Ф Решетн ва...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Кривые второго поряка
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов