Системы линейных уравнений. Метод Крамера

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

(1.3)

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком виде:

(1.4)

если D¹0. Здесь

(1.5)

Это есть формулы Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 1.6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель основной матрицы системы:

Поскольку D¹0, то для нахождения решения системы можно применить метод Крамера. Вычислим остальные определители:

Тогда

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно.

Теорема Крамера. Квадратная система линейных неоднородных уравнений n-го порядка с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (D¹0) имеет одно и только одно решение, и это решение вычисляется по формулам:

где D – определитель основной матрицы, D_i – определитель матрицы, полученной из основной, заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Отметим, что если D=0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо вообще не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений.