Взаимное расположение прямой с плоскостью

1. Угол между прямой с направляющим вектором и плоскостью с нормальным вектором вычисляется по формуле

.

2. Условие параллельности прямой и плоскости: прямая с направляющим вектором и плоскость с нормальным вектором параллельны тогда и только тогда, когда

.

3. Условия перпендикулярности прямой и плоскости: прямая с направляющим вектором и плоскость с нормальным вектором перпендикулярны тогда и только тогда, когда

.

4. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости: прямые с направляющим вектором и с направляющим вектором принадлежат плоскости тогда и только тогда, когда

.

5. Условия принадлежности прямой плоскости: прямая с направляющим вектором принадлежит плоскости с нормальным вектором тогда и только тогда, когда выполняется

4.2. Контрольные задания

1. Даны два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее z₁, z₂, z₃ через x₁, x₂, x₃.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

2. Дана система линейных уравнений. Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) с помощью обратной матрицы.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

3. Даны вершины треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение медианы CM, проведенной из вершины С; 3) уравнение высоты СH, проведенной из вершины С; 4) уравнение прямой L, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ; 5) длину высоты СH; 6) величину внутреннего угла А (в радианах). Сделать чертеж.

1. A(1; 1), B(7; 4), C(4; 5). 2. A(1; 1), B(–5; 4), C(–2; 5).

3. A(–1; 1), B(5; 4), C(2; 5). 4. A(–1; 1), B(–7; 4), C(–4; 5).

5. A(1; –1), B(7; 2), C(4; 5). 6. A(1; –1), B(–5; 2), C(–2; 3).

7. A(–1; –1), B(5; 2), C(2; 3). 8. A(–1; –1), B(–7; 2), C(–4; 3).

9. A(0; 1), B(6; 4), C(3; 5). 10. A(1; 0), B(7; 3), C(4; 4).

4. Составить уравнение и построить линию, для каждой точки которой выполняется следующее условие:

1. Расстояние ее до точки F(–1; –2) равно расстоянию от прямой
x = –3;

2. Отношение расстояний до точки F(7; 0) и прямой x = 1 равно ;

3. Отношение расстояний до точки F(2; 0) и прямой x = 3 равно ;

4. Расстояние ее до точки F(3; 3) равно расстоянию от прямой
x = –2;

5. Отношение расстояний до точки F(2; 0) и прямой равно 2;

6. Отношение расстояний до точки F(–1; 0) и прямой x = –9 равно ;

7. Расстояние ее до точки F(–3; 2) равно расстоянию от прямой x = 2;

8. Отношение расстояний до точки F(3; 0) и прямой x = 2 равно ;

9. Отношение расстояний до точки F(–4,5; 0) и прямой x = –8 равно 0,75;

10. Расстояние ее до точки F(1; 0) равно расстоянию от прямой x = 3.

 

5. Написать разложение вектора по векторам , , .

1. , , , .

2. , , , .

3. , , , .

4. , , , .

5. , , , .

6. , , , .

7. , , , .

8. , , , .

9. , , , .

10. , , , .

6. Даны вершины пирамиды A₁A₂A₃A₄. Найти: 1) угол между ребрами A₁A₃ и A₁A₄; 2) площадь грани A₁A₂A₃; 3) уравнение плоскости, содержащей грань A₁A₂A₃; 4) уравнения высоты пирамиды, проведенной через вершину A₄. Сделать схематический чертеж.

1. A₁(2; 1; –4), A₂(1; –2; 3), A₃(1; –2; –3), A₄(5; –2; 1).

2. A₁(2; –1; 3), A₂(–5; 1; 1), A₃(0; 3; –4), A₄(–1; –3; 4).

3. A₁(5; 3; 2), A₂(1; –8; 8), A₃(4; –1; 2), A₄(1; 4; –1).

4. A₁(–2; 3; 4), A₂(4; 2; –1), A₃(2; –1; 4), A₄(–1; –1; 1).

5. A₁(4; –4; 0), A₂(–5; 3; 2), A₃(8; 0; 1), A₄(2; 2; 3).

6. A₁(–3; –4; 0), A₂(0; –1; 3), A₃(–6; 4; 2), A₄(–3; 0; 3).

7. A₁(0; 4; –4), A₂(5; 1; –1), A₃(–1; –1; 3), A₄(0; –3; 7).

8. A₁(0; –6; 3), A₂(3; 3; –3), A₃(–3; –5; 2), A₄(–1; –4; 0).

9. A₁(2; –1; –3), A₂(0; 0; 0), A₃(5; –1; –1), A₄(–1; –1; 1).

10. A₁(1; 5; 8), A₂(–2; 1; 4), A₃(3; –2; –3), A₄(1; –1; 0).

4.3. Пример решения контрольной работы

Задание 1. Даны два линейных преобразования:

и

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее z₁, z₂, z₃ через x₁, x₂, x₃.

Решение. Первое преобразование определяется матрицей А, а второе – матрицей В, где

, .

Искомое преобразование является произведением данных преобразований с матрицей

.

Перемножив матрицы В и А, получим матрицу

.

Следовательно, искомое преобразование таково:

Ответ:

Задание 2. Дана система линейных уравнений Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) с помощью обратной матрицы.

Решение. 1) Запишем расширенную матрицу В системы и найдем ранг матрицы В методом Гаусса, приводя к ступенчатому виду.

~~

~.

Так как ранг матрицы равен числу ненулевых строк, то r(B) = 3.

Основная матрица А системы, состоящая из коэффициентов системы имеет вид

.

Рассуждая аналогично, получаем, что r(А) = 3.

Так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, то по теореме Кронекера-Капелли система совместна и имеет единственное решение.

Финальную матрицу В запишем в виде системы

и найдем ее решение. Из последнего уравнения системы следует, что х₃ = –2. Подставляя х₃ = –2 во второе уравнение, найдем –6х₂ + 2 = –4 или –6х₂ = –6 или х₂ = 1. Наконец, подставляя х₂ = 1 и х₃ = –2 в первое уравнение системы, получим х₁ + 5 + 2 = 3 или х₁ = –4.

2) Обозначим

, , .

Вычислим определитель основной матрицы А системы по правилу треугольников

.

Так как | A | ¹ 0, то матрица А невырожденная, и существует обратная матрица.

Вычислим обратную матрицу А^–1 по формуле

,

где А_ij – алгебраическое дополнение элемента а_ij матрицы А.

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Таким образом, получим

.

По формуле Х = А^–1В находим решение системы в матричной форме

.

Используя определение равенства двух матриц, получаем

х₁ = –4, х₂ = 1, х₃ = –2.

Ответ: х₁ = –4, х₂ = 1, х₃ = –2.

Задание 3. Даны вершины А(–1; 0), В(5; 2), С(2; 4) треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение медианы CM, проведенной из вершины С; 3) уравнение высоты СH, проведенной из вершины С; 4) уравнение прямой L, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ; 5) длину высоты СH; 6) величину внутреннего угла А (в радианах). Сделать чертеж.

Решение. Изобразим заданный треугольник в декартовой прямоугольной системе координат (рис. 10).

1) Длину стороны АВ найдем, используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости

.

Подставляя в нее координаты точек А(–1; 0) и В(5; 2), окончательно получим

(ед.).