Символическое изображение косинусоидальных функций комплексными числами. Законы Кирхгофа в комплексной форме

[1, c. 115–120; 2, c. 75–78]

Каждой косинусоидальной функции заданной частоты ω можно сопоставить вектор на комплексной плоскости. С другой стороны, каждый вектор можно записать в виде комплексного числа. Так, гармоническому колебанию, описываемому функцией u(t)=U_m∙cos(ωt+), можно сопоставить радиус-вектор _m на комплексной плоскости (рис. 3.5). Длина вектора в выбранном масштабе, равна амплитуде колебания U_m, а угол, образованный этим вектором с положительным направлением вещественной оси, – начальной фазе колебания ψ. Этому вектору соответствует комплексное число

_m=U_m∙e^jψ = U_m ∙ (cos + j sin ψ) = U_m cos ψ + j U_m sin ψ = a + j b,

где j = – мнимая единица; a – вещественная часть; jb – мнимая часть; b – коэффициент при мнимой части комплексного числа.

Модуль комплексного числа равен длине вектора

| _m| = U_m =

Аргумент комплексного числа равен углу между вектором и осью абсцисс

= arg [ _m] = arg (a + jb) = arctg + k∙π,

где arctg соответствует главному значению функции, ограниченной интервалом – < arctg < , а значение целого числа k находится с учётом знаков составляющих a и b комплексного числа (k=).

Для перехода от показательной формы записи комплексного числа c=|c|∙ ∙e^jψ к алгебраической c=a+jb используется формула Эйлера

e^jψ = cos ψ + j sin ψ .

Тогда c=|c|∙cosψ + j|c|∙sinψ , и поэтому вещественная часть комплексного числа a= Re (a + jb)= |c|∙cosψ и коэффициент при мнимой части b= Im (a + jb)= |c|∙sinψ.

Имеют место соотношения: j=e^j90°; j²= –1 = e^j180°, j³= –j = e^–j90°, j⁴=1.

Два комплексных числа с и с* считаются сопряжёнными, если они отличаются лишь знаками их мнимых частей, т.е. если с=a + jb, то с*=a – jb.

Вычисления с комплексными числами сводятся к действиям с вещественными числами. В частности:

c₁∙c₂=(a₁+jb₁)∙(a₂+jb₂)=a₁∙a₂–b₁∙b₂+j(a₁∙b₂+a₂∙b₂);

c∙c*=(a+jb)∙(a–jb)=a²+b²;

= = = +j;

c₁c₂ = a₁ a₂ +j(b₁ b₂).

Расположение на комплексной плоскости числа с=a + jb для частного случая, когда a>0 и b>0, показана на рис. 3.5. В зависимости от знаков чисел a и b комплексное число с=a + jb может изображаться точкой в любом из квадрантов комплексной плоскости.

Рис. 3.5

Комплексное число _m принято называть комплексной амплитудой гармонического колебания u(t). Таким образом, комплексная амплитуда гармонического колебания – это комплексное число, модуль которого равен амплитуде колебания, а аргумент – его начальной фазе. Между комплексной амплитудой и гармоническим колебанием существует взаимно однозначное соответствие, которое математически выражается следующими зависимостями:

_m = dt, u(t) = Re ( _m∙e^jωt).

Комплексные действующие значения отличаются от комплексных амплитуд в раза: = _m/, _m=∙.

Для комплексных амплитуд напряжений и токов сохраняется та же система положительных направлений, которая была принята для мгновенных значений колебаний.

Комплексные значения токов и напряжений в электрической цепи удовлетворяют законам Кирхгофа.

Для ЗТК заменив мгновенные значения токов их комплексными значениями, получим

где n – число ветвей, сходящихся в узле; _к =

Для ЗНК заменив мгновенные значения напряжений их комплексными значениями, получим

где m – число ветвей, входящих в контур; к =