Реферат Курсовая Конспект
Теорема Куна-Таккера. - раздел Философия, ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ Гладкие конечномерные экстремальные задачи с ограничениями типа равенств 1) Пусть ...
|
1) Пусть . - точка абсолютного минимума в задаче выпуклого программирования. Тогда существует ненулевой вектор множителей Лагранжа такой, что выполняются условия:
а) принцип минимума для функции Лагранжа :
;
б) условия дополняющей нежесткости:
;
в) условия неотрицательности:
.
2) Если для допустимой точки выполнены условия а), б), в) и , то .
3) Если для допустимой точки выполнены условия а), б), в) и выполнено условие Слейтера (т.е. ), то . ■
Теорема Куна-Таккера дает необходимые и достаточные условия абсолютного минимума в задаче выпуклого программирования.
Замечание. Если в выпуклой задаче (1) отсутствует ограничение в виде включения , (т.е. ), то условие а) теоремы Куна-Таккера равносильно условию стационарности функции Лагранжа : . Это следует из того, что функция Лагранжа с неотрицательными множителями Лагранжа является выпуклой функцией. А по аналогу теоремы Ферма для выпуклых функций условие является необходимым и достаточным условием абсолютного минимума функции Лагранжа в точке .
Задача. Найти расстояние от точки до конуса .
Решение. Формализуем поставленную задачу, взяв в качестве целевой функции квадрат расстояния от точки до точки, принадлежащей конусу:
.
Составим функцию Лагранжа
.
Выпишем необходимые условия абсолютного минимума:
а) ,
б) ;
в) .
Если , то из условия а) получим , т.е. вектор множителей Лагранжа равен нулю, поэтому этот случай не подходит.
Положим . Разберем отдельно два случая: и .
I.
Рассмотрим два варианта выполнения условия дополняющей нежесткости.
Iа)
Следовательно, если , то
.
Iб)
Следовательно, если , то
,
. Тогда расстояние от точки до конуса равно
.
II.
IIа) если , то
.
IIб) если , то
, .
Ответ: Если , то
.
Если , то
,
.
Если , то ,
. ●
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ... ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ... Данное учебное пособие создано на основе семестрового курса Методы оптимизации читаемого студентам третьего и...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теорема Куна-Таккера.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов