Ось арки очерчена по квадратной параболе отнесенной к началу координат на левой опоре.
Степень статической неопределимости арки
Основную систему получаем, принимая за лишнее неизвестное реакцию распора (рис.26).
Рис.26
Каноническое уравнение метода сил:
Продольными и поперечными силами при определении коэффициентов канонического уравнения пренебрегаем.
Рассмотрим основную систему в двух состояниях: при загружении единичной силой Х1=1 и внешней нагрузкой (рис.27).
Рис.27
Изгибающий момент в основной системе от внешней нагрузки совпадает с моментом однопролётной балки того же пролёта и такой же нагрузки:
Построим балочные эпюры изгибающих моментов и поперечных сил , (рис.27).
При вычислении перемещений и используем интеграл Мора:
Внесём найденные зависимости в интеграл:
и
Произведём замену:
и
Тогда имеем:
и
Полученные интегралы невозможно вычислить точно, поэтому интегрирование заменим суммированием. Разобьём пролёт арки на восемь равных частей м и, используя правило Симпсона, получим следующие выражения для и :
Дальнейший расчёт приведён в таблице 3-5.
Подставив численные значения величин ZX и ZP , получим следующие значения перемещений:
Горизонтальная составляющая опорной реакции
кН
Внутренние силы в двухшарнирной арке находят по формулам:
Эпюры M, Q и N показаны на рис.28.
Таблица 3.
| Номер сече-ния | А | В | |||||||
| x, м | |||||||||
| y, м | 1,75 | 3,0 | 3,75 | 4,0 | 3,75 | 3,0 | 1,75 | ||
| 0,667 | 0,5 | 0,333 | 0,167 | -0,167 | -0,333 | -0,5 | -0,667 | ||
| 0,5544 | 0,4488 | 0,3173 | 0,165 | -0,165 | -0,3173 | -0,4488 | -0,5544 | ||
| 0,832 | 0,8936 | 0,9483 | 0,9863 | 1,0 | 0,9863 | 0,9483 | 0,8936 | 0,832 | |
| 67,5 | 81,0 | 67,5 | 54,0 | 40,5 | 27,0 | 13,5 |
Таблица 4.
| Номер сече-ния | А | В | |||||||
| 31,5 | 13,5 | -4,5 | -4,5 | -4,5 | -4,5 | -4,5 | -4,5 | -4,5 | |
| -17,464 | -6,0588 | 1,428 | 0,752 | -0,752 | -1,428 | -2,02 | -2,495 | ||
| 26,208 | 12,064 | -4,267 | -4,438 | -4,5 | -4,438 | -4,267 | -4,021 | -3,744 | |
| 3,427 | 9,491 | 14,258 | 16,0 | 14,258 | 9,491 | 3,427 | |||
| -132,19 | -256,248 | -256,641 | -216,0 | -153,985 | -85,416 | -26,438 | |||
| 28,07 | 48,12 | 60,15 | 64,16 | 60,15 | 48,12 | 28,07 |
Таблица 5.
| Номер сече-ния | А | В | |||||||
| 8,893 | 7,199 | 5,089 | 2,647 | -2,647 | -5,089 | -7,199 | -8,893 | ||
| 13,345 | 14,333 | 15,211 | 15,82 | 16,04 | 15,82 | 15,211 | 14,333 | 13,345 | |
| 39,43 | 32,88 | 7,35 | -10,16 | -19,65 | -21,12 | -14,57 | |||
| 17,315 | 4,865 | -9,356 | -7,085 | -4,5 | -1,791 | 0,822 | 3,178 | 5,149 | |
| -30,809 | -20,392 | -13,783 | -15,068 | -16,04 | -16,572 | -16,639 | -16,353 | -15,84 | |
| Кин. проверка | -77,219 | -104,018 | -27,945 | 40,64 | 74,711 | 66,814 | 28,533 |
Рис.28
Выполним кинематическую проверку эпюры изгибающих моментов. Суть проверки заключается в том, что перемещение по направлению неизвестного x1 должно равняться нулю.
где М – эпюра изгибающих моментов для статически неопределимой арки;
- эпюра моментов от единичной силы x1 = 1
в основной системе (статически определимой).
Произведём замену: , тогда
Данный интеграл найден по правилу Симпсона:
Результаты расчёта приведены в таб.5, последняя строка (кинематическая проверка).
Погрешность составляет всего
Допустимой можно считать невязку до 2%.