Реферат Курсовая Конспект
Дифференциальные уравнения - раздел Философия, Часть 1. ПРОГРАММА КУРСА Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. 1. Равенство Вида ...
|
1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка, называется дифференциальным уравнением.
2. Натуральное число n, являющееся порядком старшей производной, называется порядком дифференциального уравнения.
3. Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида или в дифференциалах . Если эти равенства можно разрешить относительно производной, то их записывают в виде или .
4. Решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция y = j(x), имеющая непрерывную производную на некотором интервале (a; b) и обращающая уравнение в верное числовое равенство.
5. Задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка: требуется найти решение y = j(x) уравнения, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0.
6. Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция y = j(x; С), содержащая произвольную постоянную С и удовлетворяющая условиям: 1) при любых начальных условиях (x0; y0) уравнение y0 = j(x0; С) должно быть разрешимо относительно С так, что С = y(x0; y0); 2) при всех значениях постоянной С = y(x0; y0) функция y = j(x; y(x0; y0)) должна удовлетворять дифференциальному уравнению.
7. Всякое решение, получаемое из общего при фиксированном значении постоянной С называется частным решением дифференциального уравнения.
8. Уравнение вида или называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Приводятся к виду или путем разделения переменных x и y и затем почленно интегрируются.
9. Уравнение вида называется однородным дифференциальным уравнением. Используется замена: или , где – новая неизвестная функция, тогда . Сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными относительно новой функции, для которого находят общее решение. Записывают общее решение исходного уравнения по формуле .
10. Уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением. Используется метод Бернулли: , где , – новые неизвестные функции, тогда . Получаем: или . Подберем функцию v так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, тогда получаем Первое уравнение – ДУ с разделяющимися переменными, находим его частное решение при С = 0. Найденное частное решение подставляем во второе уравнение, являющееся тоже ДУ с разделяющимися переменными и находим его общее решение. Записываем общее решение исходного уравнения по формуле .
11. Уравнение вида , где называется дифференциальным уравнением Бернулли. Используется метод Бернулли: .
12. Дифференциальным уравнением 2-го порядка называется уравнение вида . Если уравнение можно разрешить относительно , то его записывают в виде .
13. Решением дифференциального уравнения 2-го порядка называется функция y = j(x), имеющая непрерывные производные , на некотором интервале (a; b) и обращающая уравнение в верное числовое равенство.
14. Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка: требуется найти решение y = j(x) уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = y0, при x = x0.
15. Общим решением дифференциального уравнения 2-го порядка называется функция y = j(x; С1; С2), содержащая две произвольные постоянные С1, С2 и удовлетворяющая условиям: 1) при любых начальных условиях система уравнений должна быть разрешима относительно постоянных С1, С2 так, что 2) при всех значениях этих постоянных С1, С2 функция y = j(x; C1; C2) обращает дифференциальное уравнение в верное числовое равенство.
16. Всякое решение, получаемое из общего при фиксированных значениях постоянных С1, С2 называется частным решением дифференциального уравнения.
17. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка:
а) решается повторным интегрированием.
б) , явно не содержащее искомой функции . Используется замена: , где – новая неизвестная функция, тогда . Для нового уравнения относительно функции p находим общее решение и подставляем его в формулу . Получаем ДУ с разделяющимися переменными относительно функции y, находим его общее решение.
в) , явно не содержащее независимой переменной . Замена: , где , тогда . Для нового уравнения относительно функции p находим общее решение и подставляем его в формулу . Получаем ДУ с разделяющимися переменными относительно функции y, находим его общее решение.
18. Линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида . Составляется характеристическое уравнение .
Если , то и общее решение исходного уравнения имеет вид: .
Если , то и .
Если , то и .
19. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида называется уравнение вида . Его общее решение ищется в виде , где – общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами: , а – какое-либо частное решение исходного уравнения.
Если , где a – некоторое число, Pn(x) – многочлен степени n, то , где – многочлен степени с неопределенными коэффициентами, – число, равное кратности a как корня характеристического уравнения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами .
Если , где a, b – некоторые числа, Pn(x), Qm(x) – многочлены степени n и m соответственно, то , где – многочлены степени с неопределенными коэффициентами, , – число, равное кратности как корня характеристического уравнения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Волгоградский государственный архитектурно строительный университет... Волжский институт строительства и технологий...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Дифференциальные уравнения
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов