Методические материалы к практическим занятиям по математике

Министерство образования Российской Федерации

Вологодский государственный педагогический университет

 

Методические материалы

к практическим занятиям по математике

для студентов-гуманитариев

 

Вологда

“Русь”

 

 

УДК Печатается по решению Ученого Совета ВГПУ от

 

В работе приведена подборка задач для практических занятий по математике со студентами гуманитарных факультетов (иностранных языков, исторического, отделения культурологии). Для каждого занятия составлены также контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения. Приведены примерные варианты контрольных работ.

 

Составители: и. о. доцента, кандидат технических наук А.Ю. Белянина,

доцент, кандидат физико-математических наук Т.В. Васильева,

ст. преподаватель М. А.Доброва

 

 

Рецензент: доцент, кандидат физико-математических наук Н. Г. Чернышева.

 

 

Ответственный за выпуск:

профессор, доктор пед. наук В.А. Тестов.

 

ã Вологодский государственный

педагогический университет,

издательство “Русь”, 2008 г.

 

Выписка из государственного стандарта.

Математика. Аксиоматический метод, основные математические структуры, вероятность и статистика, математические модели.

Выписка из учебного плана:

Факультет иностранных языков: лекции – 34 часа, практические занятия – 16 часов.

Исторический факультет: лекции – 12 часов, практические занятия – 18 часов.

 

Занятие 1.

Элементы теории множеств.

Контрольные вопросы.

 

1. Приведите примеры конечных и бесконечных множеств.

2. Перечислите способы задания множеств.

3. Назовите несколько подмножеств

а) множества натуральных чисел; б) множества геометрических фигур.

4. Какие множества называются равными? Какие из следующих множеств геометрических фигур на плоскости равны между собой:

A – множество всех квадратов;

B - множество всех прямоугольников;

C - множество всех четырехугольников с прямыми углами;

D - множество всех прямоугольников с равными сторонами;

F - множество всех ромбов с прямыми углами?

5. Перечислите основные операции над множествами. Для каждой операции сформулируйте определение и приведите простые примеры.

 

Упражнения.

1. Запишите множество A, элементами которого являются натуральные делители числа 24, используя перечисление элементов множеств. 2. Даны множества: A={а, и, о, у, э, ы}, B={111, 222, 333, 444, 555, 666, 777,… 3. Даны числа: 19; ; 0; -27; 5,4. Какие из них принадлежат множеству: а) целых чисел; б) целых неотрицательных чисел;…

Занятие 2.

Контрольные вопросы.

 

1. Дайте определения: а) пересечения множеств; б) объединения множеств; в) разности двух множеств; г) дополнения множества А до множества В; д) декартова произведения множеств. Как называются соответствующие операции над множествами?

2. Как с помощью кругов Эйлера изобразить а) пересечение множеств; б) объединение множеств; в) разность двух множеств; г) дополнение множества А до множества В?

3. Назовите основные свойства операций пересечения и объединения множеств.

4. Каков порядок действий в формулах, содержащих несколько теоретико-множественных операций, если формулы

а) не содержат скобок; б) содержат скобки?

6. Как изображается на координатной плоскости декартово произведение двух числовых множеств? Приведите примеры.

 

 

Упражнения.

1. Множество A - множество натуральных чисел, кратных 3, множество B -множество натуральных чисел кратных 7. Задайте множества выясните, какие из… 2. Множество A - множество натуральных чисел, кратных 3, множество B… 3. Найдите пересечение и объединение множества C={14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} и множества D, если

Занятие 3.

Соответствия и отношения.

Контрольные вопросы.

 

1. Дайте определение соответствия между множествами X и Y. Приведите примеры соответствий.

2. Назовите способы задания соответствий.

3. Что такое граф соответствия; график соответствия?

4. Дайте определение обратного соответствия.

5. Какое соответствие называется взаимно однозначным?

6. Какие множества называются равномощными? Приведите примеры равномощных множеств.

7. Дайте определение бинарного отношения на множестве Х. Приведите примеры отношений.

8. В чем состоит свойство

а) рефлексивности;

б) симметричности;

в) антисимметричности;

г) транзитивности;

д) связанности

отношения? Какова особенность графа отношения в каждом из случаев?

9. Дайте определения отношений эквивалентности и порядка. Приведите примеры таких отношений.

 

Решите задачи.

1. R - соответствие “x больше y” между множествами X={2, 4, 6, 7}, Y={3,5}. Постройте граф данного соответствия и соответствия, обратного данному.… 2. Соответствие ²число х в два раза больше числа y² рассматривается… а) Х = {2, 4, 6, 8}, Y = N; б) X = [2, 8], Y = R;

Задачи на повторение

9. Множество А – множество натуральных чисел, кратных 3, В – множество натуральных чисел, кратных 9, С – множество натуральных чисел, кратных 27.…   Задание для самостоятельной работы.

Занятия 4.

Элементы математической логики.

Контрольные вопросы.

 

1. Что такое понятие, объем понятия, содержание понятия? В чем особенность математических понятий?

2. В чем состоит отношение рода и вида для понятий? Приведите примеры понятий, находящихся в отношении рода и вида

а) из области математики;

б) из области языковых дисциплин;

в) из других дисциплин.

3. Приведите структуру явного определения понятия; примеры явных определений.

4. Дайте определение высказывания. Приведите примеры истинных и ложных высказываний и примеры предложений, не являющихся высказываниями.

5. Что называется одноместной высказывательной формой? n-местной высказывательной формой? Приведите примеры высказывательных форм. Дайте определение множества истинности высказывательной формы.

6. Как определяется конъюнкция высказываний? Составьте таблицу истинности конъюнкции.

7. Что такое конъюнкция высказывательных форм? Как найти множество истинности конъюнкции двух высказывательных форм А(х) и В(х)?

8. Дайте определение дизъюнкции высказываний. Составьте таблицу истинности дизъюнкции.

9. Сформулируйте определение дизъюнкции высказывательных форм. Как определить множество истинности дизъюнкции двух высказывательных форм А(х) и В(х)?

10. Как определяется отрицание высказываний и высказывательных форм? Приведите примеры отрицаний.

 

Упражнения.

1. Находятся ли в отношении рода и вида следующие пары понятий: а) многоугольник и треугольник; б) угол и острый угол;

Задание для самостоятельной работы.

I. Повторите теоретический материал по теме ²Понятия. Высказывания и высказывательные формы. Конъюнкция и дизъюнкция. Отрицание высказываний. Высказывания с кванторами. Импликация и эквиваленция.² Попробуйте ответить на контрольные вопросы к занятию № 5.

II. Решите задачи:

 

1. Дайте определения: тупоугольного треугольника, равнобедренного треугольника, трапеции. Какие понятия вы выбрали в качестве родового в каждом случае? Какие свойства включили в видовое отличие?

2. Среди следующих предложений укажите высказывания и высказывательные формы и поясните ответ:

а) 4 - натуральное число;

б) разность чисел 16 и 11 равна 7;

в) 2³² > 3¹²;

г) х = 7 является решением неравенства 2х –8 < 9;

д) разность чисел х и 4 равна 17;

е) прямые перпендикулярны;

ж) график функции y = x² симметричен относительно оси ординат.

3. Найдите множество истинности высказывательной формы 2х – 10 < 0, заданной на множестве Х, если

а) X = R; б) Х = N; в) X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

4. Среди следующих предложений укажите составные; выделите в них элементарные предложения и логические связки: а) или ; б) противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны; в) число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр в его десятичной записи делится на 3; г) число 11 простое и не делится на 3; д) если число делится на 6, то оно делится на 2.

5. По окончании учебного года Лена сказала подругам, что осенью она начнет заниматься в хореографическом кружке и поступит на курсы французского или испанского языков. В сентябре, когда подруги встретились, оказалось, что Лена не занимается в хореографическом кружке, но зато изучает оба языка. Выполнила ли Лена свое обещание? Если вы считаете, что нет, то перечислите все возможные случаи, в которых высказывание Лены было бы истинным.

6. На множестве М = {1, 2, …, 20} заданы высказывательные формы: А(x): “x не делится на 5”, В(х): “х - четное”, С(х): “х - простое”, D(x): “х делится на 3”. Найдите множества истинности следующих высказывательных форм:

а)

б)

в)

г)

д)

7. На множестве треугольников плоскости заданы высказывательные формы А(х): ²треугольник х прямоугольный² и В(х): ²треугольник х равнобедренный².

Образуйте конъюнкцию и дизъюнкцию этих форм и начертите по 2 фигуры, принадлежащие множеству истинности а) конъюнкции; б) дизъюнкции.

 

Занятие 5.

Элементы математической логики.

Контрольные вопросы.

 

1. Приведите примеры высказываний с кванторами.

2. Высказывания какого вида называются кванторами общности (кванторами существования)?

3. Как построить отрицание высказывания с квантором общности (существования)?

4. Как обосновать

а) истинность высказывания с квантором общности;

б) ложность высказывания с квантором общности;

в) истинность высказывания с квантором существования;

г) ложность высказывания с квантором существования?

5. Дайте определение импликации двух высказываний. Приведите таблицу истинности импликации.

6. Как определяется эквиваленция двух высказываний? Какой вид имеет таблица истинности эквиваленции?

7. Что называется отношением логического следования? Приведите примеры отношений логического следования.

8. Дайте определение отношения равносильности. Приведите примеры отношений равносильности.

9. Как связаны множества истинности высказывательных форм А(х) и В(х), если

а) А(х) Þ В(х);

б) А(х) Û В(х) ?

 

 

Упражнения

1. Запишите, используя символы, следующие высказывания и определите их значения истинности:

а) Всякое число, умноженное на нуль, есть нуль.

б) Произведение любого числа и единицы есть это число.

в) При делении нуля на любое другое число получается нуль.

г) Квадрат любого числа неотрицателен.

2. Укажите способы установления значения истинности высказываний, содержащих кванторы, заполнив таблицу:

 

Структура высказывания   Значение истинности	("хÎХ)А(х)	($хÎХ)½А(х)
И
Л

 

3. Докажите или опровергните следующие высказывания:

а) Существуют уравнения, множество решений которых пусто.

б) Всякое целое число является натуральным.

в) Сумма любых двух четных чисел есть число четное.

г) хотя бы одно натуральное число является решением уравнения

7 : х =2.

4. Выявите логическую структуру, определите значение истинности и постройте отрицания следующих высказываний:

а) Некоторые нечетные числа делятся на 5.

б) Хотя бы одно из чисел первого десятка составное.

в) Произведение двух любых последовательных натуральных чисел составное.

5. Предложения А(х) и В(х) заданы на множестве натуральных чисел. Следует ли из предложения А(х) предложение В(х), если В(х) - ²Число х - четное², и

а) А(х) - ²Число х делится на 6²;

б) А(х) - ²Число х делится на 7²;

в) А(х) - ²число х делится на 2² ?

6.Установите, находятся ли данные пары предложений в отношении следования:

а) Треугольник АВС – равносторонний.

Треугольник АВС – равнобедренный.

б) Четырехугольник АВСD – квадрат.

Четырехугольник АВСD – ромб.

в) х делится на 3 и х делится на 6.

г) а > 2 и a > 5.

7. Среди следующих предложений установите истинные; ответы обоснуйте:

а) Если студент А сдаст все экзамены в сессию без троек, то он будет получать стипендию.

б) Число 15а натуральное, следовательно, а - натуральное число.

в) Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник - прямоугольник.

г) Если в четырехугольнике диагонали равны, то это четырехугольник - прямоугольник.

д) Для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы все его углы были равны.

е) Для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо, чтобы все его углы были равны.

8. Для ложных высказываний из задания 7 постройте отрицания различными способами.

9. Вставьте слова ²и² либо ²или² так, чтобы следующие высказывания были истинными:

а) а*b = 0 Û a = 0 ... b = 0;

б) a*b ¹ 0 Û a ¹ 0 ... b ¹ 0;

в) xÎ A Ç B Û x Î A ... x Î B;

г) x Ï A Ç B Û x Ï A ... x Ï B

10. С помощью таблиц истинности найти значение формулы:

а) A=;

б) B=().

11. Семья, состоящая из отца А, матери В и трех дочерей Д₁, Д₂ и Д₃ купила телевизор. Условились, что в первый вечер будут смотреть передачи в таком порядке:

1) Когда отец А смотрит передачу, то мать В делает то же;

2) Дочери Д₂ и Д₃ обе или одна из них смотрят передачу;

3) Из двух членов семьи – мать В и дочь Д₁ – смотрит передачу одна и только одна;

4) Дочери Д₁ и Д₂ или обе смотрят или обе не смотрят;

5) Если дочь Д₃ смотрит передачу, то отец А и дочь Д₂ делают то же.

Кто из членов семьи в этот вечер смотрит телевизор.

12. Приведите примеры таких значений а, для которых данное высказывание истинно:

а)

б)

13. Пусть высказывательная форма Q(x): “х делится на у ” определена на множестве N´N. Покажите, что высказывания и имеют различные логические значения.

14. Решите задачу: В городе совершено преступление. Подозреваемые: Джонс, Смит и Браун. Один из них – уважаемый старик, другой – мошенник, а третий – мелкий чиновник. Результаты допроса:

Браун: «Я совершил это, Джонс не виноват»;

Джонс: «Браун не виноват, преступление совершил Смит»;

Смит: «Я не виноват, виноват Браун»

Кто есть кто и кто преступник, если известно, что старик сказал правду, мошенник оба раза соврал, а чиновник один раз солгал и один раз сказал правду, а преступник один.

15. Даны высказывательные формы Р(х): “x² + x + 1 > 0” и Q(x):“x² – 4x + 3 = 0”, определенные на R. Установите, какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны:

а)

б)

в)

г)

 

 

Задание для самостоятельной работы.

I. Повторите теоретический материал по всем изученным темам.

II. Решите задачи:

1. Сформулируйте отрицания следующих высказываний:

а) на каждом курсе есть несколько отличников;

б) хотя бы на одном курсе есть хотя бы один отличник;

в) хотя бы на одном курсе все студенты отличники.

2. Докажите или опровергните следующие утверждения:

а) разность любых двух натуральных чисел есть число натуральное;

б) сумма любых трех последовательных чисел кратна трем;

в) в некоторых параллелограммах диагонали не равны;

г) среди чисел 12, 15, 17, 27, 212 найдется хотя бы одно, кратное 7;

д) любое действительное число является решением уравнения

2(х-3) = 2х - 6.

3. Пусть Р(х) : ²треугольник х равносторонний², Q(x): ² треугольник х равнобедренный², R(x): ²треугольник х прямоугольный². Сформулируйте следующие высказывания и установите их значения истинности:

а) ("х) Р(х); б) ($х) Р(х); в) ($х) Р(х) Ù R(x);

г) ($х) R(x) Ù Q(x).

4. С помощью таблиц истинности найти значение формулы:

C=.

5. На судебном процессе адвокат сделал следующее заявление: “Если Джонс – убийца, то ему известно время смерти и чем был убит Смит. Поэтому, если Джонс не знает, когда умер Смит, или не знает, чем Смита убили, то он не убийца”. Прав ли адвокат?

 

Занятие 6.

Контрольная работа.

Примерные варианты контрольной работы.

Вариант 1.

 

Задача 1. Известно, что Х - множество двузначных натуральных чисел, Е - множество четных натуральных чисел, Y - множество натуральных чисел, кратных 4. Изобразите данные множества при помощи кругов Эйлера и выделите штриховкой множество: С = Х Ç (N Y) ÈE. Каковы характеристические свойства элементов множества С?

Задача 2. На множестве Х = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} задано отношение “иметь один и тот же остаток при делении на 3”. Постройте граф отношения. Какими свойствами обладает данное отношение?

Задача 3. Составьте таблицу истинности для высказывания .

Задача 4. Сформулируйте отрицания высказываний и установите, что истинно - само высказывание или его отрицание:

а) все прямоугольники имеют центр симметрии;

б) некоторые двузначные числа делятся на 11 и на 13.

Задача 5. Постройте правильные умозаключения из следующих предложений:

а) Боярышник не является деревом. Все деревья имеют ствол. Боярышник не имеет ствола.

б) Все целые числа рациональные. Все натуральные числа рациональные. Все натуральные числа целые.

 

 

Вариант 2.

 

Задача 1. А - множество натуральных чисел, кратных 7, В - множество натуральных чисел, кратных 3, С - множество четных натуральных чисел. Изобразите с помощью кругов Эйлера множество С È В А и укажите характеристическое свойство его элементов.

Задача 2. На множестве Х = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18} задано отношение “x больше y в три раза”. Изобразите граф и выясните свойства данного отношения.

Задача 3. Составьте таблицу истинности для высказывания .

Задача 4. Сформулируйте отрицания высказываний и установите, что истинно - само высказывание или его отрицание:

а) диагонали любого ромба не равны между собой;

б) существует натуральное число n, для которого n > 3 и n + 4 = 6.

Задача 5.Постройте правильные умозаключения из следующих предложений:

а) В четырехугольнике ABCD все углы прямые. Четырехугольник ABCD - прямоугольник. Если в четырехугольнике все углы прямые, то он является прямоугольником.

б) Число 17 - нечетное. Если число делится на 2, то оно четное.

Число 17 не делится на 2.

Занятие 7.

Элементы комбинаторики.

Контрольные вопросы.

1. Как найти число элементов в объединении двух конечных множеств, если множества

а) не пересекаются;

б) имеют непустое пересечение?

2. Сформулируйте комбинаторное правило суммы на теоретико-множественном и на комбинаторном языке.

3. Как найти число элементов в декартовом произведении двух конечных множеств?

4. Сформулируйте комбинаторное правило произведения.

5. Дайте определение размещения с повторениями (без повторений).Приведите примеры размещений.

6. Приведите формулы для вычисления общего числа размещений (с повторениями и без повторений) из m элементов по k элементов.

7. Что такое перестановки из m элементов? Как найти общее число перестановок? Приведите примеры.

8. Дайте определение сочетания из m элементов по k элементов. Приведите примеры сочетаний. По какой формуле можно найти общее число сочетаний без повторений из m элементов по k элементов?

 

Упражнения.

2. В классе 40 человек. Из них 26 человек играют в баскетбол, 25 занимаются плаванием, 27-лыжами. При этом одновременно плаванием и лыжами… 3. Из 50 студентов 20 знают немецкий язык, 15-английский. Каким может быть… 4. Из 32 школьников 12 занимаются в волейбольной секции, 15 – в баскетбольной, 8 человек занимаются в обеих секциях.…

Задание для самостоятельной работы.

I. Повторите теоретический материал по теме ²Элементы комбинаторики.²

II. Попробуйте ответить на контрольные вопросы к занятию № 8. Заполните следующую таблицу:

 

 

Виды комбинаций:	Формула
на комбинаторном языке	на теоретико-множественном языке
Размещения с повторениями из m элементов по k элементов	Кортежи длины k с повторяющимися элементами, взятыми из множества, в котором m элементов
Размещения без повторений из m элементов по k элементов
Перестановки без повторений из m элементов
Сочетания без повторений из m элементов по k элементов

 

III. Решите задачи:

1. Из 100 человек английский язык изучают 28, немецкий - 30, французский - 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 5. Все три языка изучают 3 студента. Сколько студентов изучает только один язык? Сколько студентов не изучает ни одного языка?

2. На уроке литературы учитель решил проверить, кто из 40 учеников класса читал книги А, В и С. Результаты опроса оказались таковы: книгу А читали 25 учащихся, книгу В – 22, книгу С – также 22. Книгу А или В читали 33 ученика, А или С – 32, С или В – 31; все три книги прочли 10 учащихся. Сколько учеников прочитали только по одной книге? Сколько учащихся не читали ни одной из этих трех книг?

3. Найти число автомобильных номеров (номер состоит из трех букв и трех цифр).

4. В шахматном турнире участвуют 5 школьников и 15 студентов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые в турнире школьниками, если известно, что никакие два участника не набрали одинакового числа очков?

5. Студенту необходимо сдать 4 экзамена за 8 дней. Сколькими способами он может это сделать?

6. Из цифр 1, 2, 3, 5 составить все возможные четырехзначные числа, чтобы цифры в записи числа не повторялись. Сколько их получилось?

7. Сколько словарей необходимо переводчику, чтобы он мог переводить непосредственно с любого из четырех языков – русского, английского, немецкого и французского - на любой другой из этих языков.

8. В шахматном турнире принимают участие 12 шахматистов. Сколько будет сыграно партий, если любые два участника встретятся между собой один раз?

9. Из 7 девушек и 8 юношей надо выбрать

· Четыре пары для танца.

· 4 девушек и 4 юношей для общего танца.

10. Сколько пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно образовать из цифр 1,2,3,4,5 так, чтобы:

· Последней у всех чисел была цифра 4;

· Запись каждого из них начиналась с 23?

11. Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются один раз?

12. В помещении 16 ламп. Сколько существует различных вариантов освещения помещения, если одновременно должно гореть 12 ламп?

 

Занятие 8.

Элементы теории вероятностей

Контрольные вопросы.

 

1. Что такое ²испытание², ²событие²? Приведите примеры испытаний и событий.

2. Какие события называются совместимыми и несовместимыми?

3. В каком случае два события называются противоположными? Приведите примеры противоположных событий.

4. Что такое ²достоверное событие², ²невозможное событие², ²случайное событие², ²полная группа событий², ² элементарные события²?

5. Дайте классическое определение вероятности.

6. Что такое абсолютная и относительная частота события А?

7. Сформулируйте статистическое определение вероятности. Приведите примеры геометрических определений вероятности.

8. Что такое сумма и произведение событий? Приведите примеры.

9. Какие события называются независимыми? Зависимыми? Приведите примеры.

10. Сформулируйте теоремы о вероятности суммы несовместимых событий, произведения независимых событий.

11. Даете определение условной вероятности.

12. Сформулируйте теоремы о вероятности произведения зависимых событий, суммы совместимых событий,.

 

 

Упражнения.

1. В ящике имеется 100 яиц, из них 5 некачественных. Наудачу вынимают одно яйцо. Найти вероятность, что оно некачественное. 2. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти… 3. При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный выстрел равна 0,3, а вероятность выстрела на оценку “хорошо”…

Задание для самостоятельной работы.

I. Повторите теоретический материал по теме ²Элементы теории вероятностей.² Попробуйте ответить на контрольные вопросы к занятию № 9.

II. Решите задачи:

 

1.В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность, что оба шара белые.

2. Из колоды в 36 карт вынимают сразу три карты. Найти вероятность того, что среди них одна дама, одна семерка, один туз.

3. Из 30 студентов 10 имеют спортивные разряды. Какова вероятность, что выбранные наудачу 3 студента окажутся разрядниками.

4. Перевозится партия из десяти деталей. Вероятность повреждения в пути одной детали 0,1. Какова вероятность, что во время перевозки будут повреждены не более двух деталей.

5. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. Найти вероятность, что студентом будут сданы:

- только второй экзамен;

- только один экзамен;

- все три экзамена;

- хотя бы один экзамен.

 

 

Занятие 9.

Элементы теории вероятностей.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение случайной величины. Приведите примеры дискретных и непрерывных случайных величин.

2. Что такое закон распределения дискретной случайной величины?

3. Дайте определения генеральной и выборочной средней количественного признака генеральной и выборочной совокупности.

4. Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины? Какой смысл имеет математическое ожидание?

5. Дайте определения дисперсии, среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины.

6. Что такое ²генеральная совокупность², ²выборка²? Какие требования предъявляются к выборке?

7. Дайте определения варианты, вариационного ряда, объема выборки, частоты и относительной частоты варианты.

8. Что называется статистическим распределением выборки?

9. Приведите примеры графического изображения статистического распределения (в виде полигона и гистограммы).

10. Дайте определения генеральной и выборочной средней.

11.Что называется генеральной и выборочной дисперсией? Генеральным (выборочным) средним квадратическим отклонением?

 

Упражнения.

1. Дан закон распределения дискретной случайной величины. Х -4 Р 0,2 0,3 0,5 … Найти математическое ожидание МO[X], дисперсию D[X], среднее квадратическое… 2. Имеется связка из 5 ключей, из которых только один подходит к открываемому замку. Найти закон распределения…

Домашнее задание.

I. Готовиться к контрольной работе по темам: ²Элементы комбинаторики. Элементы теории вероятностей.²

II. Решить задачи.

 

1. Собрание из 100 человек выбирает председателя, секретаря и трех членов президиума. Каким числом способов это можно сделать?

2. В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

3. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартное, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

4. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, заданной законом распределения

 

Х	-5
р	0,4	0,3	0,1	0,2

 

Занятие 10.

Контрольная работа № 2.

Примерные варианты контрольной работы.

Вариант 1.

 

Задача 1. Сколько существует различных четырехзначных чисел, в записи которых встречается ровно один раз цифра 6?

Задача 2. Сколькими способами можно выбрать два числа из натуральных чисел от 1 до 30, чтобы их сумма была четна?

Задача 3. На одинаковых карточках написаны натуральные числа от 1 до 25 включительно. Наудачу дважды извлекают по одной карточке без возвращения. Какова вероятность того, что на обеих карточках окажутся числа, делящиеся на 5?

Задача 4. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй - 85%, третьей - 75%. Приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой?

Задача 5. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, заданной законом распределения

 

Xi	-2
pi	0,2	0,1	0,4	0,3

 

Вариант 2.

 

Задача 1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 1, 4, 6, 8, 0?

Задача 2. В бригаде 6 женщин и 5 мужчин. Сколькими способами можно выбрать делегацию из 4 человек, в составе которой будет не более 2 женщин.

Задача 3.На карточках написаны целые числа от 1 до 15 включительно. Наудачу извлекаются две карточки. Какова вероятность, что сумма чисел, написанных на карточках, равна 10?

Задача 4. Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: 1, 2 и 3. Среди этих клиентов 50% - первого класса риска, 30% - второго и 20% - третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для первого класса риска равна 0,01, второго – 0,03, третьего – 0,08. Какова вероятность того, что застрахованный получит денежное вознаграждение за период страхования?

Задача 5.Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, заданной законом распределения

 

Xi
pi	0,2	0,3	0,4	0,1

Литература

 

1. Баврин И.И. Высшая математика / И.И. Баврин – М.: Просвещение, 1993. (Главы VIII, IX, X). - 319 с.

2. Виленкин Н.Я. Комбинаторика / Н.Я. Виленкин - М.: Наука, 1969. - 328 с.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В. Е. Гмурман - М.: Высшая школа, 1997.- 400 с.

4. Грес П.В. Математика для гуманитариев / П. В. Грес - М.: Логос, 2003. - 120 с.

5. Губа С.Г. Практикум по теории вероятностей / С. Г. Губа - Вологда: ВГПУ, 1980. - 63 с.

6. Лаврова Н.Н. Задачник-практикум по математике / Н.Н. Лаврова, Л.П Стойлова - М.: Просвещение, 1985. - 183с.

7. Стойлова Л.П. Математика / Л.П. Стойлова - М.: Академия, 1999. (Глава I, §§ 1, 2, 3, 4, 6, глава II, §§ 8, 10). - 424 с.

8. Шикин Е.В. Гуманитариям о математике / Е.В. Шикин, Г.Е. Шикина - М.: АГАР, 1999. - 332 с.