Решение

1. Определение степени статической неопределимости рамы

 

Рама дважды статически неопределима.

 

2. Выбор основной системы метода сил (рис. 2)

 

Рис. 2

 

- лишние неизвестные – реакции опоры А.

 

Канонические уравнения имеют вид:

 

3. Определение коэффициентов и свободных членов канонических уравнений.

Для вычисления перемещений, входящих в канонические уравнения, необходимо построить для основной системы эпюры изгибающих моментов от сил и , а также от заданной нагрузки (рис. 3а, б, в).

 

а).

 

 

 

б).

 

в).

 

 

Рис. 3

 

Для нахождения перемещений можно воспользоваться «перемножением» эпюр по способу А.Н.Верещагина. Индексы у перемещений показывают, какие эпюры перемножаются.

 

 

 

 

 

 

При вычислении и площади и ординаты берем из одних и тех же эпюр или . Трапециевидную эпюру

на правой стойке разбиваем на два треугольника, каждый из которых при вычислении умножаем на соответствующую ординату трапеции. При вычислении взята вся площадь трапеции из эпюры и умножена на ординату прямоугольной эпюры , равную 6.

При перемножении эпюр следует придерживаться такого правила знаков: если обе эпюры одного знака, т.е. если они отложены с одной и той же стороны стержня, то произведение и соответствующее перемещение считают положительными, если перемножаемые эпюры разных знаков - то отрицательными.

 

 

 

 

При вычислении свободных членов уравнений взята площадь эпюры от заданной нагрузки и отдельные её участки умножены на ординаты эпюр и , расположенные против центра тяжести данного участка эпюры .

4. Проверка правильности определения коэффициентов при неизвестных и свободных членах канонических уравнений.

Построим для основной системы так называемую суммарную единичную эпюру от совместного действия сил и (рис.4)

 

Рис. 4

 

Проверка коэффициентов при неизвестных состоит в том, что результат умножения эпюры на эту же эпюру должен равняться сумме всех коэффициентов при неизвестных.

 

 

 

Таким образом, - универсальная проверка коэффициентов при неизвестных выполняется.

 

Проверку свободных членов уравнений производят путем умножения эпюры на эпюру

 

и путём сложения свободных членов

 

 

 

Таким образом, - универсальная проверка свободных членов уравнений выполняется.

 

5. Решение системы канонических уравнений.

Подставляя полученные и проверенные значения перемещений в уравнения и сокращая на EJ, получим

 

 

 

Решая эту систему уравнений, находим

кН кН

 

6. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов по формуле:

 

 

Эпюры и (рис.6) строим путём умножения соответствующих единичных эпюр и на найденные значения неизвестных.

На заданной раме намечаются расчётные точки (рис.5), в каждой из которых определяется значение М по приведённой формуле.

 

 

Рис. 5

 

 

а).

 

 

б).

 

 

в).

 

Рис. 6

 

 

Данные расчета изгибающего момента сводим в таблицу 1:

 

Таблица 1.

 

№ точ-ки	М1	М2	МP	М
	8,01		-4,5	3,51
	16,02		-18,0	-1,98
	16,02		-18,0	-1,98
	16,02	3,33	-18,0	1,35
	16,02	6,66	-27,0	-4,32
	16,02	6,66	-27,0	-4,32
	8,01	6,66	-9,0	5,67

 

 

Строим для заданной рамы окончательную эпюру изгибающих моментов (рис. 7.).

 

Рис. 7

 

7.Проверка правильности построения эпюры моментов.

Полученную эпюру изгибающих моментов проверяют дважды: статически и кинематически. Статическая проверка состоит в том, что все узлы рамы должны быть уравновешены, т. е. сумма моментов в любом узле равна нулю. Такая проверка необходима, но недостаточна, так как может лишь служить контролем правильности суммирования отдельных эпюр.

Кинематическая проверка состоит в том, что перемещения по направлению лишних неизвестных должны равняться нулю. Условное перемещение по направлению лишних связей получается при умножении эпюры M на эпюру , в результате должен получиться нуль. Площади берем на эпюре М, применяя способ «расслоения» эпюр. Ординаты, расположенные против центра тяжести каждой площади, берутся на эпюре (рис. 8 а, б, в).

 

а). Левая стойка

 

 

 

 

б). Ригель

 

 

 

 

 

 

в). Правая стойка

 

Рис. 8

 

Таким образом универсальная кинематическая проверка эпюр М выполняется.

8) Построение эпюры поперечных сил (по эпюре моментов).

Определение поперечной силы на участках рамы производится по формуле:

+

 

Рассмотрим каждый участок рамы отдельно.

Участок АС (левая стойка) (рис. 9).

 

 

 

 

Рис. 9

 

кН

кН

 

Участок CD (ригель) (рис. 10)

 

Рис.10

 

 

 

 

 

Участок DB (правая стойка) (рис. 11).

 

Рис.11

 

 

Строим эпюру поперечных сил (рис. 12)

Рис.12

 

На левой стойке сечение, в котором изгибающий момент достигает наибольшей величины, определяем исходя из дифференциальной зависимости между нагрузкой и поперечной силой:

 

 

9) Построение эпюры продольных сил (по эпюре поперечных сил). Для построения эпюры продольных сил применим способ вырезания узлов (рис.13).

 

 

 

Рис.13

 

Положительные поперечные силы направляют так, чтобы они вращали узлы по часовой стрелке. Искомые продольные силы направляют от узла, т.е. предварительно принимают растягивающими.

 

Для узла C:

 

 

 

Для узла D:

кН

 

 

Строим эпюру продольных сил (рис. 14).

Рис.14

 

10) Проверка правильности построения эпюр Q и N.

Проверим равновесие рамы в целом. Отбросим все опорные связи рамы, реакции отброшенных связей находим по эпюрам М, Q и N. Кроме реакций в уравнениях равновесия включаем и заданную нагрузку (см. рис. 15).

рис.15

 

(1)

 

 

Погрешность составляет всего:

 

 

 

Допустимой можно считать погрешность до 2%. Все три уравнения равновесия удовлетворяются, следовательно, эпюры построены правильно.