ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение

Высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций

им. проф. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»

 

 

З А Д А Н И Я

к контрольной работе студентов-бакалавров

заочного факультета по курсу

«ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ»

и методические указания по их выполнению

 

Направление подготовки бакалавров

Инфокоммуникационные технологии и системы связи

 

 

Санкт-Петербург

 

УДК 621.372

Задания к контрольной работе студентов-бакалавров заочного факультета по курсу «Теория электрических цепей» и методические указания по их выполнению / В.Я. Павлов, Н.К. Логвинова, З.В.Зайцева, Ю.К. Черных, М.С.Глебова; ФГОБУВПО СПбГУТ. – СПб, 2012.

 

 

Методические указания по курсу «Теория электрических цепей» предназначены для студентов-бакалавров направления 210700 заочного факультета. Содержат задания к контрольной работе, методические указания по их выполнению, примеры решения типовых задач, контрольные вопросы и необходимую литературу.

 

Ответственный редактор В.Я. Павлов

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящие методические указания предназначены для студентов-бакалавров заочного факультета.

Приступая к выполнению контрольной работы, студент должен изучить соответствующие разделы дисциплины, ориентируясь на перечень основных вопросов и указанную литературу, усвоить материал каждого раздела, ответить на контрольные вопросы, разобраться в решении типовых задач.

Контрольные задачи составлены в пяти вариантах.

Все исходные данные к задачам выражаются через величины M и N. Студент должен определить свой вариант и величины M и N по номеру зачётной книжки следующим образом: вариант определяется по последней цифре; цифрам 1 и 2 соответствует вариант А, цифрам 3 и 4 – вариант Б, цифрам 5 и 6 – вариант В, цифрам 7 и 8 – вариант Г, цифрам 9 и 0 – вариант Д. Величина N равна второй от конца цифре; при этом цифру 0 следует заменить цифрой 10. Величина M равна третьей от конца цифре; при этом цифру 0 следует заменить цифрой 10. Например, номеру зачётной книжки 114090 соответствует вариант Д: M=10; N=9.

Контрольная работа должна быть аккуратно и разборчиво написана в отдельной ученической тетради с полями 4 см, все страницы пронумерованы. Для каждой задачи должна быть вычерчена схема, приведено условие и численные значения параметров. Все величины: сопротивления, напряжения, токи и т.п., буквенные обозначения которых применяются в ходе решения, должны быть показаны на схеме. В пояснительной записке должен быть указан порядок решения задачи, записаны расчётные формулы, показано, какие числа в них подставляются.

При решении следует пользоваться международной системой единиц СИ. В промежуточных формулах наименование единиц не указывается. В окончательных формулах и в окончательных цифровых результатах обязательно следует указать единицы измерения, в которых получен ответ.

При расчётах следует ограничиваться точностью в четыре значащие цифры.

При построении графиков необходимо привести таблицы расчётов значений функций и пример расчёта. На графике должны быть отмечены расчётные точки с численными метками вдоль осей, указаны масштабы по осям координат.

При собеседовании студент должен быть готов дать пояснения по существу решения каждой задачи, входящей в контрольную работу.

При оформлении на персональном компьютере (ПК) контрольная работа состоит из распечаток ПК формата А4 (297х210 мм), которые должны быть сброшюрованы.

На первой страницы работы необходимо написать основные данные: номер варианта, величины M и N, курс, факультет, фамилию, имя, отчество, номер зачётной книжки.

Графики рекомендуется рассчитывать на ПК, используя любую из программ: Mathcad, FASTMEAN DEMO, Electronics Workbench и другие.

По всем возникшим в ходе выполнения контрольной работы вопросам студент может обратиться на кафедру ТЭЦ за консультацией.

Если контрольная работа не зачтена, то исправления решения задач или их новое решение выполняются на последующих чистых листах и высылаются вместе с проверенной ранее работой на повторное рецензирование. Не допускается внесение исправлений в проверенную работу.

При сдаче экзамена студент предъявляет экзаменатору зачтённую контрольную работу.

При подготовке к экзамену студент должен изучить все разделы дисциплины, входящие в контрольную работу и уметь ответить на контрольные вопросы.

 

 

ЗАДАНИЕ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

 

Задача 1

Использование принципа наложения для расчёта

Линейной резистивной цепи с двумя независимыми источниками

Для цепи, схема которой приведены в табл. 1.1, рассчитайте все токи, используя принцип наложения.

Для этого:

1. Перерисуйте схему.

2. Выберите произвольно и покажите стрелками положительные направления всех токов.

3. Нарисуйте схему для расчёта частичных токов, создаваемых источником напряжения.

4. Нарисуйте схему для расчёта частичных токов, создаваемых только источником тока.

5. На каждой из этих схем покажите стрелками положительные направления частичных токов.

6. Вычислите все частичные токи в обеих схемах.

7. Составьте таблицу значений частичных и истинных токов во всех ветвях цепи.

 

 

Задача 2

Расчёт линейной резистивной цепи с двумя

Независимыми источниками методом узловых напряжений

Для цепи, схема которой приведена в табл. 1.1, рассчитайте все токи, используя метод узловых напряжений.

Для этого:

1. Перерисуйте схему.

2. Пронумеруйте все узлы, предварительно выбрав базисный узел.

3. Составьте систему узловых уравнений. Уравнения составьте в алгебраической форме и с численными коэффициентами.

4. Вычислите узловые напряжения.

5. Вычислите токи во всех ветвях, предварительно выберите и покажите их положительные направления.

6. Результаты расчёта сравните с токами, вычисленными в задаче 1.

 

Таблица 1.1

 

 

 

Задача 3

Расчёт линейной цепи с одним независимым источником

Гармонических колебаний методом комплексных амплитуд

Для цепи, схема которой приведена в табл. 1.2, рассчитайте все токи и составьте уравнение баланса средней мощности.

Для этого:

1. Перерисуйте схему и замените заданное гармоническое колебание u₀(t) или i₀(t) соответствующей комплексной амплитудой.

2. Запишите комплексные сопротивления элементов цепи.

3. Найдите общее комплексное сопротивление относительно зажимов источника.

4. Применяя закон Ома в комплексной форме, вычислите комплексную амплитуду тока через источник напряжения или комплексную амплитуду напряжения на зажимах источника тока.

5. Определите комплексные амплитуды остальных токов цепи.

6. Запишите мгновенные значения всех вычисленных токов.

7. Составьте уравнение баланса средней мощности и убедитесь в правильности расчётов.

 

 

Таблица 1.2

 

 

 

Задача 4

Определение комплексной передаточной функции цепи 1-го порядка. Построение амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик

Для этого: 1. Выберите для своего варианта схему пассивной RL или RC цепи из табл. 1.3 и… 2. Найдите требуемую комплексную передаточную функцию H(jω) в общем виде через её параметры R, L, C:

Задача 5

Анализ переходных колебаний в электрической цепи

Классическим методом

Найдите закон изменения напряжения и тока на реактивном элементе u_C(t), i_C(t) или u_L(t), i_L(t) после коммутации при условии, что до коммутации в цепи был установившийся режим.

Для этого:

1. Выберите для своего варианта схему цепи и рассчитайте её параметры через M и N из табл. 1.4, если последняя цифра номера зачётной книжки нечётная, или из табл. 1.5, если – чётная (цифру 0 считать чётной).

2. Составьте для схемы, получившейся после коммутации, систему уравнений по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений и получите одно дифференциальное уравнение относительно u_C(t) или i_L(t).

3. Найдите путём решения полученного дифференциального уравнения искомую реакцию цепи u_C(t) или i_L(t), по которой определите i_C(t) или u_L(t) соответственно.

4. Постройте графики функций u_C(t), i_C(t) или i_L(t), u_L(t).

 

 

Таблица 1.4

 

 

Таблица 1.5

 

Задача 6

Анализ гармонических колебаний

В длинной линии без потерь

Первичные параметры каждого участка выбраны так, что фазовая скорость Vф, а, следовательно, и длина волны λ на всех участках одинакова. В…   1. Рассчитайте входное сопротивление Zвх2 и определите режим работы линии длиной 2.

Определение электрической цепи. Понятие тока, напряжения, мощности и энергии

Электрической цепью называется электромагнитная система, состоящая из преобразователей энергии, электромагнитные процессы в которой целесообразно… Под электрическим током в проводниках понимают упорядоченное движение… Току приписывается произвольно выбранное положительное направление, указываемое стрелкой. Поскольку протекание тока,…

Элементы электрических цепей и их свойства

Под элементом электрической цепи понимают идеализированное устройство, отображающее какое-либо одно из свойств реальной электромагнитной системы.… ЛИНЕЙНЫЕ ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ Резистивное сопротивление – такой элемент электрической цепи, который отображает свойство электромагнитного поля…

Законы Кирхгофа

  В основе методов анализа электрических цепей лежат законы Кирхгофа. Они верны… Первый закон Кирхгофа гласит: алгебраическая сумма токов в ветвях, сходящихся к любому узлу электрической цепи,…

Контрольные вопросы

1. Что называется электрическим током? Что означает положительное (отрицательное) значение тока?

2. Что называется напряжением? Когда оно принимает положительное (отрицательное) значение?

3. Какие Вы знаете пассивные элементы электрических цепей? Каковы соотношения между током и напряжением для линейного резистивного сопротивления, индуктивности, ёмкости?

4. Какой активный элемент электрической цепи называется источником напряжения (источником тока)?

5. Какие элементы электрической цепи называются зависимыми источниками? Перечислите типы зависимых источников. Какими соотношениями характеризуется каждый из них?

6. Дайте определение узла, ветви, контура.

7. Сформулируйте первый и второй законы Кирхгофа.

8. Сколько независимых уравнений можно составить по первому и второму законам Кирхгофа?

 

2.4. Расчёт линейных резистивных цепей с одним независимым источником путём эквивалентных преобразований схемы заданной цепи

[1, c.50–55; 2, c.30–33]

 

Последовательным соединением элементов называется такое, при котором через все элементы проходит один и тот же ток (рис. 2.7,а). Последовательное соединение резистивных сопротивлений можно заменить одним эквивалентным сопротивлением (рис. 2.7,б) , где

 

где n – число последовательно соединённых элементов.

 

 

а) б)

Рис. 2.7

Параллельным соединением элементов называется такое, при котором ко всем элементам приложено одно и то же напряжение (рис. 2.8,а). При параллельном соединении резистивных сопротивлений эквивалентный элемент (рис. 2.8,б) выражается через проводимость и равен сумме проводимостей параллельно соединенных элементов:

 

где m – число параллельно соединённых элементов.

 

а) б)

Рис. 2.8

 

Для цепи, состоящей из двух элементов R₁ и R₂ (рис. 2.8,а) имеем

R_э2 =R₁∙R₂/(R₁+R₂); u=i∙R₁∙R₂/(R₁+R₂); i₁=u/R₁=i∙R₂/(R₁+R₂); i₂=u/R₂=i∙R₁/(R₁+R₂).

Анализ последовательно-параллельных цепей с одним источником рекомендуется выполнять путём эквивалентных преобразований схемы заданной цепи в простую цепь, состоящую из источника и общего эквивалентного сопротивления цепи.

 

2.5. Принцип наложения и его применение для расчёта цепей

[1, c.14–15; 2, c.33–34, 47–48]

При изучении данного вопроса необходимо твёрдо усвоить, что принцип наложения применим только к линейным электрическим цепям. Согласно принципу наложения, реакция линейной электрической цепи на совокупность воздействий равна сумме реакций, вызываемых в той же цепи каждым из воздействий в отдельности.

Под воздействиями в электрических цепях понимают напряжения и токи с заданными законами изменения во времени, которые создают в цепи другие токи и напряжения, называемые реакциями. Часто воздействия – это источники, а реакции – токи и напряжения, создаваемые этими источниками.

Если в цепи имеется несколько источников, то при нахождении тока (напряжения) можно найти ток (напряжение), создаваемый каждым из источников в отдельности, а затем полученные токи (напряжения) алгебраически сложить.

Пример 2.5.1

Рассчитайте токи во всех ветвях электрической цепи, схема которой показана на рис. 2.9, используя принцип наложения, если параметры элементов цепи известны:

u₀₁=30 B, i₀₅=1 A, R₁=30 Ом, R₂=70 Ом, R₃=50 Ом, R₄=50 Ом.

Сделайте проверку полученного решения по законам Кирхгофа.

 

 

Рис. 2.9

Решение

В схеме с двумя источниками на рис. 2.9 стрелками показаны положительные направления токов i₁, i₂, i₃, i₄, i₀₁, выбранные произвольно. В схеме показаны узлы 0, 1, 2, 3. Согласно принципу наложения ток i_k от двух источников равен алгебраической сумме частичных токов i_k’, i_k’’ от первого и второго источников в отдельности. Решение задачи состоит из четырёх этапов.

 

1. Источник напряжения u₀₁ в цепи оставлен, а источник тока удалён (рис. 2.10,а), т.е. вместо него имеем обрыв ветви. В схеме с одним источником напряжения с задающим напряжением u₀₁ вычисляем частичные токи i₁’, i₂’, i₃’, i₄’, i₀₁’ путём эквивалентных преобразований схемы заданной цепи. Направление частичных токов тоже выбирается произвольно.

В схеме на рис. 2.10,а резисторы R₁ и R₂ (R₃ и R₄) соединены последовательно, так как по ним протекает один и тот же ток i₁’=i₂’ (i₃’=i₄’). Заменяем их эквивалентным сопротивлением R_э1=R₁+R₂=30+70=100 Ом (R_э2=R₃+R₄=50+50=100 Ом) (Рис. 2.10, б).

 

 

 

а) б)

Рис. 2.10

Вычисляем частичные токи, используя закон Ома и первый закон Кирхгофа:

i₁’=i₂’=u₀₁/R_э1=30/100=0,3 А; i₃’=i₄’=u₀₁/R_э2=30/100=0,3 А; i₀₁’=i₂’+i₄’=0,6 А.

 

2. Источник тока i₀₁ в цепи оставлен, а источник напряжения удалён (рис. 2.11,а), т.е. вместо него показано короткое замыкание (провод). В схеме с одним источником тока с задающим током i₀₁ вычисляем частичные токи i₁’’, i₂’’, i₃’’, i₄’’, i₀₁’’ путём эквивалентных преобразований схемы заданной цепи.

В схеме на рис. 2.11,а резисторы R₁ и R₂ (R₃ и R₄) соединены параллельно, так как к ним приложено одно и то же напряжение u₁₂ (u₃₁).

Заменяем параллельные резисторы их эквивалентными сопротивлениями R_э3=R₁∙R₂/(R₁+R₂)=2100/100=21 Ом (R_э4=R₃∙R₄/(R₃+R₄)=2500/100=25 Ом) (Рис. 2.11,б). Вычисляем частичные токи, используя закон Ома и первый закон Кирхгофа: u_Rэ3=i₀₅∙R_э3=1∙21=21 В; u_Rэ4=i₀₅∙R_э4=1∙25=25 В;

i₁’’=u_Rэ3/R₁=21/30=0,7 А; i₂’’=u_Rэ3/R₂=21/70=0,3 А; i₃’’=u_Rэ4/R₃=25/50=0,5 А;

i₄’’=u_Rэ4/R₄=25/50=0,5 А; i₀₁’’+i₁’’–i₃’’=0; i₀₁’’= –i₁’’+i₃’’= –0,7 + 0,5 = –0,2 А.

 

 

а) б)

Рис. 2.11

 

3. Нахождение истинных токов в ветвях цепи

Истинные токи определяются как алгебраическая сумма частичных токов, т.е. сравниваются направление частичных токов с направлением истинного тока в исходной цепи.

Для ветви 1:

i₁ =i₁’+i₁’’ =0,3+0,7 =1 A.

Для ветви 2:

i₂ =i₂’–i₂’’ =0,3 –0,3 =0 A.

Для ветви 3:

i₃ =i₃’ –i₃’’ =0,3 –0,5 = –0,2 A.

Для ветви 4:

i₄ =i₄’+i₄’’ =0,3+0,5 =0,8 A.

Для ветви 01:

i₀₁ =i₀₁’–i₀₁’’ =0,6+0,2 = 0,8 A.

 

Ответ представлен в виде таблицы.

Таблица 2.2

i1, A	i2, A	i3, A	i4, A	i01, A	i05, A	u01, B
		– 0,2	0,8	0,8

 

 

4. Проверка решения по законам Кирхгофа.

– i₀₁ + i₁ + i₃ = –0,8 + 1 – 0,2 = 0; (ЗТК. Узел 1)

– i₁ + i₀₅ + i₂ = –1 +1 –0 = 0; (ЗТК. Узел 2)

– i₀₅ – i₃ + i₄ = –1 +0,2 + 0,8 = 0; (ЗТК. Узел 3)

i₁∙R₁ + i₂∙R₂ – u₀₁ = 1∙30 + 0∙70 – 30 = 0; (ЗНК)

i₃∙R₃ + i₄∙R₄ – u₀₁ = –0,2∙50 + 0,8∙50 – 30 = 0. (ЗНК)

 

Две схемы замещения генераторов

[1, c.41–44, 55–56; 2, c.35–37, 57–60]

Термин «генератор» означает реальный источник энергии, т.е. источник напряжения или тока с учётом потерь энергии. Поскольку потери энергии, по определению, описываются с помощью резистивного сопротивления, то возможны две схемы генераторов – генератор напряжения и генератор тока. Эти схемы представлены на рис. 2.12.

Если значения внутренних сопротивлений генераторов одинаковы R_ГН= R_ГТ = R_Г, а задающее напряжение генератора напряжения связано с задающим током генератора тока соотношением u_Г = i_Г ∙ R_Г, то генераторы напряжения и тока считаются эквивалентными, то есть на их зажимах создаются одинаковые напряжения и проходят одинаковые токи при подключении внешней цепи.

 

 

 

а) б)

Рис. 2.12

 

 

Метод узловых напряжений

В данном методе переменными или неизвестными системы уравнений анализируемой цепи являются узловые напряжения U1у ,U2у, U3у, … UNу, т. е.… Для цепи, имеющей N = Nу – 1 независимых узлов, каноническая форма записи… + G11∙U1у – G12∙U2у – G13∙U3у – … – G1N∙UNу = I1у,

Пример 2.7.1

Для цепи на рис. 2.13 методом узловых напряжений определить все токи, если u₀₁=3 B; u₀₆=5 В; i₀₃=2 A; R₂ = R₄ = R₅ = R₆ = 1000 Ом.

Сделайте проверку полученного решения по законам Кирхгофа.

 

Рис. 2.13

 

Решение

Если рассчитываемая цепь содержит ветвь, состоящую только из источника напряжения, то в качестве базисного узла следует выбирать зажим ветви, к которому подключён этот источник напряжения. Узловое напряжение базисного узла принимается равным нулю, то есть U_0у=0. Пронумеруем все узлы 0, 1, 2, 3 так, как показано на рис. 2.13.

Поскольку узловым напряжением называется разность потенциалов между неким узлом цепи и базисным узлом, то напряжение узла 1 совпадает с напряжением источника напряжения u₀₁, то есть U_1у=u₀₁=3 В. Для оставшихся узлов 2 и 3 нужно составить узловые уравнения.

Для узла 2:

–∙ u_1у + (+ ) ∙ U_2у – ∙ U_3у = i₀₃.

Для узла 3:

–∙ u_1у – ∙ U_2у – (+ + ) ∙ U_3у = .

Слагаемое в правой части последнего уравнения явилось следствием замены схемы генератора напряжения в ветви u₀₆ – R₆ на генератор тока i₀₆= в этой ветви.

Заменим u₀₁, u₀₆, i₀₃, R₂, R₄, R₅, R₆ численными значениями.

–0,003 + 0,002∙U_2у – 0,001∙U_3у = 2,

–0,003 – 0,001∙U_2у + 0,003∙U_3у = 0,005.

Умножим уравнения на 1000 и перенесём числа в правую часть.

2∙U_2у – U_3у = 2003,

–U_2у + 3∙U_3у = 8.

Решение системы уравнений: U_2у = 1203,4 B; U_3у = 403,8 B.

Для нахождения токов в ветвях задаём (произвольно) положительные направления отсчёта этих токов (см.рис. 2.13).

Тогда, используя закон Ома, получаем:

₂ = (U_1у – U_2у )/R₂ = (3 –1203,4)/1000 = –1,2004 А ;

₄ = (U_2у – U_3у )/R₄ = (1203,4 –403,8)/1000 = 0,7996 А ;

₅ = (U_3у – U_0у)/R₅ = (403,8 –0)/1000 = 0,4038 А ;

₆ = (U_1у – U_3у )/R₆ + u₀₆/R₆= (3 –403,8)/1000 + 0,005 = –0,3958 А.

Ток i₁ через источник напряжения вычисляем по первому закону Кирхгофа. Для нулевого узла схемы имеем: ₁ + i₀₃ – ₅ =0. Тогда

₁ = ₅– ₀₃ = 0,4038 –2 = –1,5962 А.

Ответ представлен в виде таблицы.

Таблица 2.3

1, A	2, A	4, A	5, A	6, A	03, A	01, B	06, B
–1,5962	–1,2004	0,7996	0,4038	–0,3958

 

Проверка решения по законам Кирхгофа.

– ₁ + ₂ + ₆ = 1,5962 –1,2004 –0,3958 = 0;

– ₀₃ – ₂ + ₄ = –2 + 1,2004 + 0,7996 = 0;

– ₄ – ₆ + ₅ = –0,7996 + 0,3958 + 0,4038 = 0;

₂∙R₂ + ₄∙R₄ – ₆∙R₆ + ₀₆ = –1200,4 + 799,6 + 395,8 +5 = 0;

– ₀₆ + ₆∙R₆ + ₅∙R₅ – ₀₁ = –5 –395,8 + 403,8 –3 = 0.

 

Контрольные вопросы

1. Какое соединение элементов называется последовательном (параллельным)?

2. Сформулируйте принцип наложения.

3. Относительно каких переменных составляются уравнения при решении задачи методом узловых напряжений?

4. Как записывается каноническая система узловых уравнений?

5. Сколько независимых уравнений можно составить для цепи по методу узловых напряжений?

6. Что представляют собой коэффициенты и свободные члены системы узловых уравнений?

7. Как найти токи в элементах цепи, если известны узловые напряжения?

8. Какие две схемы замещения генератора с резистивным внутренним сопротивлением Вы знаете?

9. Когда два генератора можно считать эквивалентными? Как пересчитать генератор с источником напряжения в эквивалентный ему генератор с источником тока и наоборот?

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧИ 3

Гармонические напряжения и токи

При изучении данного вопроса необходимо обратить внимание на следующее. Гармонические колебания тока или напряжения могут быть описаны одной из…  

Символическое изображение косинусоидальных функций комплексными числами. Законы Кирхгофа в комплексной форме

Каждой косинусоидальной функции заданной частоты ω можно сопоставить вектор на комплексной плоскости. С другой стороны, каждый вектор можно… m=Um∙ejψ = Um ∙ (cos + j sin ψ) = Um cos ψ + j… где j = – мнимая единица; a – вещественная часть; jb – мнимая часть; b – коэффициент при мнимой части комплексного…

Пример 3.2.1

Записать мгновенное значение гармонического напряжения по заданному комплексному действующему значению:

= –3 + j4.

Решение

От заданного комплексного действующего значения в алгебраической форме перейдём к комплексной амплитуде в показательной форме.

_m = ∙= ∙(–3+j4) = ∙∙e^{j[arctg(–4/3)+π]} =

= ∙5∙e^{j(180°–53,13°)} =7,071∙e^j126,87° B;

u(t) = Re(m ∙ e^jωt) = Re(7,071 ∙ e^j126,87° ∙ e^jωt) = 7,071 ∙ cos(ωt + 126,87°) B.

 

Закон Ома в комплексной форме. Комплексные сопротивления и проводимости. Символический метод анализа гармонических колебаний

Комплексные амплитуды напряжения и тока на входе двухполюсника (рис. 3.6) формально удовлетворяют закону Ома: m = Z(jω)∙ m; m = Y(jω)∙ m, где Z(jω) = R + jX = |Z(jω)|∙ – комплексное сопротивление цепи,

Пример 3.3.1

Для цепи, схема которой приведена на рис. 3.7,а, рассчитать все токи и напряжения, записать их мгновенные значения, вычислить действующие значения, если u(t)=20∙cos(10⁵∙t) В; L=0,4∙10^–3 Гн; С=0,25∙10^–6 Ф; R₁=40 Ом; R₂=80 Ом.

 

а) б)

Рис. 3.7

Решение

Применим символический метод. Зададимся положительными направлениями токов в цепи и покажем их стрелками на рис. 3.7. Отметим узлы 0, 1.

1. Переходим к комплексной схеме замещения цепи (рис. 3.7,б). Определим параметры схемы:

_m = U_m∙e^jψu = 20 В; = 0;

Z_L = jωL = j∙10⁵∙0,4∙10^–3 = j40 = 40∙e^j90° Ом;

Z_C = = = –j40 = 40∙e^–j90° Ом;

Z₁ = R₁ =40 Ом; Z₂ = R₂ = 80 Ом.

2. Определяем неизвестные комплексные токи и напряжения линейной цепи с одним независимым источником напряжения путём эквивалентных преобразований схемы заданной цепи.

Последовательное соединение элементов Z₁ и Z_C заменим эквивалентным Z_Э1:

Z_Э1 = Z₁ + Z_C = 40 – j40 = 40∙(1–j) = 40∙∙e^–jarctg(1) = 56,57∙e^–j45° Ом.

Параллельное соединение элементов Z₂ и Z_Э1 заменим эквивалентным Z_Э2:

Z_Э2 = Z₂∙Z_Э1/(Z₂+Z_Э1) = 80∙40∙(1–j)/(120–j40) = 16∙(2–j) = 16∙∙e^–j26,57° Ом.

Вычислим комплексную амплитуду тока _mL:

_mL = _m/(Z_L+Z_Э2) =20/(32+j24) =0,1∙(4–j3) =0,1∙∙e^{–jarctg(0,75)} =0,5∙e^–j36,87° А.

Вычислим комплексное напряжение ₁₀ между узлами 1 и 0 схемы:

₁₀ = _mL∙Z_Э2 = 0,5∙e^–j36,87° ∙ 16∙∙e^–j26,57° = 17,89∙e^–j63,44° В.

Вычислим комплексные амплитуды токов _m1 и _m2:

_m1 = ₁₀/Z_Э1 = 17,89∙e^–j63,44° / (56,57∙e^–j45° ) = 0,3162∙e^–j18,44° А,

_m2 = ₁₀/Z₂ = 17,89∙e^–j63,44° / 80 = 0,2236∙e^–j63,44° А.

Вычислим комплексные амплитуды напряжений _mL, _mC, _m1, _m2:

_mL = _mL∙Z_L = 0,5∙e^–j36,87°∙40∙e^j90° = 20∙e^j53,13° В,

_mC = _m1∙Z_C = 0,3162∙e^–j18,44°∙40∙e^–j90° = 12,648∙e^–j108,44° В,

_m1 = _m1∙Z₁ = 0,3162∙e^–j18,44°∙40 = 12,648∙e^–j18,44° В,

_m2 = _m2∙Z₂ = 0,2236∙e^–j63,44°∙80 = 17,888∙e^–j63,44° В.

3. Осуществляем переход от найденных комплексных амплитуд токов и напряжений к косинусоидальным функциям по формулам

i(t) = Re [ _m∙e^jωt], u(t) = Re [ _m∙e^jωt].

Получим для ω=10⁵ рад/с реальные токи и напряжения

i_L(t) = 0,5∙cos(ωt – 36,87°) A; i₁(t) = 0,3162∙cos(ωt – 18,44°) A;

i₂(t) = 0,2236∙cos(ωt – 63,44°) A; u_L(t) = 20∙cos(ωt + 53,13°) B;

u_C(t) = 12,648∙cos(ωt – 108,44°) B; u₁(t) = 12,648∙cos(ωt – 18,44°) B;

u₂(t) = 17,888∙cos(ωt – 63,44°) B.

Действующие значения гармонического тока и напряжения вычислены по формулам I=I_m/, U=U_m/ и представлены в табл. 3.3.1

Таблица 3.3.1

IL A	I1 A	I2 A	UL B	UC B	U1 B	U2 B	U B
0,3536	0,2236	0,1581	14,142	8,945	8,945	12,649	14,142

 

 

3.4. Применение символического метода для расчёта мощности. Уравнение баланса средней мощности. Условие получения в нагрузке максимальной средней мощности

[1, c. 140–144; 2, c. 102–104]

Под комплексной мощностью понимается величина, определяемая по формуле

= ∙ ^* = U∙I∙cos + j∙U∙I∙sin = P + jQ,

где – комплексное действующее значение напряжения на зажимах источника;

^* – величина, комплексно сопряжённая с комплексным действующим значением тока через зажимы источника, т.е., если

= ||∙e^jѱ. то ^* = ||∙ e^–jѱ.

Вещественная часть комплексной мощности равна средней мощности P_ист = U∙I∙cos , отдаваемой источником, коэффициент при мнимой части равен реактивной мощности Q_ист = U∙I∙sin .

Баланс средней мощности состоит в равенстве средних мощностей P_ИСТ, отдаваемых источниками, средним мощностям P_ПОТ, потребляемым цепью:

 

где m – число источников; n – число резистивных сопротивлений цепи.

Генератор гармонических колебаний с комплексным задающим напряжением ₀ и внутренним сопротивлением Z₀ = R₀ + jX₀ развивает в нагрузке Z_н=R_н+jX_н максимальную среднюю мощность P_max, если

 

Рис.3.8

Im(Z_н)+Im(Z₀) = X_н+X₀ = 0 и Re(Z_н)=Re(Z₀), R_н=R₀ (рис. 3.8), т.е. если сопротивление нагрузки сопряжено с внутренним сопротивлением генератора. При этом

P_max =

Пример 3.4.1

Для цепи, рассчитанной в примере 3.3.1, составьте уравнение баланса активной мощности и убедитесь в правильности расчётов.

_m = U_m∙e^jψu = 20 В; ψ_u = 0; = _m/= 14,142 B;

_mL = 0,5∙e^–j36,87° A; ^*_mL = 0,5∙e^j36,87° A; ^*_L = 0,3536∙e^j36,87° A;

_m1 = 0,3162∙e^–j18,44° А; ₁ = 0,2236∙e^–j18,44° A;

_m2 = 0,2236∙e^–j63,44° А; ₂ = 0,1581∙e^–j63,44° A.

Средняя мощность, отдаваемая источником, равна

P_ИСТ = Re [∙ ^*_L ] = Re [14,142 ∙ 0,3536 ∙ e^j36,87°] = 5∙cos(36,87°) = 4 Вт.

Средняя мощность, потребляемая цепью, равна

P_ПОТ = I₁² ∙ R₁ + I₂² ∙ R₂ = (0,2236)² ∙ 40 + (0,1581)² ∙ 80 = 2 + 2 = 4 Вт.

Условие баланса средней мощности выполняется.

 

Контрольные вопросы

1. Для гармонического колебания дайте определение понятий амплитуды, периода, частоты, начальной фазы.

2. Что называется действующим значением периодического колебания? Чему оно равно для гармонического колебания?

3. Как связаны амплитуды гармонических тока и напряжения на зажимах элементов R, L и C?

4. Как сдвинуты по фазе ток и напряжение на зажимах элементов R, L и C?

5. Чему равна средняя мощность гармонических колебаний на резистивном сопротивлении, индуктивности, ёмкости?

6. Что понимают под комплексной амплитудой гармонического колебания? Как она связана с мгновенным значением колебания?

7. Что называется комплексным сопротивлением (проводимостью) цепи? Что характеризует его модуль и аргумент?

8. Чему равны комплексные сопротивления (проводимости) резистивного сопротивления, индуктивности, ёмкости?

9. Как производится анализ цепи символическим методом?

10. Что понимают под комплексной мощностью? Что означают её вещественная и мнимая части?

11. Каково условие баланса средней мощности?

12. При какой нагрузке в цепи выделяется максимальная средняя мощность?

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧИ 4

 

Комплексные передаточные функции электрических цепей. Частотные характеристики

Передача электрических сигналов в системах связи описывается с помощью передаточных функций цепи. Одной из важнейших среди них является комплексная…    

Пример 4.1.1

Для цепи, показанной на рис. 4.2,а, найти выражения для комплексных передаточных функций H₁(jω) = ₂/ ₁, H₂(jω) = ₂/ ₁ и соответствующих АЧХ и ФЧХ. Построить графики АЧХ и ФЧХ. Параметры цепи: R=100 Ом, C=5 нФ = 5∙10^–9 Ф.

 

а) б)

Рис. 4.2

Решение

Переходим к схеме замещения цепи для комплексных действующих значений токов и напряжений (рис. 4.2,б):

i(t) u(t) R Z_R=R C Z_C ==

1. Найдем H₁(jω).

Комплексная реакция определяется по закону Ома ₂ = ₂ ∙ Z_с.

Комплексное воздействие находится по второму закону Кирхгофа:

₁ = ₂ (R+Z_C).

Тогда

H₁(jω) = = = .

АЧХ: |H₁(jω)| = ; ФЧХ:

Обозначим τ = RC, тогда

 

|H₁(jω)| = ;= τ.

На рис.4.3 приведены графики АЧХ и ФЧХ, рассчитанные по последним формулам.

 

а) б)

Рис. 4.3

1. Найдем H₂(jω) = .

==.

= .

АЧХ : |H₂(jω)| = .

ФЧХ: =

На рис.4.4 показаны графики АЧХ и ФЧХ, рассчитанные по приведенным выше формулам.

 

 

а) б)

 

Рис. 4.4

 

Частотные характеристики последовательного и параллельного колебательных контуров

Колебательные контуры широко применяются для селекции сигналов в устройствах связи, в частности, в электрических фильтрах. Канонические схемы последовательного и параллельного колебательного контуров,…  

Пример 4.2.1

Для последовательного колебательного контура, схема которого показана на рис. 4.5,а, рассчитать его параметры ω₀, ρ, Q, а также U и U_C(ω₀), если R = 200 Ом, C = 200 пФ, L = 800 мкГн, I(ω₀) = 5 мА.

Найти комплексную передаточную функцию H(jω) = _C/ (рис. 4.5,б).

Определить резонансную характеристику и полосу пропускания последовательного колебательного контура.

 

а) б)

Рис. 4.5

Решение

Резонансная частота последовательного контура

ω₀ = = 2,5∙10⁶ ; f₀ = = 0,398∙10⁶ Гц.

Характеристическое сопротивление контура, т.е. сопротивление любого из реактивных элементов контура на резонансной частоте,

ρ = ω₀L = = = 2,5∙10⁶∙800∙10^–6 = 2000 Ом.

Добротность контура

Q = = = 10.

Действующее значение напряжения U на входе контура определяется из условия, что на резонансной частоте ω₀ сопротивление контура Z(jω₀)=R, а действующее значение тока I(ω₀) задано и равно 5 мА.

U = Z(jω₀)∙I(ω₀) = 200∙5∙10^–3 = 1 В.

Действующее значение напряжения на ёмкости на резонансной частоте в Q раз больше действующего значения напряжения на входе контура и равно U_C(ω₀) = U∙Q = 1∙10 = 10 В.

Переходим к комплексной схеме замещения цепи (рис. 4.5,б)

i(t), u(t), RZ_R = R, LZ_L = jωL, CZ_C= = .

Находим комплексную передаточную функцию H(jω)= _C/

= ∙(Z_L + Z_R + Z_C) = ∙(jωL + R – ),

H(jω) = |H(jω)|∙e^jϴ(ω) = = = .

АЧХ: |H(jω)|= ; ФЧХ: ϴ(ω)= –arctg[ωCR/(1–ω²LC)].

На рис. 4.6 показан график АЧХ для заданной H(jω).

 

Рис. 4.6

 

На рис. 4.7 показан график ФЧХ.

 

Рис. 4.7

АЧХ колебательного контура на графике рис. 4.6 изменяется немонотонно. Резко выраженную неравномерность амплитудно-частотной характеристики можно использовать для селективного (избирательного) выделения частотных составляющих сигнала вблизи резонансной частоты ω₀ и одновременно подавления сигналов, рабочие частоты которых удалены от ω₀.

Резонансной характеристикой последовательного колебательного контура называют комплексную передаточную функцию вида

H(jω) = = = =

При заданных параметрах колебательного контура

H(jω) =

На резонансной частоте комплексная передаточная функция достигает своего максимального значения H(jω₀)=1/R.

Следует отметить, что избирательные свойства колебательного контура можно охарактеризовать полосой пропускания. В технике радиосвязи полосу частот ω_–1 ≤ ω ≤ ω₁, в пределах которой значения амплитудно-частотной характеристики составляют не менее чем 1/ = 0,7071 её максимального значения, принято называть полосой пропускания.

Для определения полосы пропускания удобно рассмотреть нормированную передаточную функцию

(jω) = = =

Для добротности Q ≥ 10 справедливо узкополосное приближение

 

при котором = .

Полоса пропускания ω₁ – ω_–1 = ω₀ / Q .

В рассматриваемом примере

f₁ – f_–1 = f₀ / Q = 0,398∙10⁶ / 10 = 0,0398∙10⁶ Гц = 39,8 кГц.

Пример 4.2.2

Определить резонансную характеристику H(jω) = / , добротность и полосу пропускания параллельного колебательного контура, схема которого показана на рис. 4.8.

 

а) б)

Рис. 4.8

Для входного тока I = 1 мА вычислить токи в ветвях колебательного контура на резонансной частоте (рис. 4.8,а). Параметры контура:

C=0,05 мкФ, L=200 мГн, R_C=20 Ом, R_L=80 Ом, G₀=2,5∙10^–5 1/Ом.

Переходим к комплексной схеме замещения цепи (рис. 4.8,б)

i(t), u(t), RZ_R=R, G₀Y₀=G₀, CZ_C== , LZ_L=jL.

Резонансная характеристика, т.е. комплексная передаточная функция, равна

H(jω) = = = = .

Рассмотрим приближённое выражение комплексной передаточной функции, справедливое только в области частот, в которой выполняются неравенства:

ωL >> R_L; >> R_C; ωLC 1;

H(jω) = = .

Сопоставление этой функции с аналогичной функцией для канонического параллельного колебательного контура (табл. 4.1) позволяет установить, что у рассматриваемого контура:

резонансная частота

ω₀ = = = 10⁴ ;

эквивалентная резистивная проводимость

G = G₀ +(R_C + R_L) = 2,5∙10^–5 + ∙(20 + 80) = 5∙10^–5 ;

добротность

Q = = = 10;

полоса пропускания

f₁ – f_–1 = = = 159 Гц.

На резонансной частоте входное сопротивление контура

Z(jω₀) = = = 20 кОм.

Следовательно, на резонансной частоте напряжение на контуре

U = I∙Z(jω₀) = = = 20 В

и токи в ветвях

I_C = I_L = ω₀∙C∙U = ω₀∙C∙= Q∙I = 10 мА,

I_G = G₀∙U = ∙ I = 0,5 мА.

 

Контрольные вопросы

1. Дайте определение комплексной передаточной функции.

2. Что называется амплитудно-частотной и фазочастотной характеристиками электрической цепи?

3. Что понимают под добротностью колебательного контура?

4. Какие значения принимают напряжения на элементах последовательного колебательного контура при резонансе?

5. Дайте определение полосы пропускания контура?

6. Какие значения принимают токи в элементах параллельного колебательного контура при резонансе?

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧИ 5

Переходные колебания. Законы коммутации. Начальные условия

Режимы колебаний токов и напряжений в цепи разделяются на установившиеся (стационарные) и переходные. К установившимся относятся все периодические… Переходный режим колебаний обусловлен наличием в цепи накопителей энергии…  

Классический метод расчета переходных процессов

[ 1, с.189-210; 2, с.159-167]

Классический метод анализа переходных процессов основан на составлении и решении системы дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений цепи. Дифференциальные уравнения появляются вследствие дифференциальных зависимостей напряжений и токов в реактивных элементах:

 

и .

Сами дифференциальные уравнения составляют на основе законов Кирхгофа, методов узловых напряжений, контурных токов или эквивалентного генератора относительно независимой переменной, в качестве которой служит или . Систему дифференциальных уравнений первого порядка сводят к одному дифференциальному уравнению более высокого порядка. Порядок дифференциального уравнения обычно равен числу независимых накопителей энергии (числу реактивных элементов).

Этапы расчета переходных процессов классическим методом поясним на примере.

Пример 5.1.

 

В цепи, схема которой представлена на рис.5.2, в момент времени замыкается ключ. Найти законы изменения тока и напряжения .

1. На первом этапе найдем начальные условия. В данном случае это ток в индуктивности при > . В этот момент ключ еще разомкнут, и в цепи режим постоянного тока, создаваемый источником постоянного напряжения . В этом режиме напряжение на индуктивности равно нулю, что эквивалентно короткому замыканию ее зажимов. Тогда схема приобретает вид, показанный на рис.5.3. Для нее

 

2. На втором этапе составим дифференциальное уравнение для цепи после коммутации относительно . Анализируемая цепь показана на рис.5.4, где стрелками указаны выбранные направления токов.

В соответствии с законами Кирхгофа

 

 

Преобразуем эту систему в одно дифференциальное уравнение с переменной :

 

 

или

 

Полученное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка удобно привести к виду:

 

3. На третьем этапе записываем решение полученного уравнения в общем виде. Как известно из курса математики, общее решение неоднородного дифференциального уравнения представляют собой сумму общего решения однородного дифференциального уравнения, называемого в теории цепей собственной составляющей, и одного из множества частных решений неоднородного дифференциального уравнения, называемого в ТЭЦ вынужденной составляющей.

 

4. На четвертом этапе находим вынужденную составляющую общего решения. Так как решаемое дифференциальное уравнение должно быть справедливым для любого момента времени выберем , когда в цепи опять установится режим постоянного тока, и индуктивность снова можно заменить коротким замыканием (рис.5.5). Тогда

 

5. На пятом и шестом этапах определяем собственную составляющую В общем виде она равна:

 

где - корень характеристического уравнения, соответствующего однородному дифференциальному уравнению и получаемому из дифференциального уравнения путем замены производной на переменную р:

 

Отсюда корень .

6. Постоянную «А» находим из начальных условий с учетом закона коммутации при

 

 

7. На седьмом этапе записываем решение дифференциального уравнения, пользуясь формулой этапа 3:

 

или

 

где обозначение – постоянная времени цепи.

Закон изменения напряжения находим из соотношения напряжения и тока в индуктивности:

 

По полученным формулам строим примерные графики и (рис.5.6).

 

Пример 5.2.

 

В цепи, приведенной на рис.5.7, найти закон изменения напряжения и тока в емкости после замыкания ключа.

 

 

1. Начальные условия (0) определяется в момент > , когда в цепи режим постоянного тока. В этом режиме ток через емкость равен нулю, что эквивалентно обрыву ветви с емкостью. Тогда напряжение на емкости совпадает с напряжением параллельно подключенного третьего резистивного сопротивления. Таким образом,

 

т.е. емкость запаслась энергией.

2. Дифференциальное уравнение относительно (t) при

составляем для цепи, приведенной на рис.5.9.

Поскольку резистивные сопротивления соединены параллельно, то на основании второго закона Кирхгофа получаем

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид:

 

 

3. Общее решение полученного однородного дифференциального уравнения имеет вид:

 

Поскольку в цепи нет источника (внешней силы), колебания токов и напряжений происходят свободно, что ведет к изменению терминологии для напряжения и тока.

4. Так как при энергия, запасенная емкостью, будет полностью израсходована резистивными сопротивлениями,

 

5. Общее решение однородного дифференциального уравнения

 

Показатель степени экспоненты является корнем характеристического уравнения:

 

6. Из начальных условий находим постоянную «А»:

 

7. Решение дифференциального уравнения

 

где – постоянная времени цепи.

 

 

На рис.5.10 приведены примерные графики полученных зависимостей.

Из графиков видно, что постоянная времени цепи τ определяет время, за которое напряжение и ток убывают в е ≈ 2,72 раз в режиме свободных колебаний.

 

Пример 5.3.

 

В цепи с постоянным источником тока ключ размыкается. Найти законы изменения и .

 

1. Начальные условия (0) определяется в момент > , когда в цепи установившийся режим постоянного тока, в котором емкость можно заменить разомкнутыми зажимами (рис.5.12), а резистивное сопротивление 3R закорочено ключом. Тогда

 

2. Дифференциальное уравнение получим для переменной s w:val="32"/></w:rPr><m:t>t</m:t></m:r></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> в цепи после коммутации (рис5.13) при . Для этого составим систему уравнений по законам Кирхгофа:

 

 

Далее преобразуем систему, выразив все токи через и подставив их в уравнение, содержащее ток источника тока:

 

 

 

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид:

 

3. Общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения:

 

4. Вынужденную составляющую находим при когда в цепи опять установится режим постоянного тока (рис.5.14).

 

5. Запишем собственную составляющую

Показатель степени экспоненты находим как корень характеристического уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению:

 

6. Постоянную «А» определим из начальных условий при

(см.п.3):

 

 

7. Окончательное решение:

 

 

где постоянная времени цепи RC.

Примерные графики полученных зависимостей приведены на рис.5.15.

Обобщенная формула для расчета переходных колебаний в разветвленной цепи с одним реактивным элементом

Рассмотренные в 5.2 результаты анализа переходных процессов можно получить ускоренным путем, если воспользоваться общей формулой для расчета…   где - вынужденная составляющая напряжения или тока;

Контрольные вопросы

1. Какой режим в цепи называется стационарным или установившимся?

2. Что такое переходный процесс? В каких схемах он возникает и почему?

3. Что называют начальными условиями задачи?

4. Сформулируйте законы коммутации. Каков их физический смысл? Как они были использованы при решении задач?

5. От чего зависит порядок дифференциального уравнения цепи?

6. Когда режим в цепи называется свободным, когда вынужденным?

7. Чем отличаются дифференциальные уравнения, описывающие свободные и переходные колебания в цепи? Чем отличаются их решения?

8. Что называют постоянной времени цепи? Как от неё зависит длительность переходного процесса?

9. Как определяются постоянные времени RC- и RL- цепей?

10. Как определяются и от чего зависят собственные (свободные) колебания в цепи?

11. Как определяются и от чего зависят вынужденные колебания в цепи?

12. Как находится характеристическое уравнение цепи по заданному дифференциальному уравнению?

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧИ 6

6.1. Цепи с распределёнными параметрами

Первичные параметры длинной линии

Важнейшее место среди электрических цепей занимают линии передачи – цепи, осуществляющие передачу электромагнитных колебаний на большие расстояния,…   Общей чертой для этих и большинства других конструкций является наличие двух проводников.

Телеграфные уравнения и их решение

Первичные параметры позволяют описать зависимости напряжений и токов в предельно малом отрезке линии длиной ∆х (рис.6.2).    

Уравнения передачи длинной линии. Вторичные параметры.

Коэффициенты отражения

  Уравнениями передачи называются выражения, связывающие комплексные амплитуды…  

Длинные линии без потерь. Режимы работы линии.

  Для коротких по длине линий, работающих на очень высоких частотах, выполняются…

Примеры расчета длинных линий

Пример 6.5.1.

К разомкнутой линии (рис.6.7) длиной и с волновым сопротивлением подключен источник гармонических колебаний с задающим напряжением Длина волны колебаний λ=12 м. Постройте график распределения значений напряжения вдоль линии. Определите .

 

 

Разомкнутая линия находится в режиме стоячих волн. Распределение напряжений определяется из соответствующих уравнений передачи:

 

Напряжение в конце линии вычисляется из условия, что при имеем напряжение на входе линии Тогда

 

Рассчитаем значения напряжения при изменении длины линии от 0 до λ/4=3 м. Результаты расчета сведем в табл.6.1. В соответствии с расчетами строим график распределения напряжения вдоль линии (рис.6.8). Поскольку функция является периодической, значения напряжения повторяются, и график можно строить до значения

 

 

Таблица 6.1

		0,867	8,67
	1,5	0,707	7,07
		0,5

 

Рассчитаем входное сопротивление линии

 

Пример 6.5.2.

Решите задачу 6.6.1 для короткозамкнутой линии.

Указание

Распределение напряжения вдоль короткозамкнутой линии рассчитывается в соответствии с уравнением передачи:

 

График распределения напряжения вдоль линии представлен на рис.6.9.

 

 

Пример 6.5.3

Источник гармонических колебаний ) подключен к линии, нагруженной на резистивное сопротивление (рис.6.10). Постройте график распределения напряжения и тока вдоль линии, если λ=12 м. Определите

 

Решение

Вычислим коэффициент фазы Поскольку ток в нагрузке равен то с помощью уравнения передачи в полной форме определим напряжение в конце линии (на нагрузке):

 

Тогда значение тока в нагрузке

 

Из уравнений передачи получаем формулы для расчета распределения напряжения и тока вдоль линии:

 

 

На рис.6.11 приведены графики, рассчитанные по этим формулам.

 

Входное сопротивление линии в режиме смешанных волн вычисляется по формуле:

 

Коэффициент отражения

 

 

 

или в показательной форме

 

Пример 6.5.4

Найти входное сопротивление линии, состоящей из двух участков (рис.6.12), если λ=4 см,

 

 

Вначале рассчитаем входное сопротивление линии Этот отрезок линии находится в режиме смешанных волн, поскольку нагрузка комплексная (резистивно-емкостная). Для нахождения линии произвольной длины следует применять формулу, приведенную в предыдущем примере. Однако, данный отрезок имеет длину , и представляет собой четвертьволновый трансформатор. При значениях длин линий, кратных нечетному числу четвертей длин волны, уравнения передачи резко упрощаются, и для расчета входного сопротивления получается простая формула:

 

Применив ее, находим

 

Нагрузкой линии является параллельное соединение и :

 

Поскольку , для нахождения опять можно применить формулу четвертьволнового трансформатора:

 

 

 

Контрольные вопросы

1. Какие цепи называют цепями с распределёнными параметрами?

2. Что называют первичными параметрами линии? Какие линии называют однородными?

3. Каковы особенности дифференциальных уравнений однородной длинной линии?

4. Какими вторичными параметрами характеризуют линию? Каков их физический смысл?

5. Что называют падающей и отражённой волнами в линии?

6. Что называют коэффициентом отражения? От чего он зависит? В каких пределах может изменяться его модуль?

7. Какие линии называют линиями без потерь? Каковы их вторичные параметры?

8. При каком условии в линии устанавливается режим бегущих волн, и чем он характерен?

9. При каком условии в линии устанавливается режим стоячих волн, и чем он характерен?

10. При каком условии в линии устанавливается режим смешанных волн, и чем он характерен?

11. Что называют коэффициентом бегущей волны, и какие значения он может принимать?

12. Какой характер может иметь входное сопротивление линии в режимах бегущих, стоячих, смешанных волн?

13. Для чего стремятся согласовать линию с нагрузкой? Какие способы согласования знаете и в чём их сущность?

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей: Учебник. 2-е изд. – СПб.: Издательство «Лань», 2009. – 544 с.

2. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей: Учебник для вузов; Под редакцией В.П. Бакалова. 3-е изд. – М.: Горячая линия – Телеком, 2009. – 596 с.

 

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие …………………………………………………………………………………………… 3

1. Задание к контрольной работе …………………………………………………….…… 4

2. Методические рекомендации к выполнению задач 1–2 ………………..18

3. Методические рекомендации к выполнению задачи 3 …………………. 43

4. Методические рекомендации к выполнению задачи 4 …………………. 58

5. Методические рекомендации к выполнению задачи 5 …………………. 71

6. Методические рекомендации к выполнению задачи 6 …………………..88

Литература …………………………………………………………………………………………… 107

РЕКОМЕНДАЦИИ

По задачам контрольных работ студентам-заочникам

Направления подготовки бакалавров

Направление 210700 – «Инфокоммуникационные технологии и системы связи».   Группа АБ – Профиль «Сети связи и системы коммутации».   Группа МБ – Профиль «Многоканальные телекоммуникационные системы».   Группа ОБ – Профиль «Оптические системы и сети связи».   Группа РБ – Профиль «Системы радиосвязи и радиодоступа».

Студенты групп АБ, МБ, ОБ, РБ решают задачи 1, 2, 3, 4, 5, 6.