Метод Гаусса

Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений

(1.5)

В общем случае n¹m.

Задача теории систем линейных уравнений состоит в том, чтобы найти все решения системы. При этом возможны три случая. 1) Система вообще не имеет решений. Системы линейных уравнений, не имеющие ни одного решения, называются несовместными. 2) Система имеет хотя бы одно решение. такие системы называются совместными. 3) Система имеет только одно решение. Такие системы называются определёнными.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система приводится к эквивалентной системе ступенчатого вида. Рассмотрим метод Гаусса на конкретных примерах.

Пример 1.8.Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы, а затем при помощи элементарных преобразований строк приведем ее к треугольному виду:

.

Теперь выписываем соответствующую укороченную систему уравнений. Из последнего уравнения находим значение z и подставляем его во второе уравнение. После этого из второго уравнения находим y. Найденные значения y и z подставляем в первое уравнение, из которого затем находим значение x:

Эта тройка чисел будет являться единственным решением системы.

Пример 1.9. Решить систему методом Гаусса:

Решение. Выписываем и преобразуем расширенную матрицу системы

Записываем упрощенную систему уравнений:

Здесь, в последнем уравнении получилось, что 0=4, т.е. противоречие. Следовательно, система не имеет решения, т.е. она несовместна.

Пример 1.10.Найти общее решение методом Гаусса

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы, а затем при помощи элементарных преобразований строк приведем ее трапециевидной форме:

-1

:15

.

Теперь выписываем соответствующую укороченную систему уравнений:

Пусть переменные x₄ и x₅ будут свободными, тогда переменные x₁, x₂ и x₃ будут основными (или базисными). Их мы оставим в левой части:

Разрешая эту систему относительно x₁, x₂ и x₃ получим

Это есть общее решение системы. Запишем это решение в параметрическом виде. Пусть x₄=a и x₅=5b. Тогда общее решение системы запишется в виде:

Давая числам a и b различные значения, будем получать частные решения. Например, если a=0, b=1, то x₁=–7, x₂=–2, x₃=4, x₄=0, x₅=5.