Реферат Курсовая Конспект
Образец решения контрольной работы № 3. - раздел Философия, Часть 1. ПРОГРАММА КУРСА Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Задание 1.Найти Неопределенные Интегралы. Результаты Провери...
|
Задание 1.Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
Решение. 1) Интеграл преобразуем к табличному методом замены переменной. Так как , то, вводя новую переменную находим интеграл:
.
Проверка. Покажем, что производная от найденного неопределённого интеграла равна подынтегральной функции. По свойству неопределённого интеграла это означает, что интеграл найден верно.
. Интеграл найден верно.
2) Преобразуем интеграл к виду :
. Учитывая, что
, то после введения новой переменной получаем табличный интеграл:
.
Проверка.
. Интеграл найден верно.
3) Для интегрирования произведения степенной функции на трансцендентную функцию (тригонометрическую, обратно тригонометрическую, показательную или логарифмическую) применяется метод интегрирования по частям, опирающийся на использование формулу интегрирования по частям . (*)
Пусть и , тогда и .
Применяя формулу (*), находим:
.
Проверка.
. Интеграл найден верно.
4) Для нахождения неопределённого интеграла от неправильной рациональной дроби, степень числителя которой больше или равна степени знаменателя, выделим из дроби целый многочлен и правильную дробь, используя деление многочленов «уголком»:
Таким образом, имеем:
Следовательно, по свойству неопределённого интеграла
(*)
В последнем интеграле квадратный трёхчлен имеет два действительных корня, которые находим из квадратного уравнения :
После этого правильная рациональная дробь может быть разложена на сумму двух простейших элементарных дробей методом неопределённых (буквенных) коэффициентов следующим образом:
(**), где А и В – неопределённые коэффициенты.
Приводя к общему знаменателю сумму и группируя по степеням переменной х, получаем:
.
Из равенства (**) следует, что , а это возможно тогда и только тогда, когда или Решая систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, находим неопределенные коэффициенты: , .
Подставим найденные значения А и В в равенство (**), получим:
Следовательно,
Исходный интеграл в формуле (*) примет вид:
.
Проверка.
. Интеграл найден верно.
Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Задание 2.Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл .
Решение. Формула Ньютона – Лейбница имеет вид:
Для вычисления заданного интеграла используем метод замены переменной в определённом интеграле: , , .
Найдём пределы интегрирования для новой переменной t. Если , то . Если , то . Итак, Вычисляем интеграл, переходя к новой переменной с новыми пределами интегрирования:
Ответ: .
Задание 3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и . Сделать чертеж.
Решение. Для выполнения чертежа (рисунка фигуры) найдём координаты вершины параболы и точек пересечения параболы с прямой. Вершина параболы находится в точке экстремума функции Поэтому найдём производную и приравняем её нулю.
По уравнению параболы находим Вершина параболы находится в точке , ветви параболы направлены вниз.
Для нахождения точек пересечения параболы и прямой необходимо решить систему двух уравнений:
Точками пересечения являются и Делаем чертёж фигуры.
Для вычисления площади S полученной фигуры будем использовать формулу: , где – уравнение кривой, которая ограничивает фигуру сверху, а – уравнение кривой, ограничивающей фигуру снизу, и – абсциссы соответственно левой и правой точек пересечения кривых. В нашем случае: , , и .
Вычисляем площадь фигуры:
(кв. ед.).
Ответ: 4,5 (кв. ед.).
Задание 4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной графиками функций и .
Решение. Для выполнения чертежа фигуры найдём координаты точек пересечения параболы с прямой, решив систему двух уравнений:
Точками пересечения являются и . Делаем чертёж фигуры.
Для вычисления объема V, получаемого при вращении данной фигуры вокруг оси Ох, будем использовать формулу: , где – уравнение кривой, которая ограничивает фигуру сверху, а – уравнение кривой, ограничивающей фигуру снизу, и – абсциссы соответственно левой и правой точек пересечения кривых. В нашем случае: , , и .
Вычисляем объем:
(куб. ед.).
Ответ: (куб. ед.).
4.1. Контрольная работа № 4. «Дифференциальные уравнения. Ряды».
1. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0.
1. , . 2. , .
3. , y(0) = 5. 4. , y(–2) = 5.
5. , y(0) = 2. 6. , y(1) = e.
7. , y(3) = 1. 8. , y(0) = 2.
9. , y(1) = 0. 10. , y(0) = 3.
2. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(x0) = y0 и
1. , y(0) = –2, .
2. , y(0) = 3, .
3. , y(0) = –3, .
4. , y(0) = –1, .
5. , y(0) = 1, .
6. , y(0) = 2, .
7. , y(0) = 2, .
8. , y(0) = 3, .
9. , y(0) = 0, .
10. , y(0) = 0, .
3. Написать три первых члена степенного ряда, найти его область абсолютной сходимости.
1. . 2. . 3. .
4. . 5. . 6. .
7. . 8. . 9. .
10. .
4. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.
1. . 2. . 3. .
4. . 5. . 6. .
7. . 8. . 9. .
10. .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Волгоградский государственный архитектурно строительный университет... Волжский институт строительства и технологий...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Образец решения контрольной работы № 3.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов