Реферат Курсовая Конспект
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Для студентов всех форм обучения по направлениям 151000.62 «Технологические машины и оборудование» 190600.62 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов» - раздел Философия, Министерство Образования И Науки Российской Федерации ...
|
министерство образования и науки российской федерации
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ СЕРВИСА И ЭКОНОМИКИ
Кафедра «Техническая механика»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Для студентов всех форм обучения по направлениям
151000.62 «Технологические машины и оборудование»
190600.62 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов»
Санкт–Петербург
Г.
Одобрено на заседании кафедры «Техническая механика», протокол № 5 от 27 января 2012 года.
Теоретическая механика. Методические указания к выполнению контрольных работ. СПбГУСЭ, 2012. – 216 с.
Методические указания к выполнению контрольных работ содержат 15 заданий по статике, кинематике и динамике. Каждое задание содержит разделы: цели;базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач; примеры решения задач;задания (30 вариантов);вопросы для самоконтроля (защиты контрольных работ).
Предназначены для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям 151000.62 «Технологические машины и оборудование» и 190600.62 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов». Могут быть использованы для обучения студентов других специальностей.
Cоставитель: к.в.н., доц. В.Н. Шабаев
Рецензент: к.т.н., доцент В.С. Цепелев
Введение……………………………………………………………...5 Глава 1. Статика……………………………………………………...9 |
С-1. Определение усилий в стержнях плоской конструкции……..9 |
С -2. Определение реакций опор балок при действии плоской произвольной системы сил...............................................................24 |
C-3. Определение реакций опор плоской составной конструкции………………………………………………………...37 |
С-4. Определение реакций опор при действии пространственной системы сил…………………………………....47 |
С-5. Определение координат центра тяжести плоских фигур …..62 Глава 2. Кинематика………………………………………………...75 К-6. Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом………………………………..75 К-7.Определение кинематических характеристик поступательного и вращательного движений твердого тела….....88 К-8. .Определение кинематических характеристик плоского механизма…………………………………………………………..102 К-9. Определение скорости и ускорения точки в сложном движении………………………………………………..115 Глава 3. Динамика…………………………………………….…...130 Д-10. Решение второй задачи динамики точки……………….…130 Д-11. Исследование поступательного движения механической системы с применением теоремы о движении центра масс………………………………………….….145 Д-12. Определение динамических характеристик движения механической системы с использованием теоремы об изменении кинетической энергии………………………………...163 Д-13. Исследование движения механической системы с применением общего уравнения динамики……………………...186 Д-14. Исследование движения механической системы с применением уравнений Лагранжа второго рода………...……..200 Литература………………………………………………………....215 |
ВВЕДЕНИЕ
Теоретическая механика–фундаментальная естественно-научная дисциплина, лежащая в основе современной техники. На общих законах теоретической механики и вариационных принципах аналитической механики базируются такие дисциплины как (или разделы дисциплин): «Сопротивление материалов», «Детали машин и основы конструирования», а также большое число специальных инженерных дисциплин.
Изучение теоретической механики способствует формированию системы фундаментальных знаний, позволяющей будущему специалисту научно анализировать проблемы его профессиональной деятельности, использовать на практике приобретенные им базовые знания, самостоятельно, используя современные образовательные и информационные технологии, овладевать той новой информацией, с которой ему придется столкнуться в производственной и научной деятельности.
Цели дисциплины– сформировать у студентов в тесной связи с другими дисциплинами основы инженерных знаний и привить им навыки технического мышления; дать знания основ расчета и проектирования машин и механизмов, основные представления о характере равновесия и движения механических систем; подготовить студентов к практической работе по проведению расчетов при эксплуатации технологических машин и оборудования; развивать логическое и математическое мышление, обеспечивающее обоснованное решение задач по специальности; вырабатывать у студентов навыки на создание конкурентно-способной продукции машиностроения и основанной на применении современных методов и средств проектирования, расчета, математического, физического и компьютерного моделирования.
В результате изучения дисциплины студент должен:
· Знать:
- реакции связей, условия равновесия плоской и пространственной систем сил, теорию пар сил; кинематические характеристики точки, частные и общие случаи движения точки и твердого тела; дифференциальные уравнения движения точки; общие теоремы динамики, теорию удара (ОК-10);
- область применения законов, теорем и принципов механики для изучения дисциплин профессионального цикла (ПК-1).
· Уметь:
- использовать законы и методы теоретической механики как основы описания и расчетов механизмов транспортных и транспортно-технологических машин и оборудования ОК-10);
- решать типовые задачи по статике, кинематике, динамике, прилагать полученные знания для решения соответствующих конкретных задач техники (ПК-1);
- составлять математические модели путем написания уравнений равновесия тела, механической системы или уравнений движения материальных объектов (ПК-2).
· Владеть навыками:
- элементами расчета теоретических схем механизмов транспортных и транспортно-технологических машин и оборудования (ОК-1);
- самостоятельно строить и исследовать математические и механические модели технических систем (ПК-2);
- применения аналитических и численных методов исследования, использования возможностей современных компьютеров и информационных технологий (ПК-18).
Контрольные работы выполняются по трём разделам теоретической механики в соответствии с указаниями преподавателя. Номер варианта задачи выбирается в соответствии с порядковым номером студента в учебном журнале (журнале преподавателя).
Прежде чем приступить к решению задачи необходимо:
1. Изучить теоретический материал по теме задания;
2. Ознакомиться с указаниями по выполнению задания;
3. Рассмотреть решение типовой задачи, предложенной в методических указаниях;
4. Уяснить содержание задачи, проанализировать её и найти наилучший вариант решения.
Решенные задачи оформляются на бумаге для машинописных работ формата А4 в соответствии с требованиями ЕСКД.
Пример оформления титульного листа приведен ниже.
Чертеж к задаче должен быть выполнен карандашом. Чертеж должен быть наглядным и аккуратным, его размеры должны позволять показать кинематические и силовые характеристики тела или механической системы. Решение задач следует сопровождать пояснениями (на основании каких теорем, свойств, формул решается задача), подробно демонстрировать весь ход расчетов. Формулы и уравнения необходимо нумеровать в пределах одной задачи. Записи вести только на лицевой стороне листа. Расчеты проводить с соблюдением правил приближенных вычислений. Результаты вычислений рекомендуется заносить в таблицу ответов.
Выполненная и исправленная после проверки преподавателем работа подлежит защите. Во время защиты контрольной работы студент должен:
- показать знание теоретического материала по данному разделу;
- объяснить и обосновать решение задачи;
- уметь решать короткие задачи по теме контрольной работы.
Образец титульного листа
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ СЕРВИСА И ЭКОНОМИКИ
Институт сервиса автотранспорта, коммунальной и бытовой техники
Кафедра технической механики
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №___
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Номер зачетной книжки _____
Номер варианта_____
Работу выполнил студент _____группы А.Н.Шигин
Работу проверил доцент В.Н. Шабаев
Санкт-Петербург
Глава 1. СТАТИКА
С-1. Определение усилий в стержнях плоской конструкции
1.1. Цель: отработка навыков решения задач на равновесие
системы сходящихся сил.
Базовые понятия теории и методические
Примеры решения задач
Задача 1.3.1. В шарнире В кронштейна АВС подвешен груз весом Р=100 Н. Определить усилия в стержнях кронштейна, если a = 1100, b=300, g = 400. Стержни прикреплены к стене шарнирно (рис. 1.1, а).
Решение.Аналитический способ. Объектом равновесия следует считать шарнир В, так как он объединяет оба стержня и через него проходит линия действия активной силы (рис. 1.1, б).
Рис. 1.1
Применяя принцип освобождаемости от связей, мысленно отбросим стержни и заменим их действие на шарнир В реакциями, считая при этом все стержни растянутыми (усилия направлены внутрь стержней). Активную силу перенесем вдоль линии действия и приложим в шарнире.
Так как все силы лежат в одной плоскости, то необходимо показать две координатные оси. Систему отсчета изобразим так, чтобы ее начало находилось в точке В, ось х направим горизонтально и влево, а ось y – вертикально и вниз.
К объекту равновесия приложена система сходящихся сил, поэтому для ее равновесия необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил равнялась нулю.
.
Для составления уравнений равновесия необходимо записать два уравнения проекций системы сил. Проекцией силы на какую-либо ось называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы и косинуса угла, который вектор силы образует с положительным направлением оси. Если угол, который сила образует с осью, острый, то проекция имеет знак «+», если тупой – то «–», если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на данную ось равна нулю.
;
.
Определение неизвестных величин. Подставляя в уравнения равновесия значения и , а также используя формулу приведения , запишем:
;
.
Тогда из первого выражения имеем
.
Произведя подстановку значения S1 во второе выражение, определим S2:
или
.
Зная значение , находим :
.
В результате усилие во втором стержне получено со знаком «–», это означает, что стержень 2 не растянут, а сжат. Положительное значение усилия в стержне 1 подтверждает правильность нашего предположения о том, что он растянут.
Графический способ. Изобразив в произвольном масштабе вектор заданной силы , проводим через его начало и конец прямые, параллельные независимым реакциям и , причем не имеет значения, какую прямую провести через начало заданной силы, а какую – через ее конец (рис. 1.2). Точка пересечения линий, параллельных неизвестным реакциям, определяет третью вершину треугольника.
Рис. 1.2
Совершая обход треугольника в направлении заданной силы , показываем реакции стержней. Модули и определяются по теореме синусов.
откуда
В силовом треугольнике получаем истинное направление реакций: направлена так же, как и на расчетной схеме (рис. 1.2, б), то есть стержень 1 растянут, а реакция направлена в противоположную сторону, что означает – стержень 2 сжат.
Задания С-1
Найти усилия в опорных стержнях 1 и 2 аналитическим и графическим способами. Вес груза G=10 кН.
Вопросы для самоконтроля
(защиты контрольной работы)
1. Что называют связью? В чем заключается сущность принципа освобождаемости от связей?
2. Перечислите основные типы опор, для которых линия действия реакция известны.
3. Как направлена реакция опорного шарнира, если твердое тело соединено с опорой с помощью стержня, имеющего на концах шарниры?
4. Как определяется направление равнодействующей системы сходящихся сил при построении силового многоугольника?
5. Каковы условия и каковы уравнения равновесия системы сходящихся сил, расположенных в пространстве и в плоскости?
6. Как формулируется план решения задач статики на равновесие сил?
7. При каком условии три непараллельные силы, приложенные к твердому телу, уравновешиваются?
8. Каково условие равновесия трех параллельных сил, приложенных к твердому телу?
9. Возможно ли равновесие трех сходящихся сил, не лежащих в одной плоскости?
C-2. Определение реакций опор балок при действии
Плоской произвольной системы сил
2.1. Цель: отработка навыков решения задач на равновесие тел под действием произвольной плоской системы сил.
Базовые понятия теории и методические
Примеры решения задач
Задача 2.3.1. Определить реакции RA и RB опор балки, размеры и нагрузки которой показаны на рис.2.5, а.
Рис. 2.5
Решение.1. Составление расчетной схемы. Объект равновесия – балка АС. Задаваемые силы: F = 3 кH, пара сил с M = 4 кH∙м, распределенная нагрузка с интенсивностью q = 1 кН/м, которую заменяем одной сосредоточенной силой Rq = q∙1=1∙3 = 3 кH, приложенной к точке D на расстоянии 1,5 м от края консоли. Применяя принцип освобождаемости от связей, изобразим в точках А и В реакции. На балку действует плоская произвольная система сил, в которой три неизвестных реакции и .Ось х направим вдоль горизонтальной оси балки вправо, а ось у -вертикально вверх.
2. Условия равновесия:
.
3. Составление уравнений равновесия:
, (1)
, (2)
. (3)
4. Определение искомых величин, проверка правильности решения и анализ полученных результатов. Решая систему уравнений (1 – 3), определяем неизвестные реакции
из (1):
кН,
из (3): ,
из (2): кН.
Величина реакции RAх имеет отрицательный знак, значит направлена не так, как показано на рис. 2.5, а в противоположную сторону.
Для проверки правильности решения составим уравнение суммы моментов относительно точки Е.
.
Подставив в это уравнение значения входящих в него величин, получим:
- 0,58 ∙ 1 – 4 + 5,02 ∙ 3 – 3 ∙ 3,5 = 0.
Уравнение удовлетворяется тождественно, что подтверждает правильность решения задачи.
Задача 2.3.2. На балку с защемленным концом (рис. 2.6, а) действует распределенная по линейному закону нагрузка интенсивностью q = 0,2 кН/м. Сила F = 10 кH действует под углом α = 45о к оси балки, кроме того, приложена пара сил с моментом М = 4 кH ∙м. Определить реакцию заделки.
а) б)
Рис. 2.6
Задания С-2
Для представленных на схемах 1 – 30 тел определить реакции опор. Приведенные на схемах нагрузки имеют следующие величины: вес груза G = 10 кН, F = 10 кН, момент пары сил М = 20 кНм, интенсивность распределенной силы q = 5 кН/м, а также qтах = 5 кН/м. Размеры указаны в метрах. Весом тела следует пренебречь.
Вопросы для самоконтроля
(защиты контрольной работы)
1. Что такое произвольная плоская система сил?
2. Что называется моментом силы?
3. Как вычисляется момент силы относительно точки на плоскости?
4. Что называется парой сил?
5. Какими свойствами обладают пары сил?
6. Каково число независимых уравнений равновесия для произвольной плоской системы сил?
7. По какому правилу определяется направление реакций связей?
C-3. Определение реакций опор плоской составной
Конструкции
3.1. Цель: отработка навыков решения задач на равновесие
cоставной конструкции при действии плоской произвольной системы сил
Примеры решения задач
Задача 3.3.1. Конструкция состоит из двух невесомых балок, шарнирно соединенных в точке С (рис. 3.1). Балка АС опирается в точке В на шарнирно-неподвижную опору и удерживается на левом конце стержнем. Балка CD опирается правым концом на абсолютно гладкую плоскость, составляющую угол α = 60° с горизонтом. На систему действует пара сил с моментом М = 20 кНм и равномерно распределенная нагрузка с интенсивностью q = 2 кН/м. Определить реакции опор и усилие, передаваемое через шарнир. Геометрические размеры даны в метрах.
Рис. 3.1 Рис. 3.2
Решение. Если рассмотреть равновесие всей конструкции в целом, освободиться от связей и ввести реакции, учитывая, что реакция стержня направлена по стержню, реакция шарнирно-неподвижной опоры имеет неизвестное направление и ее следует разложить на составляющие по осям, а реакция при опирании тела на абсолютно гладкую плоскость перпендикулярна этой плоскости (нормальная реакция), то расчетная схема будет иметь вид, показанный на рис. 3.2.
Здесь распределенная нагрузка заменена сосредоточенной силой
.
Система сил на схеме имеет четыре неизвестных, следовательно, они не могут быть определены из трех уравнений для плоской системы сил.
Рис. 3.3
Для решения задачи расчленим конструкцию на отдельные тела, мысленно разделив ее по шарниру, через который передается усилие неизвестного направления (рис. 3.3).
При направлении составляющих ХC и YC для левой и правой балок учтена аксиома равенства действия и противодействия. Введенные силы:
.
Уравнения для правой части:
∑Xi= 0: - XC– RDsinα = 0;
∑Yi = 0: - YC – Q2 + RD cosα = 0;
∑MDi = 0: YC ∙ 4 + Q2 ∙ 2 = 0;
Отсюда
YC = – 4 кН; RD = 8 кН; XC = – 4кН.
Уравнения для левой части:
∑Xi = 0: XB + XC = 0;
∑Yi= 0: RA+ YB– Q+ YC= 0;
∑MBi= 0: - RA∙ 5 – M– Q1∙ 1 + YC∙ 2 = 0;
Отсюда
ХB = 4кН; RA = – 6,4 кН; YB = 14,4 кН.
Для проверки правильности полученного решения можно составить уравнения равновесия для всей конструкции (рис. 3.2):
Задача 3.3.2. Конструкция состоит из двух тел, соединенных шарнирно в точке С. Тело АС закреплено с помощью заделки, тело ВС имеет шарнирно-подвижную опору (рис. 3.4). На тела системы действуют распределенная по линейному закону сила с максимальной интенсивностью qтах = 2 кН/м, сила F = 4 кН под углом α = 30o и пара сил с моментом М = 3 кНм. Геометрические размеры указаны в метрах. Определить реакции опор и усилие, передаваемое через шарнир. Вес элементов конструкции не учитывать.
Рис. 3.4 Рис. 3.5
Решение. Если рассмотреть равновесие всей конструкции в целом, учитывая, что реакция заделки состоит из силы неизвестного направления и пары, а реакция опоры перпендикулярна опорной поверхности, то расчетная схема будет иметь вид, представленный на рис. 3.5.
Здесь равнодействующая распределенной нагрузки
расположена на расстоянии двух метров (1/3 длины AD) от точки А; МА — неизвестный момент заделки.
В данной системе сил четыре неизвестных реакции (ХА, YA, MA, RB), и их нельзя определить из трех уравнений плоской системы сил.
Поэтому расчленим систему на отдельные тела по шарниру (рис. 3.6).
Рис. 3.6
Силу, приложенную в шарнире, следует при этом учитывать лишь на одном теле (любом из них). Уравнения для тела ВС:
Отсюда ХС = – 1 кН; УС = 0; RB = 1 кН.
Уравнения для тела АС:
Здесь при вычислении момента силы F относительно точки А использована теорема Вариньона: сила F разложена на составляющие Fcos α и Fsin α и определена сумма их моментов.
Из последней системы уравнений находим:
ХА = – 1,54 кН; УА = 2 кН; МА = – 10,8 кНм.
Для проверки полученного решения можно составить суммы проекций и моментов сил для всей конструкции (рис.3.5):
Задания С-3
Для представленных на схемах – 30 составных конструкций найти реакции опор. Размеры указаны в метрах. Весом элементов конструкций пренебречь.
Вопросы для самоконтроля
(защиты контрольной работы)
1. Что такое произвольная плоская система сил?
2. Что называется моментом силы?
3. Как вычисляется момент силы относительно точки на плоскости?
4. Что называется парой сил?
5. Какими свойствами обладают пары сил?
6. Каково число независимых уравнений равновесия для произвольной плоской системы сил?
7. По какому правилу определяется направление реакций связей?
C-4. Определение реакций опор вала при действии пространственной произвольной системы сил
4.1. Цель: отработка навыков решения задач на равновесие вала под действием произвольной пространственной системы сил.
Базовые понятия теории и методические
Примеры решения задач
Задача 4.3.1. Горизонтальный вал весом G = 15 Н может вращаться в цилиндрических шарнирах А и В (рис. 4.3). К шкиву 1 приложено нормальное давление N и касательная сила сопротивления F = 0,1N.
Рис. 4.3
На шкив 2 действуют силы натяжения ремней Тг = 30 Н, Т2 = 57 Н. Груз Q = 18 Н висит на нити, навитой на шкив 3. Определить силу давления N и реакции шарниров в условии равновесия вала. Учесть веса шкивов: Рг = 35 Н, Р2 = 10 Н, Р3 = 15 Н. Все нагрузки действуют в вертикальных плоскостях. Известны радиусы шкивов, R1= 26 см, R2 = 10 см, R3 = 11 см и расстояния между характерными точками вала: а = 22 см, b = 25 см, с = 26 см, d = 26 см. Общая длина вала L = a + b + c + d; α =30°.
Задания С-4
Горизонтальный вал весом G может вращаться в цилиндрических шарнирах А и В. К шкиву 1 приложено нормальное давление N и касательная сила сопротивления F, пропорциональная N. На шкив 2 действуют силы натяжения ремней Т1 и Т2. Груз Q висит на нити, навитой на шкив 3. Определить силу давления N и реакции шарниров в условии равновесия вала (в Н). Учесть веса шкивов P1, P2, Р3. Все нагрузки действуют в вертикальной плоскости. Силы даны в Н, размеры в см.
Вопросы для самоконтроля
(защиты контрольной работы)
1.Что называется моментом силы относительно точки в пространстве?
2. Что называется моментом силы относительно оси?
3. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю?
4. Чему равно число независимых уравнений равновесия для произвольной пространственной системы сил?
5.Напишите условия и уравнения равновесия пространственной произвольной системы сил.
C-5. Определение координат центра тяжести плоских
Фигур
5.1. Цель: отработка навыков решения задач по нахождению площади и координат центра тяжести плоской фигуры.
Примеры решения задач
Задача 5.3.1. Найти площадь и координаты центра тяжести плоской фигуры. Криволинейный участок контура является половиной окружности с центром на оси Ох (рис. 5.9). Размеры на рисунке даны в метрах.
Рис.5.9
Задания С-5
Найти площадь (в м2) и координаты центра тяжести плоской фигуры (в м). Отметки на осях даны в метрах. Криволинейный участок контура является дугой половины или четверти окружности.
Вопросы для самоконтроля
(защиты контрольной работы)
1. Почему система параллельных сил всегда приводится к равнодействующей, если главный вектор и главный момент не равны нулю?
2. Запишите векторную формулу для определения центра параллельных сил.
3. Что называют статическим моментом системы параллельных сил относительно центра?
3. По каким скалярным формулам можно определить центр тяжести тела?
4. Перечислите основные методы определения положения центра тяжести тел.
5. В чем заключается метод симметрии?
6. В чем заключается метод разбиения на части?
7. В чем заключается метод отрицательных площадей?
Глава 3. КИНЕМАТИКА
К–6. Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом
6.1. Цель: отработка навыков составления уравнений движения точки и определение кинематических характеристик движения точки.
Примеры решения задач
Задача 6.3.1. Точка М движется по своей траектории согласно уравнениям
х = t2 см; у = sin πt см.
Определить траекторию точки М, ее скорость и ускорение в момент времени t1 = 1,5 с. Определить касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
Решение. Для определения траектории точки М исключим из уравнений движения время, после чего получим уравнение траектории в виде
Определяем положение точки М в момент времени t1 (рис. 6.2)
Для определения скорости точки М вычисляем первые производные от координат по времени, равные проекциям скорости точки на соответствующие оси координат:
.
Модуль скорости определяем по формуле
.
Вычисляем проекции вектора скорости точки на оси координат и её модуль в момент времени t1
Направление вектора скорости определяем при помощи направляющих косинусов
В момент времени t1 направляющие косинусы вектора скорости
т.е. вектор скорости точки направлен параллельно оси Ох.
Для определения ускорения точки М вычисляем первые производные от проекций скорости или вторые производные от координат по времени, равные проекциям ускорения точки на соответствующие оси координат:
.
Модуль ускорения определяем по формуле
Проводим вычисления для момента времени t1
Направление вектора ускорения определяем при помощи направляющих косинусов
В момент времени t1 направляющие косинусы вектора ускорения
Для определения касательного ускорения точки М учтем, что его можно определить как проекцию вектора полного ускорения на направление касательной к траектории
.
В момент времени t1
м/с2.
Для определения нормальной составляющей вектора полного ускорения воспользуемся формулой
м/с2.
В данной задаче вектор касательного ускорения совпадает с проекцией вектора полного ускорения на ось Ох, а вектор нормального ускорения - с проекцией ускорения на ось Оу.
Радиус кривизны траектории определяем, используя формулу для вычисления нормального ускорения
.
В момент времени t1
м.
Изображаем все найденные величины на рис. 6.2.
Рис. 6.2
Задания К-6
При задании движения точки М координатным способом x = f1 (t) и y = f2 (t)определить: уравнение и вид траектории движения точки М, положение точки М на траектории в расчетный момент времени t1; скорость точки М в любой момент времени t и в расчетный момент времени t1; полное, касательное и нормальное ускорения точки М в любой момент времени t и в расчетный момент времени t1; радиус кривизны траектории движения точки М;
Исходные данные приведены в таблице 6.1: вариант задания; уравнения движения точки М:
x = f1 (t), (см), y = f2 (t), (см);
расчетный момент времени t1, (с) для определения положения точки М на траектории, скорости и ускорения точки.
Таблица6.1
Вариант задания | Уравнения движения точки М | Расчетный момент времени t1, с | |
x = f1 (t), см | y = f2 (t), см | ||
1 | x = 4t | y = 2t - 3t2 | 2 |
2 | x = 1 - 4t2 | y = - 3t | 1 |
3 | x = 2t2 + 4t + 1 | y = 4t | 1 |
4 | x = 6t | y = - 2t2 - 4 | 1 |
5 | x = t2 - 3 | y = 5t | ¼ |
6 | x = t - 5 | y = 6(t + 0,5t2) | 2 |
7 | x = t2 | y = 2t - 1 | 1 |
8 | x = 2 + 3t2 | y = 4 - 3t | 1 |
9 | x = 4t2 + 1 | y = 8t | 1 |
10 | x = 2t2 + 2 | y = - 4t | ½ |
11 | x = 3 - 2t2 | y = - 5t | ½ |
12 | x = 10t - 0,1t2 | y = 5t | 2 |
13 | x = 3t | y = 4t - 5t2 | 2 |
14 | x = 4t2 + 1 | y = 12t - 3 | 2 |
15 | x = 3t | y = 1 + 3t2 | 1 |
16 | x = 3t2 + 5t | y = 5t | 2 |
17 | x = 4 - 2t | y = ( t + 1)2 | 1 |
18 | x = 2t +2 | y = 3t2 - 2 | 1 |
19 | x = 10t | y = 4 + 5t2 | 2 |
20 | x = 2t2 | y = 4t - 1 | ¼ |
21 | x = 5t | y = 4,9t2 – 5 | 1 |
22 | x = 8t | y = 2t2 + 1 | ½ |
23 | x = 1 - 2t2 | y = 3t | 1 |
24 | x = -5t + 4 | y = 2t2 | 1 |
25 | x = 2 + sin (p /3)t | y = 1 + 3cos (p/3)t | ½ |
26 | x = 2 + 3cos (p t) | y = 3sin (p t) | ½ |
27 | x = 4 sin (p /2)t | y = 3cos (p/2)t | 1 |
28 | x = 8 cos (p /6)t | y = 8sin (p/6)t | 1 |
29 | x = 4 cos (p /3)t | y = - 3sin (p/3)t | 1 |
30 | x = 3 - 6 sin (p /6)t | y = 4 - 9cos (p/6)tt | 1 |
Вопросы для самоконтроля
(защиты контрольной работы)
1. Что изучает кинематика?
2. Какие задачи решает кинематика?
3. Что называется траекторией точки?
4. Какие существуют способы задания движения точки?
5. Как определить траекторию при векторном способе задания движения точки?
6. В чем заключается естественный способ задания движения?
7. В чем заключается координатный способ задания движения?
8. Как определить траекторию при координатном способе задания движения точки?
9. Как определить скорость точки при разных способах задания движения?
10. Как определить ускорение при векторном способе задания движения?
11. Как определить ускорение при координатном способе задания движения?
12. Как определить ускорение при естественном способе задания движения?
13. Что характеризует касательное ускорение?
14. Что характеризует нормальное ускорение?
15. Какие ускорения имеет точка, двигаясь равномерно по криволинейной траектории?
16. Какие ускорения имеет точка при неравномерном и прямолинейном движении?
17. Какие ускорения имеет точка при криволинейном и неравномерном движении?
К–7. Определение кинематических характеристик поступательного и вращательного движений твердого тела
7.1. Цель: отработка навыков решения задач по определению кинематических характеристик поступательного и вращательного движений твердого тела.
Примеры решения задач
Задача 7.3.1. Лебедка (рис. 7.1), поднимающая груз по наклонной плоскости, состоит из двух валов с шестернями (зубчатыми колесами), числа зубьев которых равны соответственно z1 = 12 и z2= 48. К валу 2 прикреплен барабан радиусом r= 0,3 м, на который наматывается грузовой трос. Вал 1 вращается равноускоренно с угловым ускорением ε1 = 8 с–2. Определить скорость, ускорение и перемещение груза, а также ускорение точки В барабана в момент времени t = 1 с. В начальный момент времени система находилась в покое.
Решение. Найдем угловую скорость ω1 ведущего вала 1 из условия, что оно вращается с угловым ускорением ε1 = const, учитывая, что . Интегрируя последнее уравнение по времени, получаем .
Постоянную интегрирования получаем из начального условия: при t= 0 ω1 = 0 (система находилась в покое), следовательно C1 = 0.
Рис. 7.1
Итак, угловая скорость вала 1 определяется уравнением
При t = 1с получаем .
Шестерни 1 и 2 взаимодействуют без проскальзывания. Поэтому скорости точек их касания (точка А) будут одинаковы: .
Отсюда находим угловую скорость ω2 вала 2, учитывая, что :
.
Угловое ускорение вала 2 равно .
Поскольку трос нерастяжим и относительно барабана не проскальзывает, то скорость груза v будет равна скорости любой из точек на ободе барабана, в частности, скорости точки В: v = vB = ω2r = 0,6t=|t=1 c =0,6 м/с.
Ускорение точки В равно векторной сумме вращательного и центростремительного ускорений: .
Направление вращательного ускорения определяется направлением углового ускорения ε2, а его модуль равен м/с2. Центростремительное ускорение направлено к оси вращения вала 2 и равно по модулю м/с2.
Модуль ускорения точки В
м/с2.
Ускорение груза можно найти, взяв производную по времени от его скорости, так как это касательное ускорение: м/с2.
Перемещение груза определяется интегрированием модуля скорости по времени:
м.
Задача 7.3.2. Маховик радиусом R = 0,5 м вращается так, что его угловая скорость меняется в соответствии с уравнением . Для момента времени t = 0,5 с после начала движения определить скорость и ускорение точки на ободе маховика. Установить, за какое время маховик сделает 100 полных оборотов (рис.7.2).
Рис. 7.2
Решение. Для момента времени t = 0,5 с получаем ω = 0,680 с–1, и скорость точки на ободе маховика равна v = ωR = 0,340 м/с.
Угловое ускорение маховика
.
Ускорение точки на ободе маховика равно сумме двух составляющих ускорений: где — касательное (вращательное) и нормальное (центростремительное) ускорения точки.
Учитывая, что вращательное ускорение равно по модулю , найдем = 0,680 м/с2; центростремительное ускорение . Модуль полного ускорения точки
м/с.
Направления скорости и ускорений показаны на рис. 7.2.
Поскольку значения величин угловой скорости и углового ускорения имеют одинаковые знаки, вращение тела ускоренное. Соответственно, совпадают по направлению угловая скорость и угловое ускорение тела, а также скорость точки и вращательное ускорение.
Поворот маховика на 100 полных оборотов соответствует углу его поворота φ = 200π рад. Выражение для угла поворота найдем из уравнения .
Имеем
.
Итак, , откуда находим t = 2,19 с.
7.4.Задания К–2
При задании уравнения движения x = f (t) груза (тела 1) и радиусам шкивов (тело 2 (R2, r2) и тело 3 (R3, r3)) определить: скорость и ускорение груза (тела 1) в любой момент времени t и в расчетный момент времени t1; скорость и ускорение точки М, принадлежащей телу 3, в любой момент времени t и в расчетный момент времени t1.
Исходные данные приведены в таблице 7.1: вариант задания; радиусы шкивов: тело 2 (R2 (см), r2 (см)) и тело 3 (R3 (см), r3 (см)); уравнения движения груза (тело 1) : x = f (t), (см); расчетный момент времени t1(с) для определения скорости и ускорения груза (тела 1) в момент времени t1, скорости и ускорения точки М, принадлежащей телу 3, в расчетный момент времени t1.
Таблица 7.1
Вариант задания | Радиусы шкивов | Уравнения движения груза (тела 1) | Расчетный момент времени t1, с | |||
тело 2 | тело 3 | x = f1 (t), см | ||||
R2 см | r2 см | R3 см | r3 см | |||
- | y = 15t2 +12t + 2 | |||||
- | y = 4t2 +10t + 5 | |||||
- | y = 0,5t2 +6t + 5 | |||||
- | y = 9,5t2 +4t + 4 | |||||
- | y = 6t2 +15t + 3 | |||||
- | y = 6t2 +5t + 8 | |||||
- | y = 11t2 +2t + 6 | |||||
- | y = 6t2 +7t + 10 | |||||
- | y = 7t2 +3t + 5 | |||||
- | y = 10t2 +8t + 9 | |||||
- | y = 16t2 +10t + 5 | |||||
- | y = 22t2 +7 | |||||
- | y = 17t2 +3t + 6 | |||||
- | y = 13t2 +5t + 6 | |||||
- | y = 11t2 +2t + 5 | |||||
- | y = 12t2 +6t + 4 | |||||
- | y = 7t2 +4t + 8 | |||||
- | y = 10t2 +12t + 3 | |||||
- | y = 18t2 +10t + 5 | |||||
- | y = 27t2 +8t + 10 | |||||
y = 13t2 +5t + 6 | ||||||
- | y = 21t2 +6t + 7 | |||||
y = 18t2 +9t + 5 | ||||||
y = 4t2 +8t + 9 | ||||||
- | y = 11t2 +4t + 8 | |||||
y = 50t2 +14t + 6 | ||||||
y = 42t2 +10t + 5 | ||||||
y = 36t2 +5t + 8 | ||||||
- | y = 4t2 +6t + 4 | |||||
y = 16t2 +5t + 6 |
Вопросы для самоконтроля
(защиты контрольной работы)
1. Перечислите основные виды движений твердого тела.
2. Какое движение твердого тела называется поступательным и какими свойствами оно обладает?
3. Какое движение твердого тела называется вращением вокруг неподвижной оси и как оно осуществляется?
4. По каким формулам определяются модули угловой скорости и углового ускорения вращающегося твердого тела?
5. Как направлены векторы угловой скорости и углового ускорения при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси?
6. При каких условиях ускорение точки вращающегося тела составляет с отрезком , соединяющим точку с центром описываемой ею окружности, углы 0, 45, 900?
7. Ускорения каких точек вращающегося тела:
а) равны по модулю,
б) совпадают по направлению,
в) равны по модулю и совпадают по направлению?
8). Каковы векторные выражения вращательной скорости, вращательного и центростремительного ускорений?
9). Что представляет собой передаточное число передачи и как определяется передаточное число сложной передачи?
К–8. Определение кинематических характеристик плоского механизма
8.1. Цель: отработка навыков решения задач по определению кинематических характеристик плоского движения твердого тела.
Примеры решения задач
Задача 8.3.1. Колесо радиуса r = 1 м катится без скольжения ускоренно по прямолинейному рельсу, имея в данный момент времени скорость центра vo =1 м/с и ускорение центра aо— 1 м/с2 (рис. 8.5). Определить угловую скорость и угловое ускорение колеса, скорости и ускорения точек его обода М1, М2, М3 и М4, а также установить положение МЦС и МЦУ колеса.
Рис.8.5 Рис. 8.6
Решение.
I. Определение скоростей. У колеса, катящегося без скольжения по неподвижной поверхности, МЦС (точка Р) находится в точке касания с этой поверхностью (рис. 8.6). В данном случае это точка M1 (М1 = Р): .
Скорости точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям от этих точек до МЦС: , где ω — угловая скорость тела. Применяем эту формулу к точке О: vo =ω|ОР| = ωr, откуда ω = vo/r = 1 с–1.
Для точек М2 и М3 расстояния до точки Р одинаковы, поэтому одинаковы и модули скоростей этих точек:
м/с.
Скорость точки М3 м/с. Направления скоростей перпендикулярны отрезкам, соединяющим точки с МЦС.
Для вычисления скоростей можно было использовать также и теорему о сложении скоростей, выбрав в качестве полюса центр колеса: , где vMO = ω|МО|. Скорость перпендикулярна отрезку МО и направлена по ходу вращения.
Можно было также пользоваться и следствием из этой теоремы о равенстве проекций скоростей точек на ось, проходящую через эти точки.
2. Определение ускорений. Вычислим сначала угловое ускорение колеса, формально дифференцируя выражение угловой скорости
.
В данном случае использован тот факт, что движение центра колеса прямолинейное и, следовательно, касательное ускорение точки совпадает с полным ускорением.
Для вычисления ускорений точек колеса применим теорему о сложении ускорений: , выбрав в качестве полюса центр колеса. Вращательное ускорение точки относительно полюса и направлено перпендикулярно отрезку МО по ходу углового ускорения а центростремительное всегда направлено от точки к полюсу.
Тогда для точек М1, М2, М3 и М4 получим , . Направления их показаны на рис. 8.7.
Рис. 8.7 Рис. 8.8
Складывая в каждой точке три вектора, модули которых равны по 1 м/с2, получаем м/с2, м/с2.
3. Определение положения МЦУ. Найти положение МЦУ (точки Q, ускорение которой равно нулю) можно на основании известных положений:
а) все ускорения составляют один и тот же угол β с направлениями из этих точек на МЦУ:
.
В данном случае tg β = 1 и β = 45°. Повернув каждое ускорение на угол β по ходу углового ускорения, мы на пересечении лучей и получим точку Q (рис. 8.8). Итак, МЦУ колеса при принятых исходных данных оказывается на середине отрезка М1M4;
б) ускорения точек пропорциональны расстояниям от этих точек до МЦУ:
.
В силу одинаковости расстояний до МЦУ в данном случае оказываются равны между собой модули ускорений , а также . Из всех точек колеса самое большое ускорение будет иметь точка D (рис.8.8):
.
Задача 8.3.2. Кривошип OA длиной 0,2 м вращается равномерно с угловой скоростью ωOA = 10 с–1 и приводит в движение шатун АВ длиной 1 м. Ползун В движется по вертикали. Найти угловую скорость и угловое ускорение шатуна, а также скорость и ускорение ползуна в момент, когда кривошип и шатун взаимно перпендикулярны и образуют с вертикалью угол 45° (рис. 8.9).
Решение.
1. Определение скоростей. Вычислим скорость точки А как точки вращающегося кривошипа:
.
Она направлена перпендикулярно ОА (рис. 8.10).
Рис. 8.9 Рис. 8.10 Рис. 8.11
Скорость vB ползуна направлена по направляющей вертикально.
Для шатуна АВ, совершающего плоское движение, теперь известны направления скоростей двух его точек: А и В. Восставляя перпендикуляры к векторам этих скоростей, находим точку Р их пересечения — МЦС шатуна.
Используя известную формулу для скоростей точек при плоском движении, получаем ; .
Из треугольника АВР имеем |АР| = 1 м; |ВР| = м, и тогда
.
2. Определение ускорений. Вычислим сначала ускорение точки А как точки кривошипа: .
Здесь вращательное ускорение , так как , поскольку .
Тогда полное ускорение точки А равно центростремительному
и направлено к оси вращения — точке О (рис. 8.11).
Для вычисления ускорения точки В воспользуемся теоремой о сложении ускорений, взяв точку А в качестве полюса:
. (*)
Центростремительное ускорение точки В в относительном вращении вокруг точки А по модулю равно , и направлено от точки В к полюсу — точке А.
Модуль вращательного ускорения определяется по формуле и пока не может быть вычислен, поскольку неизвестна величина углового ускорения . Направление вектора также не может быть определено однозначно, так как неизвестно направление углового ускорения, т. е. неизвестно, ускоренным или замедленным является поворот шатуна. Примем пока этот поворот ускоренным, тогда направление совпадет с направлением , а вектор направим перпендикулярно отрезку ВА по ходу углового ускорения.
Вектор ускорения точки В направлен по вертикальной прямолинейной направляющей. Будем пока считать движение ползуна ускоренным и направим ускорение в ту же сторону, что и скорость (рис. 8.10, 8.11).
Теперь в равенстве (*) все ускорения имеют определенное направление, и мы можем записать это уравнение в проекциях на выбранные оси:
.
Из последнего уравнения получаем , тогда из первого уравнения
.
Отсюда следует, что
.
Отрицательные знаки у величин и показывают, что их истинные направления противоположны принятым.
Задания К-8
Для представленных на схемах 1— 30 механизмов, состоящих из шатуна АВ длиной 2 м и двух ползунов, по заданным величинам скорости и ускорения ползуна А определить скорость и ускорение ползуна В и средней точки С шатуна, а также угловую скорость и угловое ускорение шатуна.
Вопросы для самоконтроля
(защиты контрольной работы)
1. Какое движение твердого тела называется плоским?
2. Из каких движений состоит плоское движение твердого тела и какое движение зависит от выбора полюса?
3. Запишите уравнения плоского движения твердого тела.
4. Как определить скорость любой точки плоской фигуры?
5. Как определить вращательную скорость точки плоской фигуры относительно полюса?
6. Что называется мгновенным центром скоростей?
7. Как определить мгновенный центр скоростей?
8. Как определить скорость любой точки плоской фигуры, если известен мгновенный центр скоростей?
9. Как определить ускорение любой точки плоской фигуры?
10. Какая точка называется мгновенным центром ускорений?
К–9. Определение скорости и ускорения точки в сложном движении
9.1. Цель: отработка навыков определения скоростей и ускорений точек при сложном движении.
Примеры решения задач
Задача 9.3.1. Тело D движется поступательно вдоль оси х так, что координата некоторой его точки меняется как xD = t3 + t2, м (рис. 9.1).
По желобу ОА, который представляет собой дугу окружности радиуса R = 20 м тела движется точка М так, что длина дуги |ОМ| = s = 5πt, м. Для момента времени t = 1 с определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.
Решение.
1. Определение . Согласно теореме о сложении скоростей, абсолютная скорость равна векторной сумме относительной и переносной скоростей: .
Относительную скорость точки (скорость по отношению к телу D) находим, вычисляя ее алгебраическое значение как производную от дуговой координаты по времени: , и при t = 1с получаем .
Чтобы определить направление этой скорости, следует установить, где находится точка М в данный момент времени.
Вычисляя длину дуги |OM|t=1c= 5π м, определяем значение угла α: — точка М находится в середине дуги ОА (рис.9.2).
Рис. 9.1 Рис. 9.2
Скорость точки направляем по касательной к ее траектории (окружности) в сторону увеличения длины дуги, так как алгебраическое значение скорости положительно.
Переносной скоростью по определению будет скорость той точки тела D, с которой в данный момент времени совпадает точка М.
В имеющемся случае поступательного движения тела скорости всех его точек одинаковы (это скорость тела D), и тогда, поскольку движение прямолинейное, переносную скорость можно найти как производную от координаты:
,
и при t=1 с получаем =5 м/с. Направлена она по оси х, так как vex > 0.
Складывать векторы и удобнее всего с помощью проекций. Проецируя равенство на оси (рис. 9.2), получаем
и окончательно
.
2. Определение . Согласно теореме Кориолиса, абсолютное ускорение равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:
.
В данном случае кориолисова ускорения не будет, так как переносное движение поступательное и его угловая скорость ωе = 0.
Относительное ускорение в общем случае будет складываться из вращательного и центростремительного: .
Вращательное относительное ускорение вычисляем через производную от алгебраического значения скорости: м/с и .
Ускорение направлено туда же, куда и скорость так как знаки их алгебраических значений совпадают (ускоренное движение).
Центростремительное относительное ускорение находим через скорость и радиус кривизны траектории:
.
Оно направлено к центру окружности желоба (рис. 9.3).
Рис. 9.3
Переносное ускорение (поскольку движение тела D поступательное и прямолинейное) ищем, дифференцируя найденную ранее переносную скорость
,
и при t = 1 с имеем ае = 8 м/с2. Это ускорение совпадает по направлению с . Проецируя на оси уравнение , получим проекции вектора абсолютного ускорения:
И окончательно:
Задача 9.3.2. Тело D вращается в плоскости рисунка (рис. 9.4) вокруг оси Ох так, что его угол поворота равен
рад.
Рис. 9.4 Рис. 9.5
По желобу тела ОА движется точка М так, что алгебраическое значение длины дуги равно
ОМ =s = (25πt2 – 5πt) см.
Желоб является окружностью радиусом R = 20 см, расстояние |OA| = b = 10 см. Для момента времени t = 1 с определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.
Решение.
1. Определение . По теореме о сложении скоростей имеем .
Относительную скорость точки (скорость по отношению к телу D) находим, вычисляя ее алгебраическое значение как производную от дуговой координаты по времени: и .
Чтобы найти ее направление, установим, где находится точка М. При t = 1 с, получив ОМ = 20π см, устанавливаем, что длина дуги составляет половину длины окружности, то есть точка М находится в точке А желоба (рис. 9.5).
Скорость точки направляем по касательной к ее траектории (окружности) в сторону увеличения длины дуги, так как алгебраическое значение скорости положительно.
Переносной скоростью по определению будет скорость той точки вращающегося тела D, с которой совпадает точка М, то есть скорость точки А:
,
где алгебраическое значение угловой скорости переносного движения равно
.
Таким образом, при t = 1 с получаем и ve = 0,40 м/с. Алгебраическое значение угловой скорости положительно, следовательно, вращение происходит по направлению угла поворота. Переносная скорость направлена перпендикулярно отрезку О1А по ходу вращения.
Поскольку векторы и направлены противоположно, то модуль абсолютной скорости равен va = vr – ve ≈ 1,01 м/с.
2.Определение.По теореме Кориолиса
или
. (*)
Вычислим и покажем на рисунке все пять ускорений (рис.9.6).
Относительное ускорение вычисляем через его алгебраическое значение: см/с2≈ 1,57 м/с2.
Ускорение направлено туда же, куда и скорость , так как знаки их алгебраических значений совпадают (ускоренное движение): . Относительное центростремительное ускорение направлено к центру желоба и равно его модулю
м/с2.
Рис. 9.6
Переносное ускорение в данном случае — это ускорение точки А тела D.
Так как алгебраическое значение углового ускорения равно его модулю
,
то переносное вращательное ускорение получается
м/с2.
Оно направлено перпендикулярно О1A по ходу углового ускорения, и поскольку алгебраические значения угловой скорости и углового ускорения совпадают по знаку (ускоренное вращение), следовательно, совпадает с .
Переносное центростремительное ускорение направлено к оси О1 и равно
м/с2.
Кориолисово ускорение , и его модуль равен
.
Так как вектор угловой скорости тела лежит на оси вращения, то в данном случае он перпендикулярен плоскости чертежа и угол между ним и вектором относительной скорости равен 90°. Тогда .
Направление кориолисова ускорения может быть найдено или по общему правилу для векторного произведения, или по правилу Жуковского. В нашем случае достаточно повернуть скорость на 90° по ходу вращения тела.
Сложение векторов произведем с помощью проекций. Спроецировав равенство (*) на оси, получим
и окончательно
.
Задания К-9
В приведенных ниже схемах 1— 30 рассматривается движение точки М в желобе вращающегося тела. По заданным в таблице уравнениям относительного движения OM(t), переносного движения φ(t) и геометрическим размерам определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки в указанный момент времени.
Таблица 9.1
Вопросы для самоконтроля
(защиты контрольной работы)
1. Какое движение точки называют сложным?
2. Какое движение точки называют абсолютным?
3. Какое движение точки называют относительным?
4. Какое движение точки называют переносным?
5. Сформулируйте и запишите теорему о сложении скоростей.
6. Сформулируйте и запишите теорему о сложении ускорений.
7. Что характеризует ускорение Кориолиса?
8. Как определить модуль вектора ускорения Кориолиса?
9. Сформулируйте правило Жуковского.
10. В каких случаях ускорение Кориолиса равно нулю?
11. Запишите теорему о сложении ускорений в случае поступательного переносного движения.
Глава 3. ДИНАМИКА
Д–10. Решение второй задачи динамики точки
10.1. Цель: приобретение практических навыков составления и интегрирования дифференциальных уравнений движения материальной точки.
Вторая (обратная) задача.
Зная действующие на точку силы, ее массу и начальные условия движения, определить закон движения точки или какие-либо другие ее кинематические характеристики.
Начальные условия движения точки в декартовых осях — это координаты точки и проекции начальной скорости на эти оси в момент времени, соответствующий началу движения точки и принимаемый обычно равным нулю.
Решение задач этого типа сводится к составлению дифференциальных уравнений (или одного уравнения) движения материальной точки и их последующему решению путем непосредственного интегрирования или с использованием теории дифференциальных уравнений.
Вторую задачу динамики рекомендуется решать в следующем порядке:
1. Выбрать систему координат.
2. Изобразить на расчётной схеме материальную точку в произвольном положении и действующие на неё силы, включая реакции связей (при несвободном движении точки).
3. Составить дифференциальные уравнения движения точки.
4. Записать начальные условия движения.
5. Построить общее решение дифференциальных уравнений движения.
6. Определить постоянные интегрирования по начальным условиям.
7. Подставив постоянные интегрирования в общее решение, определить закон движения точки.
При свободном движении материальной точки удобно пользоваться прямоугольной декартовой системой координат.
При криволинейном движении несвободной материальной точки удобно составлять проекции дифференциальных уравнений на естественные оси.
Примеры решения задач
Задача 10.3.1. Груз 3 массы т поднимается по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол , при помощи лебедки, состоящей из пары зубчатых колес 7, 2 и барабана радиуса r2 (рис. 10.1). Колесо 1 приводится во вращение электромотором. Барабан жестко скреплен с колесом 2. Определить натяжение троса, пренебрегая его деформацией, если колесо 1 вращается с угловым ускорением . Радиусы колес R1 и R2. Коэффициент трения груза о плоскость равен f. Массой троса пренебречь.
Рис. 10.1
Решение. Определим ускорение груза. Поскольку деформацией троса пренебрегаем, то
,
где - угловое ускорение барабана.
Однако
,
поэтому
. (10.8)
Полагая груз материальной точкой, освободим его от связей, заменив их действие силами реакции. Изобразим силы, действующие m груз (рис. 10.2): силу тяжести , реакцию троса , нормальную реакцию плоскости и силу трения .
Составим дифференциальные уравнения движения груза в проекциях на оси координат:
(10.9)
Из первого уравнения . Следовательно,
.
Рис. 10.2
Из второго уравнения системы (10.9)
.
Подставляя сюда значение силы трения и учитывая, что (10.8), получаем
.
Натяжение троса численно равно реакции S.
Задача 10.3.2.В железнодорожных скальных выемках для защиты кюветов от попадания в них с откосов каменных осыпей устраивается «полка» DC. Учитывая возможность движения камня из наивысшей точки А откоса и полагая при этом его начальную скорость , определить наименьшую ширину полки b и скорость , с которой камень падает на нее. По участку АВ откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l, камень движется τ с. Коэффициент трения скольжения f камня на участке АВ считать постоянным, а сопротивлением воздуха пренебречь.
Дано: . Определить b и (рис. 10.3).
Рис. 10.3
Решение. Задачу разделим на два этапа. Первый – движение камня на участке АВ, второй – движение камня от точки В до С.
Первый этап. 1. Составление расчетной схемы. Ось проводим по направлению движения камня, ось - перпендикулярно к оси . Камень принимаем за материальную точку и показываем ее в текущем положении, изображаем действующие на камень (точку) силы: вес , нормальную реакцию и силу трения скольжения (рис. 10.4).
2.Выявление начальных условий.
При .
Рис. 10.4
3.Составление дифференциальных уравнений движения точки. Так как точка (камень) движется прямолинейно, то при направлении оси х вдоль траектории получим одно дифференциальное уравнение движения
;
сила трения
,
тогда
;
;
.
4.Интегрирование дифференциальных уравнений движения. Интегрируя дифференциальное уравнение дважды, получаем:
;
;
;
;
;
;
.
5.Определение постоянных интегрирования. Подставим начальные условия, т.е. в уравнения:
;
;
.
6.Нахождение неизвестных величин и исследование полученных результатов. После подстановки постоянных интегрирования С1 и С2 получаем уравнение скорости и уравнение движения:
;
.
Для момента времени τ, когда камень покидает участок АВ,
,
т.е.
;
.
Умножим первое уравнение на τ/2, после этого разделим его на второе. В результате получим:
; ;
.
Второй этап. Движение камня от точки В до точки С.
1.Составление расчетной схемы. Координатные оси покажем так, как это удобно для решения задачи, в нашем случае ось х параллельна горизонтали и проходит через точку В, ось у направляем вниз через точку В. Камень принимаем за материальную точку, показываем ее в текущем положении, изображаем действующую на камень силу тяжести (рис. 10.4).
2. Выявление начальных условий движения. При :
.
3.Составление дифференциальных уравнений движения. Так как движение точки происходит в плоскости ху, то число уравнений движения равно двум:
.
4.Интегрирование дифференциальных уравнений движения. Интегрируем дифференциальные уравнения дважды:
(a)
; (б)
(в)
. (г)
5. Определение постоянных интегрирования. Подставляем начальные условия: в уравнения (а – г):
,
откуда
.
6.Нахождение искомых величин и исследование полученных результатов. После подстановки постоянных интегрирования в уравнения (а –г) получаем следующие уравнения проекций скорости камня:
и уравнения его движения
.
Уравнение траектории камня найдем, исключив параметр t из уравнений движения:
;
– уравнение параболы.
В момент падения . Определим d из уравнения траектории:
; ;
.
Так как траекторией движения камня является ветвь параболы с положительными абсциссами ее точек, то d=2,11 м.
Минимальная ширина полки
.
Используя уравнение движения камня , найдем время Т движения камня от точки В до точки С
.
Скорость камня при падении найдем через проекции скорости на оси координат:
по формуле
.
Для момента падения t=T=0,53 c
.
Скорость камня при падении равна 12,8 м/с.
Задания Д-10
Варианты 1—5 (рис. 10.5). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом, в течение т.е.. Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f.
В точке B тело покидает плоскость со скоростью и попадает со скоростью в точку С плоскости BD, наклоненной под углом к горизонту, находясь в воздухе T с.
При решении задачи тело принять за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.
Вариант 1. Дано: = 30°; = 0; f = 0,2; l = 10 м; = 60°. Определить и h.
Вариант 2. Дано: = 15°; = 2 м/с; f = 0,2; h = 4 м; = 45°. Определить l и уравнение траектории точки на участке ВС.
Вариант 3. Дано: = 30°; = 3,5 м/с; f ; l = 4 м; d = 10 м; = 60°. Определить и .
Вариант 4. Дано: = 0; = 2 с; l = 9,8 м; = 60°; f = 0. Определить и T.
Вариант 5. Дано: = 30°; = 0; l = 9,8 м; = 3 с; = 45°. Определить и .
Варианты 6—10 (рис. 10.6). Лыжник подходит к точке А участка трамплина АВ, наклоненного под углом к горизонту и имеющего длину l, со скоростью . Коэффициент трения скольжения лыж на участке АВ равен f. Лыжник от A до В движется с; в точке В со скоростью он покидает трамплин. Через Т с лыжник приземляется со скоростью в точке С горы, составляющей угол с горизонтом.
При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.
Вариант 6. Дано: = 20°; = 0,1; = 0,2 с; h = 40 м; = 30°. Определить l и .
Вариант 7. Дано": = 15°; = 0,1; = 16 м/с; l = 5 м; = 45°. Определить и T. .
Вариант 8. Дано: = 21 м/с; = 0; = 0,3 с; = 20 м/с; = 60°. Определить и d.
Вариант 9. Дано: = 15°; = 0,3 с; = 0,1; h = м; = 45°. Определить и .
Вариант 10. Дано: = 15°; = 0; - 12 м/с; d = 50 м; = 60°. Определить и уравнение траектории лыжника на участке ВС.
Варианты 11—15 (рис. 10.7). Имея в точке А скорость , мотоцикл поднимается т с по участку АВ длиной l, составляющему с горизонтом угол . При постоянной на всем участке АВ движущей силе Р мотоцикл в точке В приобретает скорость и перелетает через ров шириной d, находясь в воздухе Т с и приземляясь в точке С со скоростью . Масса мотоцикла с мотоциклистом равна m.
При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом материальной точкой и не учитывать силы сопротивления движению.
Вариант 11. Дано: = 30°; ; l = 40 м; = 0; = 4,5 м/с; d = 3 м. Определить и h.
Вариант 12. Дано: = 30°; P = 0; l = 40 м; = 4,5 м/с; h = 1,5 м. Определить и d.
Вариант 13. Дано: = 30°; m = 400 кг, = 0; = 20 с; d = 3 м; h = 1,5 м. Определить Р и l.
Вариант 14. Дано: = 30°; m = 400 кг, Р = 2,2 кН; = 0; l = 40 м; d = 5 м. Определить и .
Вариант 15. Дано: = 30°; = 0; Р = 2 кН; l = 50 м; h = 2 м; d = 4 м. Определить T и m.
Варианты 16—20 (рис. 10.8). Камень скользит в течение с по участку АВ откоса, составляющему угол с горизонтом и имеющему длину l. Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения камня по откосу равен f. Имея в точке В скорость , камень через T с ударяется в точке С о вертикальную защитную стену. При решении задачи принять камень за материальную точку, сопротивление воздуха не учитывать.
Вариант 16. Дано: = 30°; = 1 м/с; l = З м; f = 0,2; d = 2,5 м. Определить h и Т.
Вариант 17. Дано: = 45°; l = 6 м; = 2; = 1 с; h = 6 м. Определить d и f.
Вариант 18. Дано: = 30°; l = 2 м; = 0; f = 0,1; d = 3 м. Определить h и .
Вариант 19. Дано: = 15°; l = 3 м; = 3 м/с; ; = 1,5 с; d = 2 м. Определить и h.
Рис. 10.5 Рис. 10.6
Рис. 10.7 Рис. 10.8
Рис. 10.9 Рис. 10.10
Рис. 2.4.1
Вариант 20. Дано: = 45°; =0; f = 0,3; d = 2 м; h = 4 м. Определить l и .
Варианты 21—25 (рис. 10.9). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения равен f. Через с тело в точке В со скоростью покидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку С со скоростью ; при этом оно находится в воздухе T с.
При решении задачи принять тело за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.
Вариант 21. Дано: = 30°; f = 0,1; = 1 м/с; = 1,5 с; h = 10 м. Определить и d.
Вариант 22. Дано: = 0; = 45°; l = 10 м; = 2 с. Определить / и уравнение траектории на участке ВС.
Вариант 23. Дано: f = 0; = 0; l = 9,81 м; = 2 с; h = 20 м. Определить и Т.
Вариант 24. Дано: = 0; = 30°; f = 0,2; l = 10 м; d = 12 м. Определить и h.
Вариант 25. Дано: = 0; = 30°; f = 0,2; l = 6 м; h = 4,5 м. Определить и .
Варианты 26—30 (рис. 10.10). Имея в точке А скорость , тело движется по горизонтальному участку АВ длиной l в течение с. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f. Со скоростью тело в точке В покидает плоскость и попадает в точку С со скоростью , находясь в воздухе Т с. При решении задачи принять тело за материальную точку, сопротивление воздуха не учитывать.
Вариант 26. Дано: = 7 м/с; f = 0,2; l = 8 м; h = 20 м. Определить d и .
Вариант 27. Дано: = 4 м/с; f =0,1; = 2 с; d = 2 м. Определить и h.
Вариант 28. Дано: = 3 м/с; f = 0,3; l = 3 м; h = 5 м. Определить и Т.
Вариант 29. Дано: = 3 м/с; = 1 м/с; l = 2,5 м; h = 20 м. Определить f и d.
Вариант 30. Дано: f = 0,25; l = 4 м; d = 3 м; h = 5 м. Определить и .
Вопросы для самоконтроля
(защиты контрольной работы)
1. Сформулируйте основные законы механики.
2. Какая система отсчета называется инерциальной?
3. Запишите основное уравнение динамики.
4. От каких переменных могут зависеть силы, рассматриваемые в теоретической механике?
5. Запишите дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме.
6. Запишите дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат.
7. Запишите дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на естественные оси.
8. Сформулируйте первую задачу динамики для материальной точки.
9. Сформулируйте вторую задачу динамики для материальной точки и порядок ее решения.
Д–11. Исследование поступательного движения механической системы с применением теоремы о движении центра масс
11.1. Цели:
выяснить область применения общих теорем механики при исследовании динамического поведения механических систем;
приобрести практические навыки решения конкретных технических задач.
Базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач
Примеры решения задач
Задача 11.3.1. Механизм, состоящий из груза А массой 50 кг, блока В массой 80 кг (больший радиус R = 30 см, меньший r = 10 см) и цилиндра С массой 120 кг радиусом RC = r/2, установлен на призме D массой 210 кг, находящейся на горизонтальной плоскости. Трение между призмой и плоскостью отсутствует. Груз А получает перемещение S = 1,2 м относительно призмы вдоль ее поверхности влево; α = 75° (рис. 11.1). Куда и на какое расстояние переместится призма?
Вопросы для самоконтроля
(защиты контрольной работы)
1.Запишите формулы для координат центра масс.
2. Сформулируйте теорему о движении центра масс механической системы.
3. При каком условии проекция скорости центра масс на некоторую ось не изменяется при движении системы?
4. При каких условиях центр масс не перемещается вдоль данной оси?
5. Как определяется количество движения материальной точки и механической системы?
6. Как определяется импульс переменной силы за конечный промежуток времени?
7. Сформулируйте теорему об изменении количества движения в дифференциальной и конечной формах.
8. Запишите теорему об изменении количества движения в дифференциальной форме в проекциях на координатные оси.
9. Запишите теорему об изменении количества движения в интегральной форме в проекциях на координатные оси.
10. При каком условии количество движения механической системы сохраняется?
11. При каком условии сохраняется проекция на данную ось количества движения механической системы?
Д–12. Определение динамических характеристик
Движения механической системы с использованием теоремы об изменении кинетической энергии
12.1. Цели:
1. Выяснить область применения теоремы об изменении кинетической энергии при исследовании динамического поведения механических систем.
2. Научиться вычислять кинетическую энергию твердого тела в различных случаях его движения и системы, состоящей из твердых тел.
3. Освоить методику применения теоремы об изменении кинетической энергии для определения динамических характеристик движения механической системы.
Примеры решения задач
Задача12.3.1. Груз 3 массы т3 поднимается лебедкой, приводящейся в движение электромотором А (рис. 12.1). Передача движения от вала I на вал II осуществляется с помощью пары зубчатых колес 1 и 2. Трос, к концу которого прикреплен груз, наматывается на барабан В радиуса r. Определить закон изменения угловой скорости вала I, если со стороны электромотора на вал действует вращающий момент , где М0 и а - положительные постоянные, характеризующие мотор; - угловая скорость вала I (электромотора). Числа зубьев колес z1 и z2, моменты инерции валов лебедки I1 и I2. Сопротивлением движению и массой троса пренебречь.
Рис. 12.1
Решение. Рассмотрим систему, состоящую из ротора электромотора D, лебедки и поднимаемого груза (рис. 12.2). Система имеет одну степень свободы, если тела, входящие в эту систему, абсолютно твердые, трос нерастяжимый, а раскачивание груза при подъеме отсутствует. Система является неизменяемой, если дополнительно положить, что трос является абсолютно гибким.
Составим дифференциальное уравнение движения системы, приняв за координату, определяющую ее положение, угол поворота электромотора .
Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме
. (12.5)
Рис. 12.2
Дальнейшая последовательность действий определяется структурой этой формулы.
Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел, входящих в ее состав,
. (12.6)
Кинетическая энергия вала I (имеется в виду совокупность тел: вал лебедки с колесом 1, муфта, связывающая валы электромотора и лебедки (на рисунке не показана) и ротор электромотора), вращающегося с угловой скоростью :
. (12.7)
Кинетическая энергия вала II (имеется в виду совокупность тел: вал, барабан и колесо 2), вращающегося с угловой скоростью :
. (12.8)
Кинетическая энергия груза, движущегося поступательно со скоростью vз:
. (12.9)
Подставляя (12.7)-(12.9) в формулу (12.6), получаем
. (12.10)
Воспользуемся соотношением , выражающим равенство скоростей точек на ободах зубчатых колес; из него находим
. (12.11)
Кроме того, , или, с учетом формулы (12.11),
. (12.12)
Подставим (12.11) и (12.12) в формулу (12.10). Поскольку отношение радиусов колес r1 и r2 можно заменить отношением чисел зубьев z1 и z2, то
. (12.13)
Введем обозначение
.
и, учитывая, что , получаем
,
откуда
. (12.14)
Вычислим теперь сумму мощностей внешних сил. Из внешних сил, действующих на рассматриваемую систему, на расчетной схеме показаны только силы, мощность которых не равна нулю, - это вращающий момент и сила тяжести груза. Точки приложения других внешних сил (силы тяжести валов I и II со всеми деталями, силы тяжести муфты, ротора электромотора, реакций подшипников) неподвижны, поэтому мощность этих сил равна нулю. Мощность момента равна , мощность силы тяжести груза
Таким образом,
,
или, учитывая (12.12), а также, что получаем
. (12.15)
Введем обозначение , тогда
. (12.16)
Приравнивая, согласно (12.5), правые части соотношений (12.14) и (12.16), получаем после сокращения на , дифференциальное уравнение движения системы:
. (12.17)
Поскольку приведенный момент инерции является постоянным, а силовой момент - функция угловой скорости , то уравнение (12.17) можно записать в виде
. (12.18)
Для определения закона изменения угловой скорости перепишем последнее уравнение в виде
. (12.19)
Построим общее решение уравнения (12.19). Поскольку оно является неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка, то
. (12.20)
где - общее решение однородного уравнения ; - частное решение неоднородного уравнения (12.19).
Для определения функции запишем характеристическое уравнение и найдем его корень . Следовательно,
. (12.21)
Частное решение уравнения (12.19) разыскиваем в виде
. (12.22)
Для определения постоянной А следует подставить (12.22) в уравнение (12.19):
.
Таким образом, общее решение уравнения (12.19) имеет вид
. (12.23)
Постоянную интегрирования С определим из начального условия :
.
Подставляя найденное значение постоянной С в (12.23), получаем закон изменения угловой скорости первого вала
. (12.24)
Из найденного решения следует, что по истечении некоторого промежутка времени первый вал будет вращаться с постоянной угловой скоростью
.
Задача 12.3.2. Груз 3 массы т3 перемещается по наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом, электрической лебедкой, состоящей из зубчатого колеса 1 радиуса R1 и находящегося с ним в зацеплении колеса 2 радиуса R2, на одном валу с которым находится барабан радиуса r2, на который навивается трос, прикрепленный к грузу (рис. 12.3).
К колесу 1 приложен со стороны мотора постоянный вращающий момент М1 на валу колеса 2 действует постоянный момент сопротивления М2. Определить угловую скорость колеса 1 как функцию его угла поворота, если I1 - момент инерции ведущего вала (вал и колесо l); I2- момент инерции ведомого вала (вал, колесо 2 и барабан); f -коэффициент трения скольжения груза о наклонную плоскость. Трос считать нерастяжимым, невесомым и не сопротивляющимся изменению формы. Движение начинается из состояния покоя. Центры масс вращающихся тел находятся на осях вращения.
Рис. 12.3
Решение. Рассмотрим систему, состоящую из тел 1-3 и троса. Поскольку тела абсолютно твердые, а трос нерастяжимый, то система имеет одну степень свободы. Будем определять положение системы с помощью угла поворота ведущего вала. Заметим также, что система является неизменяемой. Поскольку движение системы происходит под действием постоянных сил, работу которых можно вычислить, не зная закона движения системы, то для решения задачи удобно использовать теорему об изменении кинетической энергии в конечной форме для неизменяемых систем
. (12.25)
Определим приращение кинетической энергии системы на перемещении из начального положения в некоторое конечное, задаваемое углом . Кинетическая энергия системы в начальном положении Т0= 0 (по условию). Кинетическая энергия системы в конечном положении равна сумме кинетических энергий ведущего и ведомого валов и груза:
,
где - угловая скорость ведущего и ведомого валов соответственно; v3 - скорость груза (рис. 12.4).
Рис. 12.4
Поскольку
,
то
,
или
,
где
.
Таким образом, приращение кинетической энергии системы на рассматриваемом перемещении найдено как функция угловой скорости ведущего вала в конечном положении:
. (12.26)
Внешними силами, действующими на систему, являются вращающий момент М1 момент сопротивления М2, силы тяжести тел , реакции подшипников ведущего вала , реакции подшипников ведомого вала и реакции плоскости: сила трения и нормальная реакция . Вычислим теперь работу внешних сил на перемещении системы из начального положения в конечное:
1) работа вращающего момента равна ;
2) работа момента сопротивления равна , где -угол поворота ведомого вала;
3) работы сил , а также , равны нулю, так как эти силы приложены в неподвижных точках;
4) работа силы равна нулю, так как эта сила перпендикулярна перемещению точки ее приложения;
5) работа силы равна , где s3 - перемещение груза;
6) работа силы трения равна (), где .
Таким образом,
.
Но
,
поэтому
.
или
, (12.27)
где
.
Приравнивая, согласно (12.25), правые части формул (12.26) и (12.27), получаем
,
откуда
. (12.28)
Таким образом, искомая зависимость имеет вид:
.
Вопросы для самоконтроля
(защиты контрольной работы)
1. Что называется кинетической энергией материальной точки?
2. Что называется кинетической энергией механической системы?
3. Сформулируйте теорему Кенига.
4. Получите формулы для вычисления кинетической энергии твердого тела при поступательном, вращательном и плоскопараллельном его движениях.
5. Как вычисляется работа силы упругости и силы тяжести?
6. На каких перемещениях работа силы тяжести а) положительна, б) отрицательна, в) равна нулю?
7. При каких условиях работа силы упругости положительна; отрицательна?
8. Как определяется работа постоянной по модулю и направлению силы на прямолинейном перемещении?
9. Чему равна работа постоянной по модулю и направлению силы трения скольжения?
10. Что называется мощностью силы?
11. Как определяется работа и мощность силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси?
12. Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме (в форме мощностей).
13. Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии механической системы в конечной (интегральной) форме.
Задания
Для приведенных на схемах 1-30 механических систем, используя теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме, определить угловую скорость (варианты 4, 6, 7, 9, 11, 18, 25, 26, 28) или линейную скорость (остальные варианты) тела 1 после его заданного перемещения φ1 = 2π рад или s1 = 2 м. Движение начинается из состояния покоя.
Д–13. Исследование движения механической системы с применением общего уравнения динамики
13.1. Цель: практическое освоение общего уравнения динамики как инструмента для составления дифференциальных уравнений движения механических систем с одной степенью свободы.
Базовые понятия теории и методические
Примеры решения задач
Задача 8.2.1. Составить дифференциальное уравнение движения механической системы, состоящей из груза 1, блока 2 и катка 3, имеющих соответственно массы т1, т2, т3, и пружины с коэффициентом жесткости с (рис. 13.1). Груз и каток, расположенные на наклонных плоскостях, составляющих с горизонтом углы и , связаны невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через блок. Трением груза о плоскость, массой пружины и сопротивлением качению пренебречь. Проскальзывание нити на блоке отсутствует. Каток катится без скольжения. Блок считать однородным цилиндром, момент инерции катка относительно центральной оси равен , радиусы ступеней катка R и r.
Решение. Рассматриваемая система имеет одну степень свободы при выполнении следующих условий:
1. Тела, входящие в систему, абсолютно твердые.
2. Нить нерастяжимая и при движении системы всегда натянута.
3. Проскальзывание нити на блоке отсутствует.
4. Каток катится без скольжения.
Рис. 13.1
Будем определять положение системы с помощью координаты х, направив соответствующую ось Ох параллельно наклонной плоскости, на которой расположен груз. Начало оси совместим с положением центра масс груза при равновесии системы (рис. 13.2). Пусть , и - соответствующие координате х углы поворота блока и катка и смещение центра масс катка от положения его равновесия.
(13.3)
где - радиус блока.
Для составления дифференциального уравнения движения воспользуемся общим уравнением динамики. Построим расчетную схему задачи. Изобразим на рисунке активные силы , , , реакцию неидеальной связи (пружины) ; приложим к телам системы силы инерции.
Рис. 13.2
Груз движется поступательно. Силы инерции его частиц эквивалентны равнодействующей
, (13.4)
приложенной в центре масс (- ускорение груза).
Блок вращается вокруг главной центральной оси инерции. Силы инерции его частиц эквивалентны паре сил с моментом
, (13.5)
где - момент инерции блока относительно оси вращения.
Вектор направлен по оси вращения блока противоположно вектору углового ускорения . На расчетной схеме это отражено дуговыми стрелками противоположного направления.
Каток совершает плоское движение. Силы инерции его частиц эквивалентны системе, состоящей из одной силы
, (13.6)
приложенной в центре масс катка (- ускорение центра масс), и пары сил с моментом
, (13.7)
где - угловое ускорение катка.
Сообщим грузу возможное перемещение . Возможным перемещением блока является поворот на угол вокруг собственной оси. Возможным перемещением катка является поворот на угол вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей Р3 перпендикулярно плоскости рисунка. Векторы и направлены по соответствующим осям, на расчетной схеме направления возможных поворотов блока и катка показаны дуговыми стрелками.
Запишем общее уравнение динамики
. (13.8)
Заметим, что элементарная работа силы равна нулю, так как равно нулю возможное перемещение точки ее приложения.
Подставив в уравнение (13.8) формулы (13.4)-(13.7) и раскрыв скалярные произведения, получим
. (13.9)
Используя формулы (13.3), находим
(13.10)
(13.11)
Подставляя формулы (13.10) и (13.11) в уравнение (13.9), находим после сокращения на и простых преобразований:
(13.12)
Из уравнения (13.12) легко получить условие равновесия системы. Действительно, поскольку
, (13.13)
где - статическая деформация пружины, то, подставляя (13.13) в уравнение (13.12) и имея в виду, что при равновесии x = 0, = 0, находим
. (13.14)
С учетом условия (13.14) уравнение (13.12) принимает вид
(13.15)
Назовем приведенной массой и приведенной жесткостью величины
.
Тогда дифференциальное уравнение (13.15) можно записать в виде
, (13.16)
где
.
Задача 8.2.2. Груз 3 массы т3 поднимается с помощью устройства, состоящего из шкивов 1 и 2, связанных невесомым ремнем (рис. 13.3). К ведущему шкиву 1 радиуса R1 приложена пара сил с постоянным моментом М. Определить угловое ускорение ведущего шкива, если R2, r2 - радиусы ступеней ведомого шкива; I1 и I2 - моменты инерции шкивов относительно осей их вращения. Сопротивлением и массой троса пренебречь.
Рис. 13.3
Решение. Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы, если выполняются следующие условия:
1. Тела 1, 2, 3 - абсолютно твердые.
2. Ремень и трос нерастяжимые.
3. Проскальзывание ремня на шкивах отсутствует.
4. Груз поднимается, не раскачиваясь (по направляющим).
Построим расчетную схему задачи. Связи, наложенные на систему, являются идеальными. Поэтому на расчетной схеме (рис. 13.4) показаны только активные силы (вращающий момент и силы тяжести тел) и силы инерции.
Рис. 13.4
Шкив 1 вращается вокруг своей главной центральной оси инерции. Поэтому система сил инерции его частиц эквивалентна паре сил, момент которой направлен противоположно угловому ускорению шкива и имеет величину
. (13.17)
Шкив 2 также вращается вокруг своей главной центральной оси инерции. Поэтому система сил инерции его частиц эквивалентна паре сил, момент которой направлен противоположно угловому ускорению шкива и имеет величину
. (13.18)
Груз движется поступательно. Система сил инерции частиц груза эквивалентна равнодействующей силе, которая приложена в центре масс, направлена противоположно его ускорению и имеет величину
. (13.19)
Сообщим шкиву 1 возможное перемещение . Шкив 2 и груз 3 получат при этом возможные перемещения и соответственно. Запишем общее уравнение динамики
. (13.20)
Нетрудно установить, что
, (13.21)
. (13.22)
Подставив формулы (13.17)-(13.19), (13.22) в уравнение (13.20), получим, с учетом (13.21), уравнение
.
из которого, после сокращения на находим
.
Задания
Для приведенных на схемах 1-30 механических систем определить указанное на схеме угловое ускорение или линейное ускорение. Нити невесомы и нерастяжимы. Принятые обозначения: т — массы тел, R и r — радиусы, ρ — радиус инерции (если он не указан, тело считать однородным цилиндром); при наличии трения указываются: f — коэффициент трения скольжения, fк — коэффициент трения качения.
Вопросы для самоконтроля
(защиты контрольной работы)
1. Что называется связью?
2. Что называется возможным перемещением материальной точки?
3. Что называют возможными перемещениями механической системы?
4. Какие связи называются идеальными?
5. Что называется обобщенными координатами механической системы?
6 Сформулируйте принцип возможных перемещений.
7. В каких формах можно записывать уравнение работ, выражающее принцип возможных перемещений?
8.Какой вид имеет общее уравнение динамики?
9. Каковы особенности применения общего уравнения динамики к исследованию движения механических систем с одной степенью свободы?
Д–14. Исследование движения механической системы с применением уравнений Лагранжа второго рода
14.1. Цель: освоить один из основных методов составления дифференциальных уравнений движения механических систем - метод уравнений Лагранжа второго рода.
Примеры решения задач
Задача 14.3.1. К нижнему шкиву 3 подъемника (рис.14.1) приложен постоянный вращающий момент М. Определить ускорение груза 1 массы т1, поднимаемого вверх, если масса противовеса 2 равна т2, шкивы 3 н 4 массы т3 каждый представляют собой однородные цилиндры радиуса r. Массой ремня и трением в подшипниках шкивов пренебречь.
Рис. 14.1 Рис. 14.2
Решение. Система имеет одну степень свободы, если тела, входящие в систему, считать абсолютно твердыми, ремень нерастяжимым, а проскальзывание ремня на шкивах отсутствующим. При этих предположениях положение системы вполне определяется углом поворота ведущего шкива 3, который будем отсчитывать в направлении вращения шкива. Имея в виду цель задачи, примем за обобщенную координату перемещение s груза 1 (рис.14.2). Запишем уравнение Лагранжа
. (14.2)
Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел, входящих в ее состав,
.
Так как тела 1 и 2 движутся поступательно, а тела 3 и 4 совершают вращательное движение, то
,
где - скорости груза и противовеса, - угловые скорости шкивов, - моменты инерции шкивов относительно их осей вращения.
Таким образом,
. (14.3)
Запишем выражение (14.3) в обобщенных координатах. Заметив, что
,
получаем после подстановки последних формул в (14.3):
. (14.4)
Таким образом, в рассматриваемом случае кинетическая энергия системы является функцией только обобщенной скорости.
Вычислим производные от кинетической энергии, входящие в уравнение (14.2):
(14.5)
, (14.6)
. (14.7)
Найдем обобщенную силу. Заметив, что связи, наложенные на систему, являются идеальными, вычислим сумму работ вращающего момента и сил тяжести на перемещении системы из положения, в котором обобщенная координата равна нулю, в произвольное положение с координатой s > 0:
Поскольку , то
откуда
. (14.8)
Подставляя формулы (14.5), (14.7) и (14.8) в уравнение (14.2), получаем дифференциальное уравнение движения системы
, (14.9)
из которого находим ускорение груза
.
Задача 14.3.2. Грузоподъемная установка (рис. 14.3) состоит из барабана 1 массой m1= 200 кг и радиусом r= 0,2 м, невесомого нерастяжимого троса, который перемещает груз 2 по наклонной плоскости, составляющий угол α = 30° с горизонтом. Масса груза т2 = 1000 кг, коэффициент трения между грузом и наклонной плоскостью f = 0,2. К барабану приложен вращающий момент М = 1,6 кНм. Определить величину ускорения груза а. Барабан считать однородным цилиндром.
Рис. 14.3 Рис. 14.4
Решение. Рассматриваемая система имеет одну степень свободы (s = 1) и может быть описана одним уравнением Лагранжа второго рода
В качестве обобщенной координаты выберем координату х груза на наклонной плоскости q = x, тогда обобщенная скорость будет являться скоростью груза.
Кинетическая энергия системы имеет вид
,
где ω — угловая скорость барабана; J — его момент инерции относительно оси вращения. Для однородного цилиндра
и, следовательно, J = 4 кгм2.
При учете кинематической связи v = ωr, т. е. кинетическая энергия запишется в виде
.
где приведенная (к грузу) масса системы равна
кг.
Вычислим производные, входящие в левую часть уравнения Лагранжа. Частная производная по обобщенной координате
так как кинетическая энергия явно от координаты х не зависит. Частная производная по обобщенной скорости
.
Полная производная по времени
дает левую часть уравнения Лагранжа.
Входящую в правую часть уравнения обобщенную силу Q вычислим через возможную работу. Рассмотрим действующие в системе силы (рис. 14.4) и придадим телам системы возможное перемещение: бесконечно малое перемещение груза δх и поворот барабана на бесконечно малый угол δφ. Соотношение между этими величинами можно получить из уравнения кинематической связи v = ωr. Интегрируя обе части этого уравнения по времени, находим
,
или
,
где С — постоянная интегрирования.
Варьируя последнее соотношение, получаем равенство
,
которое в данном случае имеет простой геометрический смысл — равенство длины дуги окружности произведению радиуса на величину угла в радианах.
На возможном перемещении работу будут совершать сила трения
,
сила тяжести груза
и вращающий момент
.
Таким образом, возможная работа для механической системы будет равна
,
где Fnp — приведенная сила системы.
Поскольку для системы с одной степенью свободы возможная работа записывается в виде δА = Qδq, и в нашей задаче δq = δx, сравнивая последние два соотношения, находим Q = Fnp, т. е. обобщенная сила является в данной постановке задачи приведенной силой
.
Вычислим ее, учитывая, что
.
Тогда
.
Составляем теперь уравнение Лагранжа, приравнивая правую и левую части: тnpа = Fnp, откуда находим ускорение груза
.
Задача 14.3.3. В планетарном механизме, расположенном в горизонтальной плоскости, колесо 1 неподвижно (рис. 14.5). К рукоятке О1О3 приложен постоянный вращающий момент М. Определить угловое ускорение рукоятки, считая колеса 2 и 3 однородными дисками с одинаковыми массами т и радиусами r. Массой рукоятки и сопротивлением пренебречь.
Рис. 14.5
Решение. Система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату принимаем угол поворота рукоятки (рис. 14.6), тогда обобщенная скорость будет . Уравнение Лагранжа второго рода запишется в виде
. (14.10)
Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий колес 2 и 3:
. (14.11)
Предполагая, что колеса 2 и 3 совершают плоское движение, определяем их кинетические энергии по теореме Кёнига:
. (14.12)
Рис. 14.6
Найдем скорости центров масс колес:
. (14.13)
Угловую скорость колеса 2 определим с помощью мгновенного центра скоростей этого звена (точка , рис. 14.6):
. (14.14)
Колесо 3 движется поступательно, так как скорости его точек А и равны, поэтому
. (14.15)
Моменты инерции колес
. (14.16)
Подставляя (14.12) в (14.11) с учетом (14.13)—(14.16), получаем кинетическую энергию системы как функцию обобщенной скорости
. (14.17)
Вычислим производные от кинетической энергии системы, входящие в уравнение (14.10):
. (14.18)
Для определения обобщенной силы сообщаем рукоятке возможное перемещение и вычисляем сумму элементарных работ активных сил на возможных перемещениях точек их приложения. Так как связи, наложенные на систему, являются идеальными, а механизм расположен в горизонтальной плоскости (поэтому работа сил тяжести колес равна нулю), то
,
откуда
. (14.19)
Подставив (14.18) и (14.19) в (14.10), получим дифференциальное уравнение движения механизма
,
из которого находим угловое ускорение рукоятки
.
14.4. Задания Д–6
Для приведенных на схемах 1-30 механических систем, используя уравнения Лагранжа второго рода, определить указанное на схеме угловое ускорение или линейное ускорение. Нити невесомы и нерастяжимы. Принятые обозначения: т — массы тел, R и r — радиусы, ρ — радиус инерции (если он не указан, тело считать однородным цилиндром); при наличии трения указываются: f — коэффициент трения скольжения, fк — коэффициент трения качения.
Вопросы для самоконтроля
(защиты контрольной работы)
1. Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода? уравнений для данной механической системы?
2. Функцией каких переменных является кинетическая энергия механической системы в обобщенных координатах?
3. Что представляют собой уравнения Лагранжа второго рода: систему дифференциальных уравнений в обыкновенных или в частных производных?
4. Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы?
5. Как определяются обобщенные силы? Каково их число для данной механической системы?
6. Как формулируется вторая задача динамики в обобщенных координатах?
ЛИТЕРАТУРА
1.Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики: Учеб. Для втузов/ С.М. Тарг.-18-е изд., стер.- М.: Высш.шк.,2008. -416 с.
2. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики: Учебник. 11-е изд.,стер.-СПб.: Издательство «Лань», 2004.-768 с.
3.Тарасов В.Н., Бояркина И.В., Коваленко М.В., Федорченко Н.П., Фисенко Н.И. Теоретическая механика: Учебное пособие. -М.: изд-во ТрансЛит, 2010.-560 с.
4. Доев В.С., Доронин Ф.А. Сборник заданий по теоретической механике на базе Mathcad:Учебное пособие.-СПб.: Издательство «Лань», 2010.-592 с..-(Учебники для вузов. Специальная литература).
5. Арсеньев О.Н., Степаненков О.С., Шаповалов А.В. и др.; под общ. ред. С.К. Слезкинского.-СПб.: Политехника, 2007.-487 с.
6. Диевский В.А., Малышева И.А. Теоретическая механика. Сборник заданий: Учебное пособие.-СПб.: Издательство «Лань», 2007.-192 с.-(Учебники для вузов. Специальная
литература).
7. Стативка В.С., Хлюпин В.А., шабаев В.Н. Теоретическая механика. Руководство по решению задач. Статика: Учеб. пособие. – СПб: ВАТТ, 2010. – 285 с.
8. Стативка В.С., Хлюпин В.А., шабаев В.Н. Теоретическая механика. Руководство по решению задач. Кинематика: Учеб. пособие. – СПб: ВАТТ, 2011. – 170 с.
9. Стативка В.С., Хлюпин В.А., шабаев В.Н. Теоретическая механика. Руководство по решению задач. Динамика: Учеб. пособие. – СПб: ВАТТ, 2011. – 185 с.
– Конец работы –
Используемые теги: методические, указания, выполнению, контрольных, работ, студентов, всех, форм, обучения, направлениям, 62, Технологические, машины, Оборудование, 62, эксплуатация, транспортно-технологических, машин, комплексов0.165
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Для студентов всех форм обучения по направлениям 151000.62 «Технологические машины и оборудование» 190600.62 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов»
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов