Постановка задачи: , где - выпуклая функция.
Теорема. (Аналог теоремы Ферма)
Для того чтобы точка доставляла в выпуклой задаче без ограничений абсолютный минимум, необходимо и достаточно, чтобы .
Доказательство:
. ■
Задача. Решить выпуклую задачу без ограничений:
.
Решение: Функции и являются выпуклыми функциями двух переменных. Поэтому их сумма также является выпуклой функцией. Согласно теореме Моро-Рокафеллара субдифференциал суммы функций равен сумме субдифференциалов. Субдифференциалы функций имеют вид:
,
Тогда
Используя необходимые и достаточные условия абсолютного минимума в выпуклой задаче без ограничений, получим:
, или , или .
Первая и третья системы уравнений и неравенств решений не имеют, а решение второй системы имеет вид: .
Ответ: . ●