Критерий согласия хи-квадрат Пирсона

Критерием согласия называют статистический критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения, полученного на основе выборочных данных. Для этого вводится количественная мера соответствия гипотетической и эмпирической функций распределения, полученная на основе выборочных данных . Рассматривается гипотеза о том, что можно аппроксимировать функцией распределения . Гипотеза принимается, если выполняется условие , в противном случае гипотезу следует отвергнуть. Величина порога зависит от выбранного критерия. Существуют различные критерии согласия: Пирсона, Колмогорова, Фишера, Смирнова и др. Рассмотрим наиболее часто употребляемый критерий Пирсона для проверки гипотезы о законе распределения выборочных данных.

Разобьем всю область значений случайной величины на конечное число неперекрывающихся интервалов . Обозначим . Пусть в выборке число выборочных данных, попадающих в интервал , равно . Примем в качестве критерия согласия величину

,

которая является случайной. Ее конкретное значение будем обозначать . Пирсон показал, что распределение случайной величины при асимптотически приближается к -распределению с степенями свободы и плотностью вероятности

,

где - число параметров гипотетического распределения, - гамма-функция. Например, если в качестве гипотетического распределения выбрано экспоненциальное, то , для гауссовского . По имеющимся таблицам находим величину , определяемую уравнением

.

Вероятность называют уровнем значимости критерия или доверительной вероятностью. Ее величина характеризует частоту отклонения истинной гипотезы в длинной последовательности принятия решений. Найденная величина называется доверительной границей.

При достаточно малой величине вероятности получаем хорошее правило проверки гипотезы об истинности гипотетического распределения : если полученное значение , то гипотетическое распределение считают несогласующимся
с экспериментальными данными, в противном случае, при , гипотетическое распределение не противоречит экспериментальным данным и гипотеза принимается. В таблице приведены значения для различных значений числа степеней свободы и вероятностей . Следует отметить, что, получив для данной выборки , мы не делаем определенного вывода о том, что выбранная гипотеза о распределении справедлива, а говорим лишь о том, что гипотеза не противоречит полученным результатам опытов, что она согласуется с ними и ее можно принять.

Таблица значений процентных точек

хи-квадрат распределения

	Уровень значимости
0,2	0,1	0,05	0,01	0,005	0,001
	1,642	2,706	3,841	6,635	7,879	10,827
	3,219	4,605	5,991	9,210	10,597	13,815
	4,642	6,251	7,815	11,345	12,838	16,268
	5,989	7,779	9,488	13,277	14,860	18,465
	7,289	9,236	11,070	15,086	16,750	20,517
	8,558	10,645	12,592	16,812	18,548	22,457
	9,803	12,017	14,067	18,475	20,278	24,322
	11,030	13,362	15,507	20,090	21,955	26,125
	12,242	14,684	16,919	21,666	23,589	27,877
	13,442	15,987	18,307	23,209	25,188	29,588
	14,631	17,275	19,675	24,725	26,757	31,264
	15,812	18,549	21,026	26,217	28,300	32,909
	16,985	19,812	22,362	27,688	29,819	34,528
	18,151	21,064	23,685	29,141	31,319	36,123
	19,311	22,307	24,996	30,578	32,801	37,697
	20,465	23,542	26,296	32,000	34,267	39,252
	21,615	24,769	27,587	33,409	35,718	40,790
	22,760	25,989	28,869	34,805	37,156	42,312
	23,900	27,204	30,144	36,191	38,582	43,820
	25,038	28,412	31,410	37,566	39,997	45,315
	26,171	29,615	32,671	38,932	41,401	46,797
	27,301	30,813	33,924	40,289	42,796	48,268
	28,429	32,007	35,172	41,638	44,181	49,728
	29,553	33,196	36,415	42,980	45,558	51,179
	30,675	34,382	37,652	44,314	46,928	52,620
	31,795	35,563	38,885	45,642	48,290	54,052
	32,912	36,741	40,113	46,963	49,645	55,476
	34,027	37,916	41,337	48,278	50,993	56,893
	35,139	39,087	42,557	49,588	52,336	58,302
	36,250	40,256	43,773	50,892	53,672	59,703