Вихідні дані завдання й проміжні розрахунки

і	Xі	Yі	DXi = = Xi –	DYi = = Yi –	(DXi)2	DYi×DXi	(DYi)2	^ Yi		^ (DYi)2
Формула	-	-	(4)2	(4)×(5)	(5)2	-	(3) – (9)	(10)2
		0,5	-40	-0,7			0,49	0,43	0,07	0,0049
		0,7	-28	-0,5			0,25	0,661	0,039	0,0015
		0,9	-11	-0,3		3,3	0,09	0,998	-0,098	0,0096
		1,1		-0,1		-0,2	0,01	1,239	-0,139	0,0019
		1,4		0,2		1,8	0,04	1,373	0,027	0,0007
		1,4		0,2		2,6	0,04	1,45	-0,05	0,0025
		1,7		0,5		10,5	0,25	1,604	0,096	0,0092
		1,9		0,7		23,8	0,49	1,854	0,046	0,0021
S		9,6				83,8	1,66	9,609	- 0,009	0,0324

 

Середні значення факторів були розраховані як:

 

 

Визначимо на основі однокрокового методу найменших квадратів (1МНК) емпіричні коефіцієнти регресії, тобто оцінки параметрів лінійної моделі a₀ й a₁, отримані за результатами спостережень.

 

 

Зауважимо, що оцінки параметрів моделі за методом 1МНК є досить чутливими до точності розрахунків та адекватності аналітичної форми моделі. Оскільки вільний член моделі a₀ = – 0,974 ≠ 0, то рівень товарообігу не є строго пропорційним до чисельності працівників. Кількісна оцінка параметра a₁ = 0,01924 показує, що граничне збільшення товарообігу зі зростанням чисельності працівників на 1 особу становить 19 грн 24 коп.

Еластичність товарообігу відносно чисельності працівників визначається коефіцієнтом еластичності:

 

 

Таким чином, у разі збільшення чисельності працівників на 1 % роз-дрібний товарообіг гранично зросте на 1,81 %.

Для перевірки гіпотези про те, чи значимо відрізняється від нуля вибірковий коефіцієнт a₁, перевіряємо статистичну значущість цього коефіцієнта, використовуючи критерій Стьюдента, тобто перевіряємо гіпотезу:

Н₀: a_j = 0 для всіх j = 1, 2, …, m

проти відповідних альтернативних гіпотез

Н₁ : a_j ≠ 0 для всіх j = 1, 2, ..., m.:

 

.

 

Знаходимо по таблицях розподілу Стьюдента значення tp для числа ступенів свободи k = 8 – 2 = 6, рівня значимості α = 0,05 (tp = 1,943).

Порівнюючи значення |t_a1| й tp, дійдемо висновку, що отримане значення для коефіцієнта a₁ статистично значуще (|17,49| > 1,943), у такий спосіб приймається гіпотеза H₁, що a₁ ≠ 0, тобто зміна чисельності працівників істотно впливає на величину товарообігу.

Рівняння залежності між факторами X й Y буде мати такий вигляд:

 

 

Знайдемо інтервальні оцінки параметра a₁:

 

a₁ – Da₁ £ a₁ £ a₁ + Da₁,

Da₁ = tp×s_a1.

Для рівня значущості a = 0,05 одержуємо, що з імовірністю 0,95 істинні значення параметра a₁ лежать у таких межах:

 

0,01924 – 0,00214 £ a₁ £ 0,01924 + 0,00214,

0,01710 £ a₁ £ 0,02138.

 

Проаналізуємо відхилення фактичних даних від теоретичних (нормативних).

Насамперед, необхідно звернути увагу на магазини з негативним відхиленням (3, 4, 6). У реальній ситуації необхідно звернути увагу на причини відхилення фактичного значення товарообігу від вирівняного (теоретичного або нормативного значення). Це можуть бути різні причини (віддаленість магазина від центра, постачання товарами, що користуються слабким попитом тощо).

При чисто статистичному аналізі необхідно зазначити, що на основі аналізу відхилень у магазинів з номерами 1, 2, 5, 7, 8 товарообіг ефективніше, тобто його фактична величина вище теоретичної.

Розрахуємо коефіцієнт детермінації для використовуваної моделі:

 

 

Коефіцієнт детермінації показує, що 98 % (R² × 100 %) загальної зміни роздрібного товарообігу пояснюється змінами числа працівників, у той час як на інші фактори доводиться лише 2 % зміни.

Коефіцієнт кореляції є мірою тісноти зязку всіх пояснювальних змінних із залежною і визначається:

 

 

Оскільки коефіцієнт кореляції є також вибірковою характеристикою, яка може відхилятись від свого „істинного” значення, значущість цього коефіцієнта також перевіряється за допомогою t-критерію:

 

 

Оскільки |t_R| > tp (17,15 > 1,943), то можна зробити висновок про значущість коефіцієнта кореляції між залежною і пояснювальною змінними.

Перевіримо статистичну значущість моделі в цілому за допомогою критерію Фішера. Розрахуємо статистику Фішера за формулою:

 

.

 

Розраховане значення статистики Фішера необхідно порівняти з табличним для числа ступенів свободи k₁ = 1, k₂ = 8 – 2 = 6, рівня значущості α = 0,01 (F_0,01 (1;6) = 13,74). Оскільки 294 > 13,74, то приймається гіпотеза, що побудована модель є статистично значущою, тобто звязок між залежною та пояснювальною змінною є істотний.

Оскільки побудована лінійна проста економетрична модель є адекватною і статистично значущою як по окремим параметрам так і в цілому, то отримане рівняння залежності товарообігу від чисельності працівників може бути використане для прогнозу.

Зокрема, нехай планується відкриття магазина такого ж типу із чисельністю працівників Xпр = 140 осіб. Тоді прогнозований товарообіг по рівнянню регресії складе:

 

Yпр = – 0,974 + 0,01924 × 140 = 1,72 (тис. грн.)

 

З погляду прийнятих допущень отриманий прогноз є лише точковою оцінкою істинної детермінованої складової Y(X), тому необхідно знайти інтервальні оцінки для отриманого прогнозу, що враховують помилку прогнозу:

 

Yпр – DYпр £ пр £ Yпр + DYпр.

 

Помилку прогнозу DYпр знаходимо відповідно до формули:

 

DYпр = = 0,095 ,

тоді

 

1,72 - 0,095 £ Yпр £ 1,72 + 0,095, 1,625 £ Yпр £ 1,815.

 

На рис. 3 наведено графік лінійної моделі з довірчими інтервалами, а також фактичні значення результативної ознаки Y.

 

Рис. 3. Фактичні та теоретичні значення Y і довірчі інтервали