Матрица А–1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если выполняется равенство AA–1 = A–1A = E. Только квадратные матрицы могут иметь обратные. Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Для того чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля: detA¹0.
Пример 1.7. Решить систему линейных уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).
Решение. Запишем исходную систему уравнений в матричном виде:
.
Тогда решение можно формально записать в виде:
.
Таким образом, чтобы найти решение системы, нужно вычислить обратную матрицу
.
Найдем ее
1) Вычисляем определитель исходной матрицы: .
2) Транспонируем матрицу .
3) Находим все алгебраические дополнения транспонированной матрицы:
, | , | , |
, | , | , |
, | , | . |
4) Составляем присоединенную матрицу, для этого вместо элементов транспонированной матрицы ставим найденные алгебраические дополнения:
5) Записываем обратную матрицу, для этого все элементы присоединенной матрицы делим на определитель исходной матрицы:
.
6) Сделаем проверку:
.
Следовательно, обратная матрица найдена правильно.
Теперь, используя найденную обратную матрицу можно найти решение исходной системы:
.